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Sorbonne Université

Master de Sciences et Technologie

Mention Physique et Applications (M1)

Approche "Physique Fondamentale" (PF)

Mécanique Quantique

(4P001)Sofian.Teber@upmc.fr

Table des matières

Table des matières ii

Table des figuresvii

1 Rappels sur le formalisme de la mécanique quantique 1

1.1 L"expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Description de l"expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Expériences de Stern et Gerlach séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3 Analogie avec la polarisation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.6 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Rappels sur le formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1 Espace des états, états et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1.1 L"espace des kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1.2 L"espace des bras et le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1.3 Opérateurs adjoint et hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2 Kets de base et représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2.1 Kets de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2.2 Représentations matricielles (mécanique des matrices de Heisenberg)

13

1.2.3 A propos de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.4 Observables compatibles, incompatibles et notion d"ECOC . . . . . . . . .

17

1.2.5 Cas du spectre continu et lien avec la mécanique ondulatoire . . . . . . . .

19

1.2.5.1 Kets propres de l"opérateur position et représentation-q . . . . . .

20

1.2.5.2 Kets propres de l"opérateur impulsion et représentation-p . . . . .

21

1.2.5.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.5.4 Lien entre représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.5.5 Le paquet d"ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.6 Deux résultats exemplaires : l"oscillateur harmonique et l"atome d"hydrogène

26

1.2.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.9 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.3 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.1 L"opérateur d"évolutionU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.3.2 Action deUsur un ket d"état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.3.3 Moyennes temporelles d"observables (états stationnaires et constantes du

mouvement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
32

1.3.5 Opérateur d"évolution en représentation-q(cas de la particule libre) . . . .34

1.3.6 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.3.8 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
ii

TABLE DES MATIÈRESiii

2 Symétrie et lois de conservation 37

2.1 Prélude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Symétrie et lois de conservation en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.2 Symétrie et lois de conservation en mécanique de Lagrange . . . . . . . . .

41

2.2.3 Symétrie et lois de conservation en mécanique de Hamilton . . . . . . . . .

47

2.2.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.3 Symétrie et lois de conservation en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.3.1 Translations en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.3.1.1 Représentation de l"opérateur de translation en mécanique quantique

52

2.3.1.2 Action de l"opérateur de translation sur un ket de base . . . . . .

52

2.3.1.3 Action de l"opérateur de translation sur un ket d"état . . . . . . .

53

2.3.1.4 Unitarité de l"opérateur de translation : principe de relativité de

Galilée en mécanique quantique et théorème de Wigner . . . . . . 53

2.3.1.5 Opérateur de translation et générateur des translations . . . . . .

54

2.3.1.6 Analogie avec la mécanique classique et représentation à une phase

près . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.1.7 Action de l"opérateur de translation sur une observable et invariance

par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.1.8 Opérateurs de translation et relations de commutation canoniques

58

2.3.1.9 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.3.2 Rotations en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.3.2.1 Représentation de l"opérateur de rotation en mécanique quantique

61

2.3.2.2 Principales propriétés de l"opérateur de rotation en mécanique quan-

tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.2.3 Conséquence de la non-commutativité des rotations dansR3. . .62

2.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.3.4 Opérateurs scalaires et vectoriels en mécanique quantique . . . . . . . . . .

63

2.3.5 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3.6 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4 Transformation de jauge et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.4.2 L"invariance de jauge en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.4.3 L"invariance de jauge en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.4.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.4.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.5 Symétrie discrète : la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.5.1 La parité en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.5.2 La parité en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.6 Symétrie discrète : le renversement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.6.1.1 Le renversement du temps en physique classique . . . . . . . . . .

74

2.6.1.2 Le renversement du temps en mécanique quantique . . . . . . . .

75

2.6.2 Propriétés de l"opérateur de renversement du temps . . . . . . . . . . . . .

76

2.6.2.1 Retour sur le théorème de Wigner : opérateurs unitaires et antiu-

nitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6.2.2 Les opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.6.2.3 Les opérateurs anti-unitaires (ou unitaires antilinéaires) . . . . . .

77

2.6.2.4 Conséquences du théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.6.2.5 OpérateurΘet représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

2.6.2.6 Action deΘsur les kets de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

2.6.2.7 OpérateurΘ, hamiltonien et opérateur d"évolution . . . . . . . . .81

ivTABLE DES MATIÈRES

2.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

3 Théorie générale du moment cinétique 83

3.1 Valeurs propres et états propres du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.1.1 Relations de commutation et opérateurs d"échelle . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.1.2 Valeurs propres de?J2etJz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

3.1.3 Eléments de matrice de?J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

3.1.4 Nombres quantiques, multiplets et limite semi-classique . . . . . . . . . . .

86

3.1.5 Eléments de matrice des opérateurs de rotation . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.1.6 Retour sur symétrie et dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.1.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.1.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.1.9 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.2 Le moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.2.1 Représentation-qdu moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . .90

3.2.2 Les harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.2.3 Quelques propriétés des harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.2.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.2.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.3 Composition (addition) des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3.3.1 Exemples simples et introduction au produit tensoriel . . . . . . . . . . . .

95

3.3.2 Addition de deux moments cinétiques : coefficients de Clebsch-Gordan . . .

97

3.3.3 Propriétés des coefficients de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3.3.4 Méthode pratique de composition de deux moments cinétiques . . . . . . .

99

3.3.5 Théorème d"addition et composition de plus de deux moments cinétiques .

101

3.3.6 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

3.3.7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

3.3.8 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

3.4 Théorème de Wigner-Eckart, règles de sélection et théorème de projection . . . . .

103

3.4.1 Opérateurs scalaires, vectoriels et tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

3.4.2 Eléments de matrice d"opérateurs tensoriels (théorème de Wigner-Eckart et

règles de sélection) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.3 Théorème de projection et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

3.4.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

3.4.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

3.4.6 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

4 Potentiel central 109

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

4.2 L"équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

4.3 Propriétés des solutions et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

4.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

4.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

4.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

4.6.1 Potentiel et quantification du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

4.6.2 La particule libre dansR3(ondes planes sphériques) . . . . . . . . . . . . .114

4.6.2.1 L"équation radiale pour la particule libre . . . . . . . . . . . . . .

114

4.6.2.2 Ondes planes sphériques et ondes planes . . . . . . . . . . . . . . .

115

4.6.3 L"atome d"hydrogène (et atomes hydrogénoïdes) . . . . . . . . . . . . . . .

116

4.6.3.1 L"équation radiale de l"atome d"hydrogène . . . . . . . . . . . . . .

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