[PDF] Chapitre 3 : Equation de Bernoulli

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Notes de cours IPHOAnnée 2016-2017Chapitre 3 : Equation de Bernoulli

1 Théorèmes de Bernoulli

1.a Hypothèses

Le Théorème deBernoullin"estpas applicablesi le système contient une pièce mobile (hélice ...).Propriété à connaître1.b Cas d"un écoulement parfait, stationnaire, irrotationnel, in- compressible et homogèneSavoir démontrer?1 : Théorème de Bernoulli

7M1,M2Rgaliléen et champ de pesanteur uniforme,

7E1,E3Fluideparfait et homogène,

7L1Ecoulementincompressible,

7E2,E4Ecoulementstationnaire et irrotationnel.

v 22
+pμ +gz=cteSavoir démontrer?2 : Théorème de Bernoulli

7M1,M2Rgaliléen et champ de pesanteur uniforme,

7E1,E3Fluideparfait et homogène

7L1Ecoulementincompressible

7E2Ecoulementstationnaire

7E5AetBsur une même ligne de courant

v 2A2 +pAμ +gzA=v2B2 +pBμ +gzBSavoir démontrer?3 : Ecoulement parallèle Dans un écoulement parallèle, les zones de rétrécissement correspondent aux zones de pression minimale.

Application 1 : Aile d"avion

Montrer que la forme de l"aile d"avion laisse penser à une force de portance vers le haut.

2 Phénomène de Venturi'

%Application 2 : Tube de Venturi Un tube de Venturi est constitué d"un rétrécissement qui sépare deux régions, de sections différentesSAetSB< SA, d"une canalisation horizontale. Des tubes verticaux émergent de ces régions et sont ouverts sur l"air ambiant. De l"eau, assimilée à un fluide parfait de masse volumiqueμ, s"écoule de façon permanente dans la canalisation. On constate que les altitudes respectiveshAethBdes surfaces libres d"eau ne sont pas les mêmes dans les deux premiers tubes verticaux. 1. Établir une relation en tre(hA-hB)et la vitesse du fluide dans la canali- sation au niveau de la sectionSA. Les hauteurs relatives des niveaux dans les tubes du schéma du cours sont-elles qualitativement correctes? 2. La section de la canalisation au niv eaudu troisiè metub ev erticale st S C=SA. On notehCl"altitude de la surface libre dans ce troisième tube. Comment doit se situer l"altitudehCthéorique par rapport àhA?

Ch. B.page : 7 Lycée Masséna - Nice

Notes de cours IPHOAnnée 2016-2017Réponse :

1.

R elationsur les vitesses :

(a) Soit le p ointA?qui est situé à la verticale deAmais dans la partie inférieure du tube vertical etB?en bas du second tube (voir schéma). On suppose queA?etB?sont sur une même ligne de courant, l"écoulement est parfait et stationnaire pour un fluide homogène, on peut donc utiliser le théorème deBernoullisur la ligne de courant entreA?etB?. p

A?+V2A2

+μgzA?=pB?+V2B2 +μgzB? On a supposé que la vitesse est uniforme sur une section de la conduite (indé- pendante dez) : doncVA?=VA. (b) L ac onservationdu débit volumique (é coulementinc ompressible)p ermet d"écrire : V

ASA=VBSB

(c) Entr eAetA?, le fluide est au repos, on peut donc écrire un principe de la statique (PFS) : p

A?=p0+μg(hA-zA?)pB?=p0+μg(hB-zB?)

(d)

On r assembletoutes c esr elations,on tr ouvedonc

V

2A=ghB-hA1-SAS

BCommeV2A>0,

7siSB< SAalorshB< hA(comme sur le schéma).

7siSB> SAalorshB> hA

2. Si SC=SA, alors les hauteurs dans les tubes doivent être rigoureusement les même :hC=hA.

Ici il y a une perte de charge (fluide visqueux) qui explique quehC< hA.3 Théorème de Torricelli

Savoir démontrer?4 : Théorème de Torricelli Soit un récipient percé d"un trou à la distancehsous la surface libre du liquide incompressible. La vitesse du liquide sortant par le trou est v=?2ghRéponse : At= 0, on ouvre le robinet du réservoir (situé enB). Initialement la hauteur d"eau dans le réservoir esth0et on la noteh(t)à l"instantt. 1. Une fois le r obinetouvert, on supp osel"é coulementunidimensionnel à l"interfac e air-eau dans le réservoir avec-→v(M,t) =-V(t)-→uz=-h-→uzet dans le tube hori- zontal où-→v(M,t) =v(x,t)-→ux.

On a donc par conservation du débit volumique

v(x,t) =Ss

V(t) =-Ss

dhdt ce qui permet avecs?Sde négligerV(t)devantv(t)dans toute la suite. 2. On se plac edans l"appr oximationdes r égimesquasi-stationnair es: on va p ouvoir appliquer le théorème de Bernoulli stationnaire (même sih(t)).

Ch. B.page : 8 Lycée Masséna - Nice

Notes de cours IPHOAnnée 2016-2017Cela revient à négliger l"accélération locale devant

--→grad12 v2.

On trouve donc

μgz

A=μ12

v2+μgzB 3.

Finalement

v=?2gh4 Tube de Pitot %Application 3 : Tube de Pitot On considère un tube de Pitot, placé dans un écoulement uniforme à la vitesse constante-→v=v-→ux, loin en amont du tube. Deux trous sont percés dans le tube :Aqui fait face à l"écoulement etBsur le côté du tube. Chaque trou mène sur une cavité bouchée, au fond de laquelle se trouve un capteur de pression. 1. Mon trerque la différen cede pression PA-PBpermet de connaître la vitessev. 2. Ces trous p ortentles noms de " prise de pression dynamique » et " prise de pression statique ». Expliquer pourquoi. 3. Est-il légitime de cons idérerl"é coulementcomme parfait ? 4. Ce système est-il fiabl edans toutes les situations ?Ch. B.page : 9 Lycée Masséna - Nicequotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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