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COLLECTION ODYSSÉE
MATHÉMATIQUES 1
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Nouveau programme
Sous la direction de
Éric SIGWARD
IA-IPR de mathématiques de l'académie de StrasbourgAuteurs
François BRISOUX
Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de MunsterChristian BRUCKER
Professeur de mathématiques au lycée Théodore Deck de GuebwillerIsabelle SANCHEZ
Professeur de mathématiques au lycée Bartholdi de ColmarPierre SCHWARTZ
Professeur de mathématiques au lycée international de StrasbourgSuivi éditorial : Dominique Colombani
Maquette : Nicolas Balbo
Mise en page : Pierre Florette (Domino)
Infographies : Domino
HATIER, PARIS, 2011
ISBN 978-2-218-95348-4
Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation
préalable, est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf. : loi du 11 mars 1957, alinéas 2 et 3 de l"article 41.
Une représentation ou reproduction sans autorisation de l"Éditeur ou du Centre Français d"exploitation du droit de Copie (20, rue des
Grands-Augustins 75006 Paris) constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code Pénal.
3 3
Introduction ................................................................................................................................. 5
PARTIE A Analyse ..................................................................................................................... 7
chapitre 1. Second degré ........................................................................................................ 9
chapitre 2. Étude de fonctions ............................................................................................ 37
chapitre 3. Dérivation ............................................................................................................. 67
chapitre 4. Les suites .............................................................................................................. 99
PARTIE B Géométrie ........................................................................................................... 119
chapitre 5. Vecteurs et droites ........................................................................................... 121
chapitre 6. Trigonométrie .................................................................................................... 143
chapitre 7. Produit scalaire ................................................................................................. 161
PARTIE C Statistiques et probabilités .................................................................... 183
chapitre 8. Statistiques ........................................................................................................ 185
chapitre 9. Probabilités ........................................................................................................ 197
chapitre 10. Loi binomiale. Échantillonnage ................................................................. 207
SOMMAIRE
5 Le manuel reprend les trois parties du programme de la classe de première : les fonctions, lagéométrie et les statistiques et probabilités. Dans chacune de ces parties, il s"agit de former les
élèves à la démarche scientifique afin de les rendre capables de conduire un raisonnement.
Le programme de la première peut être abordé selon plusieurs angles, mais il ne faudrait surtout pas le concevoir comme une succession de chapitres cloisonnés. Il conviendra doncde concevoir, dès le début de l"année, une progression alternant les différentes notions à
traiter, de telle sorte que les concepts abordés soient repris tout au long de l"année. Vous retrouverez d"ailleurs dans le manuel notre volonté de varier au maximum les situationsproblèmes au sein de chaque chapitre, afin de réinvestir les différents thèmes, ainsi que les
notions du collège comme le calcul algébrique et la géométrie plane. Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus diversifiés possibles. Ils sont classés en trois catégories : les activités utilisant l"outil informatique ou la calculatrice ; les activités qui mettent en uvre une démarche algorithmique ;les problèmes plus ouverts qui exigent davantage d"initiative de la part des élèves. Certains
d"entre eux nécessitent l"utilisation de logiciels pour conjecturer. Dans chacun de ces problèmes, les élèves auront l"occasion de chercher, d"appliquer des techniques, d"effectuer des essais, de conjecturer avec les TICE puis d"élaborer des démons- trations. L"utilisation des TICE est tout à fait adaptée à l"acquisition de nombreuses notions du programme de première. Il s"agit d"exploiter toutes les possibilités offertes afin d"enrichir l"apprentissage et les méthodes d"investigation. L"outil informatique permet en effet d"ob-tenir rapidement une représentation concrète du problème étudié. Des modifications des
configurations en jeu peuvent mettre en évidence les propriétés à démontrer et toute l"atten-
tion peut alors se porter sur la démonstration elle-même. Les problèmes ouverts proposés dans ce manuel ne font pas appel directement aux TICE. Nous proposons cependant danscertains cas soit une illustration, soit une vérification du résultat obtenu à l"aide de la calcu-
latrice ou d"un logiciel adapté à la situation étudiée. Il importe que la diversité de ces activités se retrouve aussi dans la nature des travauxproposés aux élèves : des travaux dirigés en groupe, des travaux en autonomie, des activités
en salle informatique ou des devoirs personnels réalisés à la maison. Des commentaires dans ce sens aideront les professeurs dans leur choix. Nous avons essayé de proposer, au sein de chaque chapitre, des problèmes de difficultés progressives, en particulier dans le domaine de l"algorithmique. À l"issue de la classe deseconde, les élèves ont déjà acquis une certaine expérience avec les logiciels usuels : tableur
et un logiciel de géométrie dynamique. L"algorithmique, et plus particulièrement la program-
mation dans un certain langage, est quant à elle une activité nouvelle depuis la classe de seconde et doit se poursuivre dans les classes du cycle terminal. 5INTRODUCTION
Nous n'avons privilégié aucune syntaxe particulière, ce qui vous permet d'utiliser ce guideavec ses fichiers quel que soit le matériel et les logiciels utilisés dans votre établissement. La
plupart des travaux pratiques peuvent cependant être réalisées assez simplement à l"aide d"une calculatrice. Ce qui permet une très large utilisation de ce guide.Vous trouverez dans ce livre du professeur, des éléments de correction pour les activités, les
exercices et problèmes, ainsi que des indications sur la mise en uvre des travaux pratiquesavec les élèves. Un nombre important de ces activités peut être réalisé avec l"outil informa-
tique. En complément, vous trouverez sur le CD d"accompagnement, des fichiers sous de nombreuses versions :Excel et OpenOffice pour les fichiers tableurs ;
Casio et Texas pour les tracés et la programmation à l"aide de la calculatrice ; GeoGebra, TI Nspire pour les exercices de géométrie plane ; Cabri3D et Geospace pour les exercices de géométrie dans l"espace ; AlgoBox, Python, Scilab et Xcas pour les programmes qui illustrent les algorithmes ;Xcas, TI Nspire pour le calcul formel.
Ces fichiers vous permettront d"une part de visualiser les résultats demandés, de tester les algorithmes ou les figures dynamiques, mais également d"illustrer vos explications lors desynthèses collectives avec les élèves. Certains de ces fichiers sont à la disposition des élèves
sur le site compagnon, intégralement ou partiellement complétés, plus particulièrementlorsque le problème consiste, soit à modifier, compléter ou corriger un algorithme, soit à
réaliser des conjectures sur une configuration géométrique relativement complexe, ou bien encore à effectuer des simulations sur une feuille de calcul d"un tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une activité en autonomie ou pour un devoir à réaliser à la maison.Nous espérons que ce livre répondra à vos attentes et qu"il vous apportera des pistes intéres-
santes pour une présentation efficace du programme de première S.Les auteurs.
7 7
PARTIE A ANALYSE
1. Second degré 9
1. Second degré
Objectifs et pré...requis
Le programme de première s'inscrit, comme celui de la classe de seconde, dans le cadre de la réso-
lution de problèmes. Les situations proposées ici répondent à des problématiques d"origine mathé-
matique ou en lien avec d"autres sciences.Un des objectifs de ce chapitre est de doter les élèves d"outils mathématiques permettant de traiter
de problèmes du second degré. Extrait du programme (Bulletin officiel spécial n° 9 du 30 septembre 2010)Contenus Capacités attendues
Forme canonique d"une fonction polynôme de
degré deux.Équation du second degré, discriminant.
Signe du trinôme.
Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d"une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d"un problème : développée, factorisée, canonique.Corrigés des activités
1 Représentation graphique dun trinôme
1 a. Voici une copie d'un écran
obtenu avec GeoGebra. b. Pour tout réel x, 3 ffŠx()=Š 1 3Šx()
2 1 3 x 2 =f 3 ffx(). Ainsi, la courbe 3 est symétrique par rapportà l"axe des ordonnées.
Par un raisonnement analogue, on montre que les courbes , 1 2 4 et 5 sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées. c. La courbe 4 est la symétrique de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. d. On passe de la parabole à la parabole représentant la fonction x ax 2 par une " dilatation » suivant l"axe des ordonnées dont le réel a est le coefficient.10 1. Second degré
Si a est strictement positif, la parabole obtenue est " tournée vers le haut » ; si a est strictement
négatif, elle est " tournée vers le bas ».2 a. Voici une copie d'un écran
obtenu avec GeoGebra. b. La courbe 1 est symétrique par rapport à la droite d"équation x = 3. c. On peut obtenir 1 à partir de par une translation de vecteur 3ai + 2aj. La courbe 1 a la même nature que la courbe : c'est une parabole. Son sommet est le point de coordonnées (3 ; 2), image du point O(0 ; 0) par la translation de vecteur 3ai + 2aj . d. La courbe 2 est l"image de la parabole par la translation de vecteur - 2ai - aj. e. Une fois le changement de courbure effectué, la translation permettant d'obtenir 3 est la trans- lation de vecteur -ai - 3aj. Les coordonnées du sommet de 3 sont (- 1 ; - 3). f. Le sommet de la parabole représentant la fonction g 4 est de coordonnées (2 ; - 1), donc g 4 (x) peut s"écrire sous la forme : g 4 (x) = a(x - 2) 2 - 1. De plus, g 4 (3) = 3.On en déduit : g
4 (x) = 4(x - 2) 2 - 1. (a = 4 ; = 2 ; = - 1).3 a. Pour tout réel x, h(x) = 3(x - 1)
2 + 2 (a = 3 ; = 1 ; = 2). Les coordonnées du sommet de la para- bole h représentant h sont donc (1 ; 2) et une équation de son axe de symétrie est x = 1.Construction à partir de la parabole : on procède à un changement de courbure (les ordonnées
des points de sont multipliées par 3), puis on effectue une translation de vecteur ai + 2aj. b. En posant = - b 2a et = - b 2Š4ac
4a , on obtient : pour tout réel x, ax 2 + bx + c = a(x - ) 2Le sommet de la parabole d"équation y = ax
2 + bx + c est de coordonnées - b 2a b 2Š4ac
4aSon axe de symétrie a pour équation x = -
b 2a2 Forme canonique dun trinôme
PARTIE A : Étude d'un exemple " historique»
1 (E') (x + 5)
2 - 64 = 0 (x + 5 - 8)(x + 5 + 8) = 0 (x - 3)(x + 13) = 0 x = 3 ou x = - 13.Les solutions de (E) sont - 13 et 3.
2 a. L'aire du carré ABCD additionnée à celle des deux rectangles le bordant vaut x
2 + 2 × 5x, c'est-à- dire x 2+ 10x. Elle est aussi égale à l"aire du grand carré AEIH diminuée de celle du carré CFIG. On a
donc : (x + 5) 2 - 25 = 39. b. Le mathématicien Al Khwarizmi retrouve ainsi la solution 3 (seule valeur positive). c. Cette méthode permet de résoudre des équations du type " x 2 + ax = b » . 3 x 2 + 12x = 85 (x + 6) 2 - 36 = 85 (x + 6) 2 - 121 = 0 (x - 5)(x + 17) = 0 x = 5 ou x = - 17.Les solutions de x
2 + 12x = 85 sont - 17 et 5.1. Second degré 11
PARTIE B : Autres exemples d'utilisation de la forme canonique1 a. f(x) = xŠ
5 2 2 1 4 et g(x) = (x - 3) 2 + 4. Les minimums sur ? des fonctions f et g sont Š 1 4 et 4. b. On a : f(x) = (x - 3)(x - 2) ; ainsi l'équation f(x) = 0 admet deux solutions : 2 et 3. c. g(x) = 0 (x - 3) 2 = - 4, or un carré est toujours positif. L"équation g(x) = 0 n'a pas de solution.2 a. Pour tout réel x : h(x) = 2x
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