[PDF] Untitled La preuve du sens de

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FONCTIONS3Variations etextrema

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Calculer l'image d'un nombre par une fonction ?Lire une image par une fonction sur un graphique ?Reconnaître une fonction affine ?Connaître les effets des opérations sur l'ordre des nombres

Auto-évaluation

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1La représentation graphique d"une fonctionfest

donnée ci-dessous. +1 +10

1)Sur quel axe lit-on les images de nombres par lafonctionf?

2)Lire :

a)f(-4)c)f(3) b)f(-1)d)f(4)

2La fonctiongest définie parg(x) =3x-4.

Par la fonctiong, quelle est l"image de :

1)0?2)2

3?

3Déterminer les fonctions affines.

1)f(x) =2x3)h(x) = (4x-1)2

2)g(x) =5x-744)m(x) = (x+5)2-x2

4aest un nombre tel quea?8.

Que peut-on dire de :

1)a+4?4)a×(-4)?

2)a-4?5)a÷4?

3)a×4?6)a÷(-4)?

5Soitaetbdeux nombres tels quea

Que peut-on dire de :

1)a+b?3)a

b?

2)a-b?4)ab?

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Activités d'approche

ACTIVITÉ1En Bretagne, il fait beau... plusieurs fois par jour! Aurore a un capteur qui relève les températures en continu. Voici ce qu"elle a obtenu dans son jardin de Saint-Brieuc le lundi 30 décembre 2013. 2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12+ 14 en hen °C

1)Donner la température à 9h et à 17h.

2)À quelle(s) heure(s) atteint-on

a)la température de 8°C? b)La température minimale? c)La température maximale?

3)Sur quelle(s) tranche(s) horaire(s)

a)la température croît-elle? Décroît-elle? b)La température reste-t-elle constante?

4)Décrire les variations de la température enfonction du temps.

ACTIVITÉ2Dans la cour de l'école

À Mathyville, les enfants aiment bien les jeux de réflexion. Ils ont inventé le jeu suivant :

Un élève dit "le pirate » cache un "Trésor » dans la cour rectangulaire de l"école.

Ensuite, il donne au joueur une carte au trésor qui indique comment évolue la distance du joueur au trésor lorsque le joueur fait le tour de la cour en restant sur son bord. Le joueur doit utiliser ce message pour trouver le Trésor. Lejoueur ne peut faire le déplace- ment à l"intérieur de la cour et doit utiliser seulement ses capacités de réflexion.

Voici un exemple : sur le schéma ci-dessous,

le rectangleDEFGreprésente la cour de lar- geur 40 pas et de longueur 60 pas et le trésor (T) est placé au milieu de[EF]. D EF G J T

Le déplacement imaginaire du joueur (J) se

fait sur le bord de ce rectangle, en partant de (D), dans le sens inverse du sens de rotation des aiguilles d"une montre.

Voici les phrases du message qui permet de

repérer le Trésor :

Entre 0 et 80 pas :

ta distance au trésor T diminue.

Puis jusqu"à 160 pas :

ta distance au trésor T augmente.

Ensuite, jusqu"à 180 pas :

ta distance au trésor T diminue.

Enfin, cette distance augmente.

116

Chapitre F3.Variations et extrema

Activités d'approche

1)Créer le message qui correspond à un Trésor placé enF.

2)Créer le message qui correspond à un Trésor placé au milieu de[FG].

3)Retrouver la position du Trésor indiquée grâce au message suivant :

Ta distance au trésor T

•diminue jusqu"à 40 pas,•diminue jusqu"à 120 pas, •augmente jusqu"à 60 pas,•augmente jusqu"à 160 pas, •diminue jusqu"à 90 pas,•diminue jusqu"à 170 pas, •augmente jusqu"à 100 pas,•augmente jusqu"à 200 pas.

Où est le Trésor?

4)Les enfants trouvent que cela fait beaucoup de phrases!Ilsdécidentde mettreenplace uncodage quiévitedefaire autant dephrases. Voici le codage

adopté pour le premier exemple ci-dessus (le Trésor étant situé au milieu de[EF]).

Compteur

de pas

Variations de

la distanceJT0 80160 180200 Proposer, avec ce codage, le message correspondant au second message ci-dessus.

5)Proposer, avec ce codage, le message permettant de trouver le Trésor placé enG.

6)En utilisant le message codé ci-dessous, retrouver la position du Trésor.

Compteur

de pas

Variations de

la distanceJT0 30 60130200

7)Le professeur de mathématiques, qui passe dans la cour, aperçoit les enfants jouant à ce jeu.

Après avoirvulemessage ci-dessus, il décide,enlienaveclaleçonencourssurlesfonctions, de proposer aux élèves quelques évolutions du message codé et donne en exemple celui de la question 3. Tout d"abord afin de limiter les écritures, il appelle : •xla valeur indiquée par le compteur de pas; •f(x)la distanceJTcorrespondant à une valeur dex en faisant remarquer que cette distance est fonction dex. Ensuite, il propose de compléter le message en portant certaines distances importantes comme ci-dessous (message de la question 3). Il prétend que ce sera une aide pour trouver le Trésor : est-cevrai? x

Variations

def(x)04060 90100 120 160 170200 5050
3030

10⎷1310⎷13

2020

10⎷510⎷5

1010

10⎷1010⎷10

4040
5050

8)Recopier, modifier et compléter, en utilisant la méthode du professeur de mathématiques,

les deux messages codés des questions 4 et 6.

Chapitre F3.Variations et extrema117

Cours - Méthodes

1.D'un point de vue graphique

A.Fonction croissante, décroissante, constante

DÉFINITION :Intuitive

On dit quefestcroissantesur un intervalleIlorsque : sixaugmente surIalorsf(x)augmente. On dit quefestdécroissantesur un intervalleIlorsque : sixaugmente surIalorsf(x)diminue.

Fonction croissante surI:

I +-1+1+2+3+4 +-1+ 1+ 2+ 3 0

•f(x)

x

Fonction décroissante surI:

I +-1+1+2+3+4 +-1+ 1+ 2+ 3 0

••f(x)

x REMARQUES:Soitfune fonction etCfsa courbe représentative dans un repère.

On voit sur un graphique que :

fest croissante surIlorsqueCf"monte»surI; fest décroissante surIlorsqueCf"descend »surI. Lorsque sur un intervalle, la courbe esthorizontale, on dit que la fonction estconstante. On considère qu"elle est à la fois croissante et décroissante. Une fonctionqui ne change pas de sens de variations sur un intervalle est ditemonotonesur cet intervalle. +-1+1+2+3 +-1+ 1 0

••f(x)

x

B.Maximum et minimum d'une fonction

DÉFINITION :Intuitive

Sur un intervalleI,

lemaximumd"une fonctionfest la plus grande des valeurs prises parf(x); leminimumd"une fonctionfest la plus petite des valeurs prises parf(x).

Maximum enx0

+-1+1+2+3+4 +-1+ 1+ 2+ 3 0

••M

x0

Minimum enx0

+-1+1+2 +-1+ 1+ 2+ 3 0

••m•x0

118Chapitre F3.Variations et extrema

Cours - Méthodes

DÉFINITION :Tableau de variations

Untableau de variationsregroupe toutes les informations concernant les variations d"une fonction sur son domaine de définition. MÉTHODE 1Dresser un tableau de variationsEx.6p. 121

Un tableau de variations comporte deux lignes.

Entre les bornes, on place d"éventuellesvaleurs particulières. •Le sens de variation de la fonction est indiqué sur la 2eligne parune ou plusieurs flèches sur les intervalles où elle est monotone :?pour croissante et?pour décroissante. •Les valeurs pour lesquelles la fonctionn"est pas définiesont indiquées par une double barre verticale sur la deuxième ligne. •On indiqueau bout des flèchesles images des valeurs de la 1religne.

Exercice d'application

Dresser le tableau de variations de la fonction

définie sur[-2;2]par la courbe ci-dessous. +-1+1 +2+ 4 0

Correction

x f(x)-2-112 33
-1-1

2.D'un point de vue algébrique

A.Variations d'une fonction

DÉFINITION :Croissance, décroissance sur un intervalle Soitfune fonction définie sur un intervalleIetx1etx2deux nombres deI. Six1?x2impliquef(x1)?f(x2)alorsfest ditecroissantesurI. Six1?x2impliquef(x1)?f(x2)alorsfest ditedécroissantesurI. fest croissante surI: deux nombres deIsont rangés dans le même ordreque leurs images. I +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 3

0••f(x1)

•x1••f(x2)

x2 fest décroissante surI: deux nombres deIsont rangés dans l" ordre inversede leurs images. I +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 3 0

••f(x1)

x1••f(x2) x2

Chapitre F3.Variations et extrema119

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ :Tableau de variations des fonctions affines et de la fonctioninverse Le sens de variation de la fonction affine dépend du signe dea. La fonction inverse est décroissante surR-?et surR+?. x ax+b avec a>0 -∞+∞x ax+b avec a<0-∞+∞x1 x -∞0+∞

PREUVE

•On considère une fonctionftel quef(x) =ax+bet deux nombres tels quex1ax2etf(x1)>f(x2). La fonctionfest donc décroissante surR. Sia>0,ax1B.Maximum et minimum d'une fonction

DÉFINITION :Maximum, minimum et extremum d'une fonction Dire quefadmet unmaximumenasur l"intervalleIsignifie que : Il existe un réelMtel que pour toutxdansI:f(x)?MetM=f(a). Dire quefadmet unminimumenbsur l"intervalleIsignifie que : Il existe un réelmtel que pour toutxdansI:f(x)?metm=f(b) Unextremumest le terme générique pour désigner un maximum ou un minimum. +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 3 0

••M

a••f(x) x +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 3 0

••m

•b••f(x)

x PROPRIÉTÉ :Tableau de variations de la fonction carrée La fonction carrée est décroissante surR-et croissante surR+.

Elle admet, surR, un minimum en 0.

x x 2 -∞0+∞ 00

PREUVELa preuve est l"objet de l"exercice31.

120

Chapitre F3.Variations et extrema

S'entraîner

Activités mentales

1Sans utiliser de calculatrice, comparer :

1)(-4,5)2et(-2,5)23)1

52et132

2)(⎷5)2et(1,7)24)(-5)2et(3,5)2

2Sans utiliser de calculatrice, comparer :

1)1

25et1353)1⎷3et1⎷2

2)-141et-1924)-18et13

3Déterminer le sens de variations de chacune des

fonctions affines définies ci-dessous :

1)f1(x) =-3x+103)f3(x) =-3+2x

2)f2(x) =x2-44)f4(x) =-2x7+35

4Une fonctionfpossède les propriétés ci-dessous :

•elle est définie sur[-3;5];

•elle est croissante sur[-3;-1];

•elle est décroissante sur[-1;4];

•elle est croissante sur[4;5];

•sur l"intervalle[-3;4], son maximum vaut 6;

•sur l"intervalle[-1;5], son minimum vaut-3;

•l"image de-3 est 1;

•5 est un antécédent de 7.

Dresser le tableau de variations de cette fonction

5Une fonctiongpossède les propriétés ci-dessous :

•elle est définie sur[-7;4];

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