[PDF] MECANIQUE DES FLUIDES I les concepts les plus basiques

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UniversitéHassiba Benbouali,ChlefFaculté de TechnologieDépartement de Génie MécaniqueDomaine:Filière:Polycopié de la matière:MECANIQUEDESFLUIDESICoursFaitpar:

Ce polycopiérépondau canevas ministériel de cours de Mécanique des Fluides I enseigné endeuxième année S3_Licence LMD aux universités algériennes. Il constitue uneintroduction àla mécanique des fluides d"une durée d"un semestre.Nousl"avons conçu comme un documentde référence pour les étudiants de génie mécanique, qui doivent connaître les classifications etles concepts les plus basiques de la mécanique des fluides. De par son contenu, il peut s"avérerutile pour les étudiants d"autres branches du génie.Ce manuel couvre les différents aspects de la mécanique des fluides dans un ordre classique.Les chapitres s"enchainent et forment un tout. On traite au chapitre 1 les propriétés des fluideset au chapitre 2, de l"hydrostatique. Le chapitre 3 aborde la dynamique des fluides parfaitsincompressibles.Les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement etd"énergie, sont bien illustrées dans cette partie de ce document, permettent d"aborder d"un pointde vue global, les problèmes courants de la Mécanique des Fluides appliquée. Le chapitre 4donne une initiation à l"analyse dimensionnelle ensuite il présente les différents régimesd"écoulement ainsi le calcul des pertes de charge linéaires associées ainsi que les pertes decharges singulières.La rédaction de ce polycopié est le fruit de lecture de nombreux ouvrages classiques et quelquesdocumentsélectroniques, tous disponibles à la bibliothèqueainsi que sur internet.J"espère quece polycopié constituera un bon support de plus pour nos étudions.M"hamed BERIACHEChlef, le 20 novembre 2016

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1.1. IntroductionLa mécanique des fluides(MDF)est la scienceétudiant les écoulements defluidesenmouvement, lorsque ceux-cisubissent des forces.Elleest la base de la modélisation desécoulements de fluides etle dimensionnementdesorganes pourfluides et desdispositifsdetransportdes fluides. Elle comprend deux grandes branches, (voirFig. 1.):

Figure 1.Les branches de la mécanique des fluides-la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos.C'esthistoriquement le début de la mécanique des fluides, avecl'étude de la pression.Etla pousséed'Archimède.-la cinématique des fluides, qui étudieles mouvementsdes fluides sans tenir compte desforces qu"ils subissent.-la dynamique des fluidesqui étudie les fluides en mouvementlorsque ceux-ci subissentdes forces.On distingue également d"autresfilièresliées à la mécanique des fluides, tel que:l'hydraulique,l'hydrodynamique, l'aérodynamique, ...etc.

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Une nouvelle approche a vule jour depuis quelquesdécennies:C"estla mécanique des fluidesnumérique (CFD ouComputationnelFluidDynamicsen anglais), qui simulelesécoulementsdes fluides enrésolvant les équations qui les régissent à l'aide d'ordinateurs.La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domainescommel"alimentation en eau potable des villes,l'aéronautiqueet l"aérodynamique et aussi dans ledomainebiomédical.1.2. DéfinitionsUn fluide peut être considéré comme étant une substance forméed'un grandnombre de particulesmatérielles, très petites et libres de se déplacer les unes parrapport aux autres. C"est donc unmilieu matériel continu, déformable, sans rigiditéet qui peut s'écouler(voirFig. 2). Les forces decohésion entresparticules élémentaires sonttrès faibles de sorte que le fluide est un corps sansforme propre qui prend laforme du récipient qui le contient.

Figure2.La déformation d"un milieu sous l"effet de contrainte de cisaillementOn insiste sur le fait qu"unfluide est supposé être un milieu continu : même si l'onchoisit un trèspetit élément de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que ladimension des molécules quile constitue. Parmi lesfluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leurviscosité. La viscositéest unede leur caractéristique physiquequi seradéfinie dans la suite du cours et qui définit lefrottement interne des fluides. Lesfluides peuvent être classés en deux grandesfamilles :-La famille des"fluidesNewtoniens»comme l'eau, l'air et la plupart des gaz;-La famille des"fluides non-Newtoniens"quasiment tout le reste:le sang, les gels,les boues, les pâtes, lessuspensions, les émulsions...etc.Les fluides dits "Newtoniens" ont uneviscosité constanteou qui ne peut varier qu'en fonction dela température. La deuxièmefamille est constituée par les fluides "non newtoniens" qui ont la

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particularité d'avoirleur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ilssubissentlorsque ceux-ci s'écoulent.Le présentcours est limité uniquement à des fluidesnewtoniens qui seront classés comme suit.1.3.Fluide parfaitSoit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface ferméeSfictive ou non(Fig.3).

Figure3.Système fluideConsidéronsFdla force d"interaction au niveau de la surface élémentairedSdenormalenentrele fluide et le milieu extérieur.La forceFdpeut être décomposéeen deuxcomposantes, à savoir:-une composanteTFdtangentielleàdS.-une composanteNFdnormaleàdS.En mécanique des fluides, un fluide est diteparfaits'il est possible de décrire sonmouvementsans prendre en compte les effets de frottement. C"est à dire quand lacomposanteTFdest nulle.Autrement dit, la forceFdest normale à l'élément defluide.1.4. Fluide réelContrairement à un fluide parfait, qui n"est qu"un modèle pour simplifier les calculs,pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide réel les forces tangentiellesde frottementinterne qui s"opposent au glissement relatif des couches fluides sontprisesen considération. Cephénomène de frottement visqueux apparaît lors dumouvement du fluide.

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1.5.Fluide incompressibleUn fluide est ditincompressiblelorsque le volume occupé par une masse donné nevarie pas enfonction de la pression extérieure(=Cte,masse volumique constante). Les liquides peuvent êtreconsidérés comme des fluides incompressibles (eau, huile,....etc.)1.6.Fluide compressibleUn fluide est ditcompressiblelorsque le volume occupé par une masse donnéevarie en fonctionde la pressionextérieure(gCte, masse volumique variable). Les gaz sont des fluidescompressibles.Par exemple, l"air, l"hydrogène, le méthane à l"état gazeux, sont considéréscommedes fluides compressibles.1.7. Le modèle du milieu continudVV

1.8. Système d"unitéLes unités de mesure utiliséesdans ce manuscrit sont ceux duSystèmeInternational (SI).Lesunités principales de ce système sont montrées dans le tableau suivant:LongueurMasseTempsPressionForceEnergiePuissanceMètreKilogrammeSecondePascalNewtonJouleWatt(m)(Kg)(S)(Pa)(N)(J)(W)LMTML-1T-2MLT-2ML2T-2ML2T-3

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1.9. Les propriétés physiques des fluides1.9.1.La masse volumiqueVm3;mKgVolumemasseOù :ρ: Masse volumique en (kg/m3),m: masse en (kg),V: volume en (m3).1.9.2.Le poids volumique(Poids spécifique)C"est le poids de l"unité de volume. On le note. Dans le SI, on l"exprime en N/m3. Sadimension est: ML-2T-2Le poids spécifique et la masse spécifique sont liés par la relation fondamentale:=g.Vw3mNVolumePoidsSachant que:w=m.g=ρVgIl vient:gVgVVgmVw....: Poids volumique en (N/m3).m: masse en (kg),g: accélération de la pesanteur en (m/s2),V: volume en (m3).1.9.3.La densitéLa densité est définie comme étant le rapport de la masse volumique d"un fluide sur la massevolumique d"un fluide de référence. Elle est donnée par la relation suivante:référencedefluidefluidedDans le cas des liquides en prendra l"eau comme fluide de référence. Dans le casdes gaz onprendra l"air comme fluide de référence.

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1.9.4.Le volume massique(Volume spécifique)C"est le volume qu"occupe une unité de masse d"une substance.1mV;kgm31.9.5.La viscositéLa viscosité est définie comme étant la résistance du fluide au mouvement, c"est unemesure deson frottement interne. C"est une relation entre la contrainte de cisaillement et le taux dedéformation et proportionnelle à une constante dite viscosité dynamique,C"est à dire, les fluidesde grandeviscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulentfacilement.La viscosité est déterminée par la capacité d'entraînement que possède unecouchede particulesfluidesen mouvement sur les autres couches adjacentes.Expérience:On prend un fluide entre deux plaques (voirFig.5) l"une fixe et l"autre est mobile distante l"unede l"autre deh, la plaque mobile se déplace avec une vitesse horizontaleU. La surface de laplaque estAet la force qui cause le déplacement estF.

Figure5.Expérience de viscositéIl est montré expérimentalement que suite à l"effet de la forceF, il résulte une contrainte decisaillementau fluide entre les deux plaques, cette contrainte(tension)est opposée aumouvement de la plaque et du fluide, elle est exprimée par:

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AFIl est prouvé aussi que la contrainte de cisaillement est proportionnelle au gradient de vitesseusuivant la distancehentre les deux plaques:dyduC"est une relation entre la contrainte de cisaillement et le tauxde déformation et proportionnelle àune constante ditecoefficient deviscosité dynamique():dydUUn réarrangement de l"éq. Précédente donne:dUdydydUAFdeeContrass.ntcisaillemedeTauxntcisaillemeint; [N.s/m2] ou [Pa.s]: C"estla viscosité dynamiqueLaviscosité cinématique():est définie comme étant: la viscosité dynamiquesur lamassevolumique, son unitéest: [m²/s].Elle est exprimée comme suit:sm²1.10. Tension de surface d"un fluideDans cette section, nous discuteronsune propriété de fluide qui se produit au niveau desinterfaces d'un liquide et de gaz ou à l'interface de deux liquides non miscibles. VoirFig.7, leliquide, molécules'A'est sous l'action d'attraction moléculaire entre les molécules (force decohésion) . Cependa nt l a molécule'B'à proximité de l'interface est soumise aux attractionsmoléculaires du même type d"un côté et des molécules de type différent (adhérence) d"un autrecôté.En conséquence, les forces de cohésion pourla moléculeliquide'A's"annulent.Mais àl'interface de molécule'B'les forces de cohésion dépasse la force d'adhérence du gaz. Les actesde force nette correspondant surl"interface;l'interface est à un état de tension similaire àunemembrane élastique étirée. Comme expliqué, la force nette correspondante est désignée parlatension de surface. En bref, il y"a des contraintes de traction apparentes qui agissentà l'interfacede deux fluides non miscibles.

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Figure7.Origine de latension de surface d"un fluideOn note que,la tension de surfacediminue avecla température du liquideparce que les forcescohésivesintermoléculairesdiminuent.A la températurecritiqued'une surfacede fluide, latensiondevientnulle;c-à-direlalimiteentre les fluidesdisparaît.1.11.La différence de pression à l"interface:Afin d'étudierl'effetde la tension superficiellesurla différence depression à traversuneinterfacecourbe,onenvisage unepetite gouttesphériqued'unfluide au repos.Étant donné quelagoutteletteest petite,les variationsde pression hydrostatiquedeviennent négligeables.Lagoutteletteest divisée endeux moitiés, comme indiquédanslaFig.8.Étant donné quelagoutteletteest à l"équilibre,la somme desforcesagissantà l'interfacedans une directionquelconqueest nulle.

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Figure8.Tension de surface sur une goutteOn notera que lesseulesforces qui agissentà l'interfacesontla pression etla tension de surface.L'équilibredes forcesdonne:rrPPgazliq22Avec;

,Il vientdonc: 10

2.1. IntroductionLa statique des fluides est la branche de la mécanique des fluides qui traite principalement lesfluides au repos. Les problèmes de statique des fluides sont beaucoup plus simples que ceux quisont associés au mouvement des fluides, et des solutions analytiques exactes sont possibles. Etantdonné que les éléments individuels du fluide ne se déplacent pas par rapport à l'autre, les forcesde cisaillement ne sont pas impliquées et toutes les forces dues à la pression du fluide sontperpendiculaires à la surface sur laquelle ils agissent. La statique des fluides peut couvrir lesproblèmes dans lesquels des éléments du fluide ne se déplacent pas par rapport à l'autre, même sile fluide dans son ensemble peut se déplacer. En l'absence de mouvement relatif entre leséléments de fluide, la viscosité du fluide ne présente aucun problème.Ce chapitre est consacré à l"étude des fluidesau repos. Les loisfondamentalesen statique desfluides y sonténoncées. La notion de pression, lethéorème de Pascal, le principe d"Archimède etla relation fondamentale del"hydrostatique y sont expliqués.Le calcul des presses hydrauliques,la détermination de la distribution de lapression dans un réservoir...etc.2.2.Notion de pression en un point d"un fluideLa pression est une grandeur scalaire. C"est l"intensité de la composante normalede la forcequ"exerce le fluide sur l"unité de surface(Fig.1.).

Figure1.Force de pression exercée sur une surface 11

Considérons un récipient rempli de liquide. Si on perce une ouverture dans ce récipient, onconstate que le liquide s"échappe perpendiculairement à la surface, traduisant la présence d"uneforceFnormale à la surface(Fig.2.)

Figure2.La force de pressionSi, nous considérons un élément de surfacedSet la forceFdqui s"exerce normalement à lasurface, compte tenu de l"isotropie de la force, on appelle pression le rapport:dSdFpAvec,p: la pression en A,dF: composante normale de la force élémentaire de pression qui s"exerce sur la surface,dS:surface élémentairede la faceA.La pression est une quantité scalaire, fonction du pointA(voirFig.1.) ou ell e es t définie:),,()(zyxpAp.L"unité delapression est le Newton par mètre carré²mNou Pascal (Pa).Elle peut être expriméeaussi en:².smkg.

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2.3. Principe fondamental de la statique des fluidesSoit un volume élémentaire(Fig.3.)dzdydxdV..au sein d"un fluide dont les faces sont définiesparallèles aux axes (Ox,Oy,Oz).Considérons les deux facesABFEetCGHDperpendiculairesàOz.

Figure3.Les forces agissant sur un élément fluideLesforcespressantesqui s"exercent surles deuxfaces considéréessont:Pression p1:kdydxpFd...11Pression p2:kdydxpFd...22La force résultanteest:kdydxppFdFdFdZ..2121La variationde pression suivant l"axeOz,peut s"écrire:dzppzp12

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C"est une dérivation partielle, parce quepdépend à priori dexetyaussi,dzzppp21kdVzpkdzdydxzpFdZ....kdVzpFdZ.De la même manière:idVxpFdx.jdVypFdy.dVkzpjypixpFdFdFdFdzyx...dVpgradFd.Ce résultat montre bien que:Fdest opposéeàpgrad.2.4.Equilibre au sein d"un fluideEn plus les forces de pressions agissant sur l"élément fluide, elle s"ajoute la force du poids del"élément fluide lui-même:dVgFd..Pour le fluide en équilibre, on a:0FdPdFSoit:gpgrad.Avec:ixppgrad.kzpjyp..

14 Les surfaces isobares (p=Cte) sont perpendiculaires àget sont donc horizontales(Fig.4.).

Figure4.Lesisobares forment des plans horizontauxLa pressionaugmente avec la hauteur et ne dépend que de z:p=p(z)Donc:0ypxpdzdpzpAlors:kggkzppgrad....dzgdp..2.5.Cas des fluides incompressibles2.5. 1.Loi de l"hydrostatiquePour obtenir la différence de pression entre deux pointsM1à hauteurZ1etM2à hauteurZ2(Fig.5.), il suffit d"intégrer l"expression précédente:2121..ZZppdzgdpon obtient:2112..ZZgpp

15 Posons:21ZZh,Il vient:hgp..C"est la loi fondamentale de l"hydrostatique.

Figure5.Variation de la pression en foncion de la hauteur2.5. 2.Théorème de PascalLe théorème de Pascal s"énonce comme suit: dansun fluide incompressible en équilibre, toutevariation de pression en unpoint entraîne la même variation de pression en tout autre point.Considéronsun élément de fluided"épaisseur suivant Ozégale à l'unité, comme indiquéci-dessous.Puisquela section transversaledu prismeestuntriangleéquilatéral, p formeun angle de45°avecl'axe des Ox.

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Figure 6.Forces pressantes sur un élément de fluide en équilibre.Siles intensitésde pressionnormalesaux troissurfaces sontp1, p2,p3,(voirFig.6.) , ilvientdonc:ApF.Avec,F: la force pressantep: la pressionA: la surface sous pressionLa force appliquée sur la surface AB:1...11ABpzpFABLa force appliquée sur la surface BC:1...22BCpxpFBCLa force appliquée sur la surface AC:1...33ACplpFACProjetons les forces verticalementOy:cos...31ACpABpMais,ABACcos.Donc,31ppProjetons les forces horizontalementOx:sin...32ACpBCpMais,BCACsin.

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Donc,32ppEt321pppEn conclusion,la pressionen tout point estégaledans toutes les directions.2.5.3.Applications de la loi de Pascal1°/ La presse hydraulique:Soit le schéma de principe d"une presse hydraulique.

Lorsque les deux piston 1 et 2 sont sur le même niveau, on a:21pp2211AFAFil vient,1212AAFFLe rapport de section12AAinduit un grand avantage en terme de force de levage, voir:Si,12AA12FF.2°/ Le principe de freinage automobile:LaFig.8.Illustre le principe de freinage automobile utilisantl"huile comme fluide transmetteurde forces.Ce système est l"une des applications industrielles les plus répandues de loi de Pascal.

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Figure 8.Freinage automobile2.6.Poussée d"ArchimèdeTout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force(poussée) verticale, versle haut dont l'intensité est égale au poids du volumedufluide déplacé (ce volume est donc égal auvolume immergé du corps), (voirFig.9.).

Figure9.Poussée d"ArchimèdeLa force de poussée est donnée comme suit:PA=ρf.Vimmergé.g

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A l"équilibre, on a:iextF00PPAAvec,gVgmP...Alors:0..gVPAD"où:gVPA..2.7.Mesure de pression2.7.1.Le manomètreA partir de la relationfondamentale de la statique des fluides,hgp..gph.Celasignifie que la pression peut être mesurée par un colonne de fluide de hauteur (h). Uninstrument basé sur ce principe est appelé manomètre, il esttrès utilisé dans la mesure des faibles et moyennes pressions.Consédérons le manomètre(Fig. 10), on l"utilise pourmesurer la pression dans le réservoir. Si, on admet quel"effet de pesenteur sur le gaz est négligeable, la pressiondans n"importe quel point dans le réservoir est identiqueàcelle du point( 1), e ncore , la pre ss ion ne va rie pashorizontalement dans le fluide, on déduit que la pression aupoint (2) est la même qu"au point (1).Alors,21ppatmphgp..2atmstatiqueppp2Où:: masse volumique du fluide,g: la pesanteur,Figure10.Unmanomètre

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h: l"élévation du fluide.2.7.2.Le baromètre et la pression atmosphériqueLa pression atmosphérique est mesurée par un appareil ditBaromètre. L"italien EvangelistaTorricelli (1608-1647), le premier qui a pu mesurerla pression atmosphérique par une simpleexpérience ingénieuse.Comme le montre lafigureci-dessous, la pression au point (B ) est ég al e à la pressionatmosphérique, et la pression au point (C) peut être prise comme nulle puisqueau-delàdu point(C) il ny a que du gaz et la pression qu"elle exerce est négligeable par rapport à la pressionatmosphérique,Patm.

Figure 11.Le baromètreD"après laFig.11, à l"équilibre,onécrit:ghPatmOn remarque d"après la relation précédente que lalongueur et la section du tube n"influencent pasla pression, c.-à-d. n"influent pas sur la hauteurh.

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Figure 12.Dépendance de la pression atmosphérique de la hauteurseulement.En général, l"unité de la pression est l"atmosphère, qui est définit commela pression produite parune colonne de mercure de760 mmde hauteur à0 °C(595,13Hg3mkg) et sous la gravité(²/807.9smg).Si, on remplace le mercure par un autre fluide qui est l"eau par exemple, la pressionatmosphérique est mesurée par une colonne d"eau de hauteur de10,33menviron.2.8. Forces hydrostatiques sur des paroisSoit une surface de géométriequelconque immergée dans un fluide (liquide). En général, on estamené à répondre aux questions suivantes:-Quelle est l"intensité de la force qui s"applique sur cette surface?-Quel est lepoint d"application(position)de cette force?-Quelle est sa direction?Les cas suivants sont étudiés:-Force hydrostatique sur une surfaceplanehorizontale,verticaleouinclinée.-Force hydrostatique sur une surfacegauche.

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2.8.1. Paroi planehorizontale

Figure 13.Force sur uneparoihorizontaleLa distribution de la pression sur la surface horizontale immergée(Fig. 13)est uniforme, et sonmagnitude est:hgpp..0Avec,hest la distance de la surface de la plaque à partir de la surface libre. Cependant, la forcehydrostatique agissant sur la surface horizontale rectangulaire est:bahgpdApFR....0bahgpFR...0Cette force agit au centre de la plaque (voirFig. 13).

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2.8.2. Paroi planeverticale

Figure 14.Force sur uneparoiverticaleConsidérons une plaqueplanerectangulairede hauteurhet de lageurbet d"epaisseuracomplètement immergée demanière verticale, elle fait 90° avec la surface libre. Elle est à unedistancesde la surface libre (voirFig.14) . L a forc e hydrostati que résultant e s ur l a surfacesupérieure est égale au produit de la pression moyenne par la surface d"action. Elle estdonnéepar:babsgpApFCR.)2/.(..0Cette force agit sur la paroi verticale au niveau du point situé àyp. Cette conclusion est le résultatde la l"analyse suivante:A l"équilibre de la paroi, on a:pressionForcerFpRMMpRRHyFFyd.0pyLsbgLsbg2321.31

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On obtient alors:sbyp32(Centre de pression).2.8.3. Paroi plane inclinéeConsidérons une paroiplane de forme quelconquede surfaceA, immergée dans unliquide. Elle est inclinée d"un angle,par rapport àl"axeOy.L"axeOxcoïncide avec la surfacelibre du fluide.

a)Plaqueinclinéeb) Prisme de pressionFigure 15.Pression sur une paroi inclinéeLa pression sur n"importe quel point de la plaque est donnée par:sin.....00ygphgppLa force hydrostatique résultante est:AAARydAgApdAgyppdAFsinsin00Mais, le moment de surfaceAydAest relié avec l"ordonnéeydu centre de la surface par:ACydAAy1

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Remplaçantdans,ApApAghpAgypFMoyCCCR00sinAvec:CChgpp..0est la pression au niveau du centre de gravité de la surface A, qui estéquivalente à la pression moyenne appliquée sur la surface A., etsin.yhCest la distanceverticale entre le centre de gravité et la surface libre du fluide,voirFig. 15.

Figure 16.La force résultante sur la plaqueAinsi, nous concluons que:AAAARPdAygAypdAgypyypdAFy200sinsinOr,OxxCRPIgAypFy,0.sinOu,Pyest la distance du centre de pression à partir de l"axe Ox (point O),etAxxdAyI2o,estle deuxième moment de la surface (moment d"inertie de surface).Lesmoments d"inertie de surface sont largementdisponiblespour des géométries usuelles, maissouvent sont donnés par rapport aux axes passant par le centre de gravité de la surface.

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Le deuxième moment d"une surface pour deux axes parallèlessont reliés l"un à l"autrepar la loides axes parallèles, qui est dans ce cas donnée comme suit:AyIICCxxOxx.2,,Avec:CxxI,est le second moment de la surface par rapport à l"axe Ox passant par le centre degravité de la surface etCy(l"ordonnée du centre de gravité) estla distance entre les deux axesparallèles. Par substitution deFRetIxx,opar leurs expressionssusmentionnéesdans la relationci-dessus, onobtient:AgpyIyyCCxxCPsin0,Pour P0=0, qui est souvent le cas ou la pression atmosphérique est négligée, la relation précédentedevient:AyIyyCCxxCP,En connaissantyp,la distance verticale du centre de pression à partir de la surface libre estdonnée par:hp=yp.sin.

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2.9.Centresde gravité et momentsd"inertiede quelques surfacesusuelles

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3.1. IntroductionDans ce chapitre, nous allons étudier les fluidesen mouvement. Contrairementaux solides, leséléments d"un fluide en mouvement peuvent se déplacer à desvitesses différentes. L"écoulementdes fluides est un phénomène complexe.On s"intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique desfluidesincompressibles parfaits, en particulier :-l"équation de continuité(conservation de la masse),-le théorème de Bernoulli(conservation de l"énergie) et,-le théorème d"Euler(conservation de la quantité de mouvement) à partir duquel,on établitles équations donnant la force dynamique exercée par les fluides enmouvement (exemple lesjets d"eau).3.2. Ecoulement permanentUn écoulement est ditpermanentou stationnairelorsqu"en chaque point de l"espace, le vecteurvitesseVestindépendantedu temps.0tVDans le cas contraire, l"écoulement est ditnon-permanentou instationnaire.3.3.Equation de continuitéConsidérons une veine d"un fluide incompressible(Fig. 13),de masse volumiqueρaniméed"unécoulement permanent.On désigne par :A1etA2respectivement la section d"entrée et la section de sortie du fluide àl"instantt,A"1etA"2respectivement les sections d"entrée et de sortie du fluide à l"instantt"=(t+dt),

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1Vet2Vles vecteurs vitessesd"écoulement respectivement à travers les sectionsS1etS2dela veine.dx1etdx2respectivement les déplacements des sectionsS1etS2pendantl"intervalle detempsdt,dm1: masse élémentaire entrante comprise entre les sectionsA1etA"1,dm2: masse élémentaire sortante comprise entre les sectionsA2etA"2,m: masse comprise entreA1etA2,dV1: volume élémentaire entrant compris entre les sectionsA1etA"1,dV2: volumeélémentaire sortant compris entre les sectionsA2etA"2,A l"instantt:le fluide compris entreA1etA2a une masse égale à (dm1+m)A l"instantt+dt:le fluide compris entreA"1etA"2à une masse égale à (m+dm2).

Figure 13.Veine de Fluide incompressiblePar conservation de lamasse:dm1+m=m+dm2Ensimplifiant parm,onobtient:dm1=dm2

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Donc,ρ1.dV1=ρ2.dV2Ouencore:ρ1.A1.dx1=ρ2.A2.dx2,En divisant pardt,onaboutità :dtdxAdtdxA222111....222111....VAVAPuisque le fluide est incompressible :ρ1= ρ2= ρOnobtientl"équation de continuitéde la sorte:2211..VAVACette relation représente le débit volumiqueQexprimé en (m3/s) . L"équat ion de continuitéreprésente la loi de conservation de masse.3.4.Notion de débit3.4.1.Débit massiqueLe débit massique d"une veinefluide est la limite du rapportdtdmquanddttendvers0.dtdmqmOù:-qmest la masse dufluide par unité de temps qui traverse une section droitequelconque de laconduite.-dm: masse élémentaire en (kg) qui traverse la section pendant un intervalle detempsdt.-dt: intervalle de temps en (s)Entenant compte des équations précédentes on obtient :dtdmqm=dtdxAdtdxA2211....

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2211....AVAVqmSoit dans une section droite quelconqueSde la veine fluide à travers laquelle lefluide s"écoule àla vitesse moyenneV:AVqm..Où :qm:Débit massique en (kg/s)ρ:Masse volumique en (kg/m3)A:Section de la veine fluide en (m2)V :Vitesse moyenne du fluide à travers (S) en (m/s).3.4.2.Débit volumiqueLe débit volumique d"une veine fluide est la limite du rapportdtdVquanddttend vers 0.dtdVqVOù :-qv: Volume de fluide par unité de temps qui traverse une section droitequelconque de laconduite.-dV: Volume élémentaire, en (m3), ayant traversé une surfaceSpendant unintervalle de tempsdt,-dt: Intervalle de temps en secondes (s),On a aussi:mVqqSoit:AVqV.

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3.5.Théorème deBernoulli (Ecoulement sans échange de travail)Reprenons le schéma de la veine fluide(Fig. 14)du paragrapheprécédentavec les mêmesnotations etles hypothèsessuivantes:-Le fluide est parfait et incompressible.-L"écoulement est permanent.-L"écoulement est dans une conduite parfaitement lisse.On considèrel"axeOzvertical dirigé vers le haut.On noteZ1,Z2etZrespectivement leshauteursdes centres de gravité des massesdm1,dm2etm.On désigne parF1etF2respectivement lesnormes des forces de pression dufluide agissant au niveau des sectionsS1etS2.

Figure 14.Veine de Fluideen mouvementA l"instantt,le fluide de masse (dm1+m) est compris entreles sectionsA1etA2. Son énergiemécanique estexprimée commesuit:CinPotMEEE

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212..21....221111SSVdmVdmZgmZgdmA l"instantt"=(t+dt)le fluide de masse (m+dm2) est compris entreA"1etA"2. Sonénergiemécanique est :'''CinPotMEEE222222.212.....21VdmVdmZgdmZgmSSOn applique le théorème de l"énergie mécanique au fluide entretett":Lavariation de l"énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forcesextérieures.pressionde'ForcesmecmécWEELe travail des forces pressantes sur l"élément fluide est:2211..dxFdxFWFpOn a alors,2211222111'......dVpdVpdxApdxApWEEFpmecméc2221112111122222.21...21..dmpdmpVdmZgdmVdmZgdmPar conservation de masse :dm1=dm2=dmet puisque le fluide estincompressible :ρ1= ρ2= ρ,Onaboutitàl"équation de Bernoulli:0)(.21.12212212ZZVVggppOn remarque que, siV=0(pas de mouvement), on retrouve la relation fondamentale de la statiquedes fluides:Zgp..

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3.6.Applicationsde l"équation de Bernoulli3.6.1.Vidange d"unréservoirConsidérons un réservoir(Fig. 15)contenant un liquide et dont la paroi verticale est percée d"unpetit orifice à une distancehde la surface du liquide. On suppose les dimensions du réservoirsuffisamment grandes,la surface du réservoirS1et celle de l'orificeS2<

Figure 15.Vidange d"un réservoirAppliquons l"équation de Bernoulli entre les 02 pointsetdu réservoir, on écrit:22221211.2..2.ZgVgpZgVgpOn a:2211..SVSVQappp2121ZZh01V(21SS)D"où:12VVIl vient donc,hgV..22V2:est une vitesse théoriqueVth.

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Par conséquent, le débitthéoriquedu liquide recueilli à l"orificeà sectionS2, est donné par:hgSSVQth..2..222En réalité, à causes des forces des frottements fluide-solide, une contraction de la section devidange est générée, par conséquent, lavitesse de vidangeréelle est inférieure à celle obtenuethéoriquement.thVrVcV.;1Vc(Coeff. de vitesse)La section du fluide à la sortie de l"orifice est:thCrAcA.;1Cc(Coef. de contraction)Donc,hgAccVAQthVCrrr..2....thDthDrrrQchgAcVAQ...2...;1.CVDccc(Coeff. de débit)Temps de vidange totaldu réservoir:Aun instant(t) donné,on a:hgAcdtdVqthDVr..2..Pendant (dt),Zvarie de (dz)La variation en volume (V) estdV=A.dzhgAchAtthDV..2...23.6.2.Tube de PitotOn considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeantdans le liquide, l'un débouchantenAface au courant, et l'autre enBest le long des lignes decourant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au pointB, le liquide a la même vitesseVque dans la canalisation et la pression est la même que celle duliquideppB.EnA, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression estAp.

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Figure 16.Tube de PitotAppliquons le théorème de Bernoulli, entre les deux points(1)et(2), on obtient:22221211.2..2.zgvgpzgvgpOn a:21zzEtV1=0(point d"arrêt)Alors, il vient:gvgpp.2.2221212.2ppvDe l"hydrostatique, on a:hgpp..21Ce qui donne:hgv..223.6.3.Tube de VenturiUn conduit de section principaleSAsubit un étranglement enBoù sa section estSB.La vitessed"un fluide augmente dans l"étranglement, donc sa pression y diminue :V2> V112pp

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Figure 17.Tube deVenturiLe théorème de Bernoulli s'écrit ici :22221211.2..2.zgvgpzgvgpD'après l'équation de continuité,1122..AvAvQVD"après laFig. 17.On remarque que: A2< A112vvDonc:21pp2221222122211.22vvvvvpp/1221.AAvv212222211.2AAvpp22122.112VQAA

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221.:'VQkppoùDLa différence de pression aux bornes(aux extrémités)du tube de Venturi est proportionnelle aucarré du débit.3.6.4. DiaphragmeLe diaphragme est utilisé comme instrument de mesure de débit d'un fluide parcourant un circuithydraulique. Il existe, pour un débit donné, une différence de hauteur dans les tubes avant etaprès le diaphragme.L'étude consiste à établir une relation entre le débit d'eauQtraversant le diaphragme et ladifférence de hauteur d'eau(h)dans les tubes.De l"équationde continuité pour un fluide parfait incompressible,le débit du fluide est le même àtravers toutes les sections des tubes.On écrit :Q =A1.v1=A2.v2=S.vD'où:v1=SS1vOn applique l"équation deBernoulli exprimée en hauteur piézométrique entre les points1et2.gpzgvgpzgv2221121Le tube est horizontal, il vient donc:z1= z2= zOn obtient :gpgvgpgv222121Ouencorehgvvgpp22121Avec,h est la différence de hauteur dans les tubes avant et après le diaphragme.

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Figure 18.Un diaphragmeLa synthèse de l'équation de Bernoulli et de l'équation de continuité permet d'exprimer le débitthéoriqueQthdans le diaphragme :Qth= S.vL'équation de Bernoulli est :hgvv2212Soit:hgvv2212L'équation de continuité permet d'exprimerv1en fonction dev:vSSv11On obtient :ghvSSv2212Soit:ghvSSv22212

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Puis,ghSSv21212D'où:2112SSghvLa relationdu débit devient:ghSSSQ2121La mesure n'a pas lieu enBoù il se produit une contraction de la veine fluide, mais enC. Pourtenir compte de la section enC, il faut utiliser un coefficient de contractionCC.Le débitréels'écrit finalement :thCRQCQ.hgSSSCQCR21213.7.Théorème deBernoulli (Ecoulement avec échange de travail)Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique (Fig.18), il échange de l"énergie avec cettemachine sous forme de travail (W) pendant une durée (t).La puissancePéchangée est:tWP[Watt]P > 0 si l"énergie est reçue par le fluide (cas de pompe);P < 0 si l"énergie est fourni par le fluide (cas de turbine);

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Figure 18.Un fluide traversant une pompe hydrauliqueL"application de l"équation de Bernoulli entre les pointsetpermet d"écrire:VQPppzzgvv12122122).(.213.8.Théorème d"EulerUne application directe du théorème d"Euler est l"évaluation des forces exercéespar les jetsd"eau.Celles-ci sont exploitées dans divers domaines : production del"énergie électrique à partirde l"énergie hydraulique grâce aux turbines, coupe desmatériaux, etc. Le théorème d"Eulerrésulte de l"application du théorème dequantité de mouvement à l"écoulement d"un fluide :dtPdFextAvec:GVmP.quantité de mouvementCe théorème permet de déterminer les efforts exercés par le fluide en mouvementsur les objetsqui les environnent.Enoncé:La résultante (ΣFext) desforcesmécaniques extérieures exercées sur unfluide isolé (fluidecontenu dans l"enveloppe, voirFig. 19.)limitée parles sections 1 et 2est égale à lavariation de

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la quantité de mouvement du fluide qui entre enS1à une vitesse1Vetsort parla sectionS2à unevitesse2V.Elle est exprimée par la relation suivante:12.VVmFext

Figure 19.Force sur un tube de courant unidimensionnel avec débit constant:(a) tube de courant en écoulement permanent; (b) triangle des forces

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4.1. Analyse dimensionnelleL"analyse dimensionnelle a pour rôle de souligner l'importance des unités ensciencesphysiquesqui donnent unarrangementprécis à toutes les formules littérales,fournit des méthodes pourchoisir les grandeursappropriéesetleurbonneprésentation.L'analyse dimensionnelle est un outilthéorique servant à interpréter les problèmes à partir des dimensions des grandeurs physiquesmises enjeu.Lors de l'établissement d'une expression, l'analyse dimensionnelle permet devérifier son homogénéité et de la corriger le cas échéant, sachant qu'une expression nonhomogène ne peut être que fausse.C'est une technique très utile dans tous les domainesexpérimentaux de l'ingénierie. S'il est possible d'identifier les grandeurs impliquées dans unphénomène physique, l'analyse dimensionnelle peut fournir uneéquation reliant toutes lesgrandeurs physiques impliqués les uns aux autres.4.2.Dimensions, unités et système internationalLes grandeurs physiques qui décrivent un phénomène physique sont caractérisées par leurdimension. Une grandeur peut avoir la dimension d"une longueur, d"une énergie, d"une masse,d"une vitesse,etc...La notion de dimension est très générale, et ne suppose aucun choixparticulier d"unité.Le système international (SI) compte sept unités de base (voirTable n°1)censées quantifierdes grandeurs physiques indépendantes. Chaque unité à un symbole.Table 1. Les unités de base du système SIGrandeur physiqueDimensionUnité SILongueurLLe mètre (m)MasseMLe kilogramme (kg)TempsTLa seconde (s)Courant électriqueIL"ampère (A)TempératureLe kelvin (K)Quantité de matièreNLa mole (mol)Intensité lumineuseJLa candela (cd)

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4.3. Théorème deVaschy-BuckinghamL'analyse dimensionnelle des résultats expérimentaux des problèmes de mécanique des fluidespeu connus conduit à certaines grandeurs adimensionnelles. Ces grandeurs (nombres ) sansdimension sont souvent appelés. Sur la base de la notion d'homogénéité dimensionnelle, cesparamètres sans dimension peuvent être groupés et exprimés sous des formes fonctionnelles.Cette idée a été présentée par Buckingham (1867-1940) dont théorème porte son nom.Le théorème deVaschy et Buckingham, appelé aussi "théorème», énonce que:Soit un problème physique comportantngrandeurs différentes(variables)(A1, A2, A3,..., An),comme la vitesse, la pression, la viscosité, etc.dontles dimensionsfondamentalesdesquellesinterviennentsontm.Il existe une relation qui relietoutes ces quantitésentre elles,cette relations"écrit:0,...,,,321nAAAASi1,2,3,..., représentent lesnombresadimensionnelles parmi les quantités physiquesA1,A2,A3,..., An, on peut alorsexprimer la relation précédente sous la forme d"une équationà (n-m)nombres sans dimensions,de laforme:0,...,,,111mnfOù0,...,,321mnf4.4.Les étapes de l"analyse dimensionnellePour réaliser une analyse dimensionnelle, on doit considérer les neuf étapes suivantes:1.Dresser la liste de toutes lesgrandeurs physiques (Ai) et leur dimension correspondante.Omettre toutegrandeurphysiquedépendantesd"une ou d"autresgrandeurs.2.Écrire la fonction0,...,,,321nAAAA3.Choisir les variables répétitives. Ces variables doivent contenir toutes les m dimensionsdu problème. Souvent, on retient une variable parce qu"elle détermine l"échelle, une autre,parce qu"elle détermine les conditions cinématiques; ilfaut une variable liée avec lamasse ou les forces du système.

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4.Écrire les paramètresen fonction des exposants inconnus:00031111111TLMLTMLMLTLDVzyxzyxS"assurer que toutes les quantitésAisont incluses dans les groupesi.5.Écrire les équations des paramètrespour les exposants; on doit obtenir une sommealgébrique nulle pour chaque dimension (homogénéité).6.Résoudre les équations simultanément.7.Remplacer les exposants trouvés (x1, y1, z1,...) dans les expressions de(formulées enétape 4) pour obtenir les grandeurssans dimension.8.Déterminer la fonction:0,...,,,321mnfS"assurer que tous les paramètres pi sont indépendants les uns des autres.9.Mettre les résultats sous la forme de nombres sans dimension connus (Re,Ma,Fr,etc.).4.5.Exemple d"analyse dimensionnelle dans la mécanique des fluidesLes pertes de charge dans une conduite cylindrique rugueuse

En utilisant le théorème de Vaschy-Buckingham, proposer une relation pour présenter lesrésultats expérimentaux en fonction de paramètres adimensionnels.

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Solution:1) Inventaire des variables et de leurs dimensionsVariableSymboleDimensionPerte de charge par unité de longueurΔp/l(Pa/m)ML-2T-2Diamètre de la conduiteD (m)LMasse volumique du fluideρ (kg/m3)ML-3Viscosité dynamique? (Pa.s)ML-1T-1Vitesse moyenne de l"écoulementU (m/s)LT-1Rugosité absolue de surface de la conduiteε (m)L2)Formulation de la fonctionalgébrique:,,,,VDflp3)Détermination du nombre des grandeurs adimensionnelsOn a 7 grandeurs avec trois dimensions (MLT). Ondéduitdonc (7-3 = 4) paramètres, soient:1,2,3et4Si on prend:V,Detcomme variables qui se répètent (car les trois contiennent les dimensionsfondamentales MLT).4)Écriture des paramètresen fonction des exposants inconnus:Les nombresqu"on peut former sont les suivants:0001111TLMpDVzyx0002222TLMlDVzyx0003333TLMDVzyx0004444TLMDVzyx5)Écritured"équations des paramètrespour les exposantsLes nombresexprimés en termes de dimensions sont les suivants:000231111TLMLTMLMLTLzyx

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00032222TLMLLMLTLzyx00033333TLMLLMLTLzyx00034444TLMLTMLMLTLzyx6, 7)Résolution des équations et remplacement des exposants (x1, y1, z1,...) dans les expressionsde000)2()13()1(111111TLMTLMxzyxzOn obtient,11z,01y,21xDonc,21Vp000)()13()(222222TLMTLMxzyxzOn obtient,02z,12y,02xDonc,Dl2De la même manière, on obtient:D3Ainsique:Re14VD8)L"écriture de la relation finale:La relation finaleest:4321,,fOù:Re1,,2DDlfVp

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4.6.Les régimes d'écoulementLes expériences réalisées parReynolds( 1883) lor s de l'écoule ment d'un l iquide dans uneconduite cylindriquerectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ontmontrél'existence de troisrégimesd'écoulement :laminaire, transitoireet turbulent.L"écoulement laminaire(Fig. 6.a.) es t caractéris é pa r une seul e direct ion (composa nte) devitesse (vecteurs vitesse parallèles),un écoulement turbulent(Fig. 6.2.) est caractérisé par destourbillons dans le fluide, le passage du régime laminaire au régime turbulent est dit régimed"écoulement transitoire(voirFig. 6.c.).

a)Ecoulement laminaireb)Ecoulement transitoirec)Ecoulement turbulentFigure6.Lesdifférentsrégimes d"écoulementsdes fluidesEn utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le diamètre de lacanalisation,Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement estlaminaire ou turbulent est unnombre sans dimension appelé nombre de Reynolds.4.7. Nombre de ReynoldsIl permet de déterminer le régime d"écoulement du fluide. Il est donné par la relation suivante:DVRe.Où:DVRe.Avec:V:vitesse d"écoulement (m/s)d:diamètre du conduit (m) viscosité cinématique (m2/s): viscosité dynamique (N.s/m²): masse volumique du fluide (kg/m3)D"après la relation ci-dessus, le nombre de Reynolds représente une balance entre les forcesd"inertieet les forcesvisqueuses (forces de frottement).

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De l'expérience,Il est montréquepour un écoulement dans une conduite, que:SiR< 2000: l"écoulement estlaminaire.SiR > 3000: l"écoulement estturbulent.Si2000 < R < 3000: l"écoulement esttransitoire.Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un typed'écoulement à un autre sefait progressivement.4.8.Les pertes de charges4.8.1.Le phénomènea)ObservationsLa pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle ils'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorèmede Bernoulli.La pression d'un fluide réel diminue après le passage à travers un coude, une vanne ou unrétrécissement.b)ConclusionUnfluide réel, enmouvement, subit despertes d'énergiedues aux frottements sur les parois dela canalisation(pertes de chargelinéaires) ou sur les "accidents" de parcours (pertes dechargesingulières).4.8.2.Influence des différentes grandeurssur les pertes de chargeLorsqu'on considère un fluide réel, les pertes d'énergie spécifiques ou bien comme on les appellesouvent, lespertesde chargesdépendent de la forme, des dimensionset de la rugosité de lacanalisation, de la vitesse d'écoulement et dela viscosité dufluidemais non de la valeur absoluede la pression qui règne dans lefluide.La différence de pression:Δp= p1-p2entre deux points (1) et (2) d'un circuit hydraulique apour origine(voirFig.2):Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie ; on les appellepertes dechargelinéairesousystématiques.

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La résistance à l'écoulement provoquée par les accidents de parcours (coudes,élargissements ou rétrécissementde la section, organes de réglage, etc.) ; ce sont lespertes de charge singulières.Le problème decalcul de ces pertes de charge met en présence les principales grandeurssuivantes :Le fluidecaractérisé par :•sa masse volumiqueρ.•sa viscosité cinématiqueν.Laconduitecaractérisée par :•sa section (saforme) en général circulaire (diamètreD).•sa longueurL.•sa rugosité(hauteur moyenne des aspérités de la paroi).Ces éléments sont liés par des grandeurs comme la vitesse moyenne d'écoulementVou le débitQet le nombre deReynolds(Re)qui joue un rôle primordial dans le calcul des pertes de charge.4.8.3.Pertes de chargelinéaires4.8.3.1.GénéralitésCe genre de perte est causé par le frottement intérieur qui se produit dans lesfluides; il serencontre dans lesconduitslissesaussi bien que dans lesconduitsrugueux.Lors de l"écoulement d"un fluide réel incompressible, entre deux pointsdistants d"unelongueurL, dans uneconduitede diamètreDapparaît une perte de pressionΔp,exprimée sous la formesuivante :DLVp22Equation deDarcy-Weisbach(Différence de pression)Cette relation peut être réécrite sous la forme suivante:DLgVh22(Différence de hauteur)Avec,λ:est un coefficient sans dimension appelécoefficient de perte de charge(Coeff.de frottement)Le calcul des pertes de charge repose entièrement sur la détermination de ce coefficientλ.

51

Figure 2.Pertes de charge dans une conduite4.8.3.2.Cas desécoulementslaminaires: Re < 2000Dans ce cas, on peut montrer que le coefficientλest uniquement fonction du nombre de ReynoldsRe;l'état de la surface n'intervient pas et doncλne dépend pas de(hauteurs moyennesdesaspérités du tuyau), ni de la nature de la tuyauterie.Re64(Relation de Poiseuille)L"expression dehdevient alors:222322642gDVLDLgVVDDLgVh232gDVLhIl est alors immédiat de voir queΔhest proportionnel à la vitesseVet donc au débitQ, ainsi qu'àla viscositécinématiqueν.4.8.3.3.Cas desécoulementsturbulent : Re > 3000Danscerégime, les d'écoulement sont beaucoup plus complexes et la détermination ducoefficient de perte de chargerésulte desmesures expérimentales. C'est ce qui explique ladiversité des formules qui ont été proposéespour sa détermination.En régime turbulentl'état de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grandeque le nombre deReynoldsReest grand. Touteslesétudesont montré l'influence de la rugosité

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etelless'sontattachéespar la suite àchercher la variation du coefficientλen fonction du nombrede ReynoldsReet de la rugositéde la conduite.La formule deColebrook-Whiteest actuellement considérée comme celle qui traduit le mieux lesphénomènesd'écoulement en régime turbulent. Elle est présentée sous la forme suivante :Re51.27.3log21DL'utilisation directe de cette formule demanderait, du fait de sa forme implicite, un calcul parapproximationssuccessives,on emploie aussi en pratique desdiagrammes(abaques), voirFig. 3.Pour simplifier la relation précédente, on peut chercher à savoir si l'écoulement esthydrauliquement lisseourugueuxpour évaluer la prédominance des deux termes entreparenthèses dans la relation deColebrook-White.Remarque :Pour le calcul du coefficient de perte de chargeλ,On utilise souvent des formules empiriquesplus simples valables pour des cas particuliers et dans un certain domaine du nombre deReynolds, par exemple :Pourunrégime hydrauliquementlisseFormule de Blasius :(3000 53

Figure 3.Diagramme de Moody

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4.8.4.Pertes de chargesingulièresD"aprèsles expériences, il est montrédans beaucoup de casque, les pertes de chargesingulièressont proportionnelles aucarré de la vitesse etsont exprimées par la relationsuivante :22VKpOùen termes de hauteur:gVKh22K:estle coefficient de perte de chargesingulière, il estfonction dela singularitégéométrique etdu nombre de Reynolds.La détermination de cecoefficientest principalement du domaine del'expérience.Le coefficientKestdonnépour différentes configurations pratiques dans latable 1suivante:Table 1.Quelques singularités typiques avec les coefficients de perte de charge associés.

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4.9.Théorème de Bernoulli généraliséLors d'un écoulement d'un fluide réel entre les points(1)et(2)il peut y avoir deséchangesd'énergieentre ce fluideet le milieu extérieur :partravail à travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance échangée étantP(voirThéorème de Bernoulli§ 3.5)parpertes de chargedues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents deparcours ; la différence depression étantΔp(voir ci-dessus§4.2).Le théorème de Bernoulli s'écrit alors sous la forme générale :pQPppzzgVVV1212212221Avec :ΣP : somme des puissances échangées entre le fluide et le milieu extérieur, à traversune machine, entreles points(1) et(2) :P >0 si le fluide reçoit de l'énergie de la machine (pompe),P <0 si le fluide fournit de l'énergie à la machine (turbine),P = 0 s'il n'y a pas de machine entre (1) et (2).Δp : somme des pertes de charge entreles points(1) et (2).

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Références bibliographiques[1]Y. Cengel and J. Cimbala,Fluid mechanicsFundamentals and applications, 3rdedition,McGraw Hill,2001.[2]R. Ouziaux, J. Perrier, Mécanique des fluides appliquée, DUNOD, Paris, 1998.[3]Frank M. White,Fluid mechanics, 4thedition, McGraw Hill,Inc.New York,1999.[4]M. Carlier, Hydraulique générale et appliquée, 3èmeédition, Eyrolles, Paris, 1986.[5]Bruce R. Munson, Donald F. Young, Heodore H. Okiishi, Wade W. Huebsch, Fundamentalsof fluid mechanics, 6th edition,John Wiley & Sons, Inc.United States of America.[6]R. K. Bansal, A Textbook of Fluid Mechanics and Hydraulic Machines,9th edition, LP.[7]Andrew Sleigh, An Introduction to Fluid Mechanics,School of Civil Engineering, Universityof Leeds. May 2001.[8]J.M.McDonough,Lectures in elementary fluid dynamics: Physics, Mathematics andApplications, Departments of Mechanical Engineering and Mathematics, University of Kentucky,Lexington, KY, 5thedition, 2009.

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NomSymboleDimensionsUnité SIAutres unitésNom, symboleValeur en SILongueurLLmètre (m)pouce (in)pied (ft)2.54x10-2m30.48x10-2mSurfaceS où AL²mètre carré(m²)pouce carré(in²)piedcarré (ft²)6.451x10-4m²9.29x10-2m²VolumeVL3mètre cube(m3)litre (l)10-3m3MassemMkilogramme(kg)tonne (t)livre (lb)103kg0.4536 kgMassevolumiqueML-3kilogramme parmètre cube(kg/m3)gramme parcentimètre cube(g/cm3)10-3kg/m3TempstTseconde (s)minute (min)heure (h)jour (d)année (a)60 s3600 s8.64x104s3.165x107sVitessevLT-1mètre parseconde (m/s)kilomètre parheure (km/h)0.2778 m/sForceFMLT-2newton (N)kilogramme-force9.80665NEnergie,travail,quantité dechaleurWL2MT-2Joule (J)calorie (cal)watt-heure(w.h)British thermalunit (Btu)4.185 J3600 J1.056x103JPuissancePL²MT-3watt (w)1 cheval vapeur(ch din)736 wContrainte,pression, pML-1T-2pascal (pa)barlivre par poucecarré(psi)105pa6.895x103paViscositédynamiqueLM-1T-1pascal-seconde(pa.s)Poise (P)10-1pa.sFréquencefT-1hertz (hz)cycle parseconde1 hzAngle planARadian (rad)degré (°)tour (tr)minute (')seconde ('")/180 rad2rad/10800 rad/64800 rad

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