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La croissance exponentielle d'une quantité est son augmentation au fil du temps selon une loi exponentielle. On l'observe quand la dérivée par rapport au temps de cette quantité (c'est-à-dire son taux de variation instantané) est positive et proportionnelle à la quantité elle-même.Comment définir l'exponentielle ?
En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images.- Une fonction exponentielle de base e s'écrit f(x)=aekx f ( x ) = a e k x avec a et k réels. Selon les valeurs de a et de k la fonction est croissante ou décroissante.
Première L cours croissances
11 Croissance linéaire
G est une grandeur évoluant dans le temps et mesurée à intervalles réguliers. 1.1Définition
G suit une croissance linéaire quand la variation absolue entre deux mesures consécutives reste constante dans le temps. On dit aussi que G suit une progression arithmétique. 1.2Exemple
Le tableau suivant donne les tirages moyens d"un quotidien sur 12 mois. mois jan fév mar avr mai juin juil aout sept oct nov déc tirages 18200 18000 17800 17600 17400 17200 17000 16800 16600 16400 16200 16000 variations absolues -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 Le tirage mensuel suit une croissance linéaire. 1.3Remarques
Un phénomène décroissant peut suivre une " croissance » linéaire. Les fonctions qui suivent une croissance linéaire sont les fonctions affines. Si t et t" sont des valeurs quelconques distinctes, G(t") - G(t) t" - t est constant : c"est le coefficient directeur de la droite représentant G.Première L cours croissances
22 Croissance exponentielle
G est une grandeur évoluant dans le temps et mesurée à intervalles réguliers. 2.1Définition
G suit une croissance exponentielle quand la variation relative entre deux mesures consécutives reste constante dans le temps. Autrement dit, entre deux mesures consécutives, la grandeur G est multipliée par un même nombre. On dit aussi que G suit une progression géométrique. Si t1 et t2 sont deux dates consécutives, G(t2) - G(t1)
G(t1) = k
2.2Exemple
Une population de bactéries double toutes les heures.Temps (heures) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Population 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
Variations relatives
100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
Coefficient
multiplicateur2 2 2 2 2 2 2 2 2
Population
0100200300400500600
0 2 4 6 8 10
2.3Remarques
A chaque intervalle de temps, la grandeur G est multipliée par le même nombre. Un phénomène décroissant peut suivre une " croissance » exponentielle.Première L cours croissances
33 Autres types de croissance
Un plongeur se jette d"une falaise. Sa chute est enregistrée et, à chaque seconde, on mesure la longueur de sa chute.A B C D E
Tempsécoulé (s)
Longueur de
la chuteVariation
relative "Différence première" : variation absolue des valeurs de la colonne B "Différence seconde" : variation absolue des valeurs de la colonne D 0 01 4,9 4,9
2 19,6 300% 14,7 9,8
3 44,1 125% 24,5 9,8
4 78,4 78% 34,3 9,8
5 122,5 56% 44,1 9,8
La longueur de la chute ne suit ni une croissance exponentielle, ni une croissance linéaire. La distance parcourue par seconde (colonne D) suit une croissance linéaire. La loi mathématique de la chute des corps a été établie par Galilée. La formule reliant distance de chute d au temps écoulé t s"écrit : d = 1 2 gt² avec g » 9,8Longueur de
la chute 020406080100120140
0 1 2 3 4 5 6
4Généralités sur les suites
4.1Définition
Une suite est une fonction définie sur l"ensemble des entiers naturels.Exemple
La suite u : n 2n est la suite des nombres pairs.Notations
Première L cours croissances
4L"image du nombre n par u est notée :
soit un : notation indicielle soit u(n) : notation fonctionnelle u n est le terme d"indice n ou de rang n. u n+1 est le terme suivant de un. u n-1 est le terme précédent de un.Dans l"exemple : u
0 = 0, u1 = 2, u2 = 4, u4 = 8
4.2Représentation graphique
La représentation graphique de la suite u de terme général un dans un repère (O ; i ; j) est l"ensemble des points de coordonnées (n, un) pour n Î .Exemple
: Soit v la suite des carrés des entiers naturels, v : n n² 4.3Détermination explicite
Une suite est déterminée de façon explicite quand chaque terme est exprimé en fonction de son rang.Exemple
: Pour la suite v définie par v(n) = n², le calcul des termes est direct : v(100) =100² = 10 000
4.4Détermination récurrente
Quand chaque terme est exprimé en fonction du terme précédent et que l"on connaît le premier terme, on dit que la suite est déterminée de façon récurrente.Première L cours croissances
5Exemple
: Soit la suite u définie par u0 = 3 et un+1 = un² + 1Pour calculer u
10, on doit d"abord calculer u9 et donc calculer u8, u7,..., u1.
u1 = 3² + 1 = 10, u2 = 10² + 1 = 101, u3 = 101² + 1 = 10 202, etc ....
5Suites arithmétiques
5.1Définition
Une suite arithmétique est une suite qui suit une croissance linéaire. La suite u est une suite arithmétique si et seulement si la variation absolue un+1 - un est constante pour tout n.Exemple
La suite définie par les termes " 1,4,7,10, .... » est une suite arithmétique v qui vérifie v
n+1 - v n = 3. 5.2 Détermination récurrente d"une suite arithmétique La suite u est arithmétique si et seulement si, pour tout rang n, un+1 -= un + r où r est une constante appelée raison de la suite.Une suite arithmétique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u0
et de sa raison r. 5.3 Détermination explicite d"une suite arithmétiqueExemple
: Soit w la suite arithmétique définie par son premier terme 3 et sa raison 0,4.Calculons les premiers termes de cette suite.
w 0 = 3 w1 = w0 + 0,4 = 3,4
w2 = w1 + 0,4 = w0 + 0,4 + 0,4 = w0 + 2 ´0,4
w3 = w2 + 0,4 = w0 + 0,4 + 0,4 + 0,4 = w0 + 3 ´0,4
Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r : un = u0 + n ´ r pour tout rang n.Première L cours croissances
6Exemples
Pour la suite v citée auparavant, on a : vn = 1 + 3n Pour la suite w définie ci-dessus, on a : wn = 3 + 0,4n Pour la suite arithmétique t de premier terme 20 et de raison -3, on a : t n = 20 - 3n 5.4Représentation graphique
On a représenté les premiers termes de la suite w précédente :Puisque w
n = 3 + 0,4n, les points représentant la suite w appartiennent à la droite d"équation y = 0,4x + 3.Dans un repère (O ;
i ; j ), la représentation graphique d"une suite arithmétique est constituée de points alignés.6 Suites géométriques
6.1Définition
Une suite géométrique est une suite qui suit une croissance exponentielle. La suite u est une suite géométrique si et seulement si la variation relative un+1 - un un est constante pour tout n.Première L cours croissances
76.2 Détermination récurrente d"une suite géométrique
Soit k =
u n+1 - un un le nombre constant.On a : u
n+1 - un = kun u n+1 = (k+1) un.En posant q = k +1, u
n+1 = q un.est la détermination récurrente de la suite u.La suite u est géométrique si et seulement si, pour tout rang n, un+1 -= q ´ un où q est une
constante appelée raison de la suite.Une suite géométrique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u0
et de sa raison q.Exemple
La suite définie par les termes consécutifs " 1 ;3 ;9 ;27 » est une suite géométrique v de
premier terme 1 et de raison 3.Pour tout rang n, on a v
n+1 = 3vn. 6.3 Détermination explicite d"une suite géométrique Exemple : Soit w la suite définie par son premier terme 7 et sa raison 1,4Calculons les premiers termes de cette suite.
w 0 = 7 w1 = 1,4 ´ w0 = 9,8
w2 = 1,4 ´ w1 = 1,4 ´ 1,4 ´ w0 = 1,4² ´ w0
w3 = 1,4 ´ w2 = 1,43 ´ w0 Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q : un = qn ´ u0 pour tout rang n.Exemples
Pour la suite v citée auparavant, on a : vn = 3n Pour la suite w définie ci-dessus, on a : wn = 7 ´ 1,4nPremière L cours croissances
8 6.4Exemple de représentation graphique
On a représenté les premiers termes de la suite w précédente :quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] croissance exponentielle economie
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