[PDF] Actes du séminaire de didactique des mathématiques de 2019

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UNIVERSITÉ LUMIÈRE - LYON II

THESE pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ LUMIÈRE - LYON II

Ecole doctorale de Science de l'Éducation

Spécialité : Didactique des mathématiques Evolutions récentes de l'enseignement de la notion de fonction en France en classe de seconde Utilisation des tableaux de valeurs et de variations

Présentée et soutenue publiquement par

ølyas YAVUZ

Le 2 juin 2005

Thèse dirigée par Jean-Luc DORIER et Sylvie COPPE

Composition du jury :

Colette LABORDE Rapporteur

Marie-Jeanne PERRIN -GLORIAN Rapporteur

Robert BOUCHARD Examinateur

Jean-Luc DORIER Directeur de thèse

Sylvie COPPE Co-directeur de thèse

Remerciements

Je tiens à remercier toutes les personnes qui ont contribué de près comme de loin à ce travail et sans qui cette thèse n'aurait probablement jamais pu voir le jour. En tout premier lieu, je tiens à remercier Jean-Luc Dorier et Sylvie Coppé d'avoir accepté de co-diriger ce travail. Je les remercie de m'avoir aidée avec tant de générosité, à découvrir l'univers de la recherche en didactique des mathématiques. Ses conseils et ses encouragements m'ont soutenu tout au long de ces quatre années et m'ont permis de mener cette recherche à son terme. Je leur suis également reconnaissant pour les échanges humains, leur amitié et leurs attentions que je ne suis jamais prêt d'oublier. Je remercie également Collette Laborde et Marie-Jeanne Perrin de s'être rendus disponibles pour être rapporteurs de ma thèse et pour leurs questions qui m'ont fait entrevoir des chemins possibles dans la poursuite de mon travail. J'adresse mes remerciements aux enseignants et aux élèves qui ont contribué à la réussite de mon expérimentation. Je tiens aussi à remercier toutes les personnes du laboratoire ICAR pour leurs précieux conseils et les nombreux services qu'ils m'ont rendus. Enfin, j'exprime ma profonde gratitude à ma femme qui a partagé avec moi tous les moments de joie et de peine et qui a su m'insuffler l'énergie nécessaire pour accomplir avec succès mon travail de thèse. Merci à tous mes proches qui font ce que je suis : mon père, ma mère, mes frères et mes soeurs et la famille de mon épouse. Merci à mes nièces et mes neveux : Kevser,

Table des matières

PARTIE A

Introduction Problématique et Cadre théorique............................................................1

CHAPITRE A

Introduction Problématique et Cadre théorique...................................................................3

I. Introduction.............................................................................................................................3

II. Problématique et cadre théorique..........................................................................................7

II.1 Transposition didactique, approche anthropologique et problématique écologique.......7

II.2 Questionnement écologique ............................................................................................9

II.3 Les aspects sémiotiques dans l'activité mathématique..................................................10

II.3.1 Chevallard : ostensifs et sémiotique.......................................................................10

II.3.2 Duval et le sémiotique............................................................................................12

II.3.3 Notion de cadre et statut outil / objet des concepts mathématiques.......................14

II.4 Problématique du changement de registres...................................................................15

II.5 Connaissances liés à l'utilisation des registres et à leurs conversions .........................19

II.5.1 Le tableau de valeurs..............................................................................................19

II.5.2 Le tableau de variations..........................................................................................23

Organisation de la thèse .......................................................................................................26

PARTIE B

Etude des contraintes et libertés institutionnelles une approche en terme de rapport institutionnel et de rapport personnel

CHAPITRE B1

Analyse écologique de l'évolution des programmes depuis 1980.......................................31

I. Introduction...........................................................................................................................31

II. Période 1980 - 1985............................................................................................................33

III. Période 1986-1989.............................................................................................................39

IV. Période 1990-1999 ............................................................................................................45

V. Le nouveau programme de seconde - 2000........................................................................51

VI. Synthèse.........................................................................................................................56

CHAPITRE B2

Analyse écologique de manuels actuels (édition 2000) de Seconde concernant les

nouveaux programmes 2000..................................................................................................61

I. Introduction...........................................................................................................................61

I.1 Organisation de l'analyse des manuels...........................................................................62

I.1.1 Liste des types de tâches relatives aux tableaux de valeurs et de variations ...........62

I.1.2 Choix de manuels.....................................................................................................67

II. Premier volet : Etude de la partie " cours » des manuels....................................................67

II.1 Fractale maths 2

nde

II.2 Hyperbole Maths 2

nde

II.3 Pythagore maths 2

nde

II.4 Déclic Maths 2

nde

II.5 Conclusion.....................................................................................................................95

III. Deuxième volet : Etude des exercices................................................................................98

III.1 Répartition des exercices selon leur registre d'entrée..................................................98

III.2 Analyse des exercices utilisant le tableau de valeurs comme registre d'entrée...........99 III.3 Analyse des exercices utilisant (ou demandant) le tableau de variations ..................103

CHAPITRE B3

Questionnaire des professeurs.............................................................................................107

I. Introduction.........................................................................................................................107

II. Analyse a priori .................................................................................................................107

II.1 Des renseignements sur les organisations mathématiques (questions 1, 2 et 3)......108

II.2 Des définitions de la notion de fonction (question 4)..............................................108

II.3 Des renseignements sur la définition et le rôle des tableaux (questions 5 et 6)......109 II.4 Des renseignements sur certaines questions (questions 7, 8 et 9)...........................109

III. Analyse a posteriori :........................................................................................................110

CHAPITRE B4

Questionnaire des élèves......................................................................................................133

I. Introduction.........................................................................................................................133

II. Analyse a priori .................................................................................................................133

II.1 Question 1................................................................................................................133

II.2 Question 2................................................................................................................138

II.3 Question 3................................................................................................................140

II.4 Question 4................................................................................................................142

III. Analyse a posteriori des réponses des élèves...................................................................146

III.1 Question 1A ...........................................................................................................147

III.2 Question 1B............................................................................................................148

III.3 Questions 2A et 2B ................................................................................................150

III.4 Questions 3A et 3B ................................................................................................152

III.5 Question 4A............................................................................................................153

III.6 Question 4B............................................................................................................155

III.1 Expérimentation dans les classes de Terminale.........................................................156

Conclusion de la partie B

Bilan des points phares des nouveaux programmes et des difficultés à les mettre en

PARTIE C

Expérimentation visant à tester la viabilité certains points phares des programmes 2000.

Présentation de la Partie C..............................................................................................171

I. Introduction.........................................................................................................................171

II. Présentation de l'ensemble des séances et des activités................................................171

III. Présentation des expérimentations...............................................................................172

Chapitre C1

Analyse a priori des activités...............................................................................................175

I. Activité 1.............................................................................................................................175

I.1. Présentation générale de l'activité 1............................................................................175

I.2. Analyse a priori des procédures des élèves..................................................................178

I.2.1 Groupes émetteurs .................................................................................................178

I.2.2 Groupes récepteurs.................................................................................................182

II. Activité 2 ...........................................................................................................................186

II.1 Présentation générale de l'activité 2............................................................................186

II.1.1 Les objectifs de l'activité......................................................................................186

II.1.2 Présentation des exercices et déroulement ...........................................................187

II.2 Analyse a priori des procédures des élèves.................................................................189

II.2.1 Exercice 1.............................................................................................................189

II.2.2 Exercice 2.............................................................................................................191

II.2.3 Retour en arrière (de l'exercice 2 à l'exercice 1) .................................................194

Chapitre C2

Analyse des première et deuxième séances........................................................................195

I. Première séance sur la fonction (cours : généralités sur les fonctions) ..............................195

II. Deuxième séance : expérimentation de l'activité 1...........................................................196

II.1 Introduction .............................................................................................................196

II.2 Analyse a posteriori de l'activité 1..............................................................................197

II.2.1 Groupes Emetteurs ...............................................................................................197

II.2.2 Groupes récepteurs...............................................................................................208

II.2.3 Expérimentation dans une autre classe (seulement pour les groupes émetteurs).219

Chapitre C3

Analyse des troisième et quatrième séances.......................................................................227

I. Troisième séance (cours : étude des variations d'une fonction).........................................227

II. Quatrième séance : expérimentation de l'activité 2...........................................................231

II.1 Analyse a posteriori de l'activité 2..............................................................................232

II.1.1 Exercice 1.............................................................................................................232

II.1.2 Exercice 2.............................................................................................................236

II.1.3 Troisième étape: retour en arrière.........................................................................242

II.2 Expérimentation de cette activité dans une autre classe..............................................243

II.2.1 Présentation et déroulement de l'activité..............................................................244

II.2.2 Exercice 1.............................................................................................................245

II.2.3 Exercice 2.............................................................................................................253

II.2.4 Troisième étape : retour en arrière........................................................................259

II.2.5 Mise en commun ..................................................................................................260

PARTIE D

Conclusion et perspectives........................................................................269

Références bibliographiques.....................................................................275

PARTIE A

INTRODUCTION PROBLEMATIQUE ET CADRE

THEORIQUE

1

CHAPITRE A

INTRODUCTION PROBLEMATIQUE ET CADRE

THEORIQUE

I. Introduction

Cette thèse, consacrée à l'évolution récente de l'enseignement des fonctions en France,

s'inscrit dans le prolongement de notre étude de DEA portant sur les procédures utilisées par

les élèves de seconde professionnelle dans les changements de registres de représentation

sémiotique. Ce travail se limitait à l'étude des registres algébriques et graphiques. Lors de

cette étude, nous avions dégagé les erreurs fréquemment commises par les élèves dans le

traitement de ces registres ainsi que lors de conversions. Cette première analyse ne nous a pas permis de remonter aux causes profondes de ces erreurs. Nous avons ainsi décidé de continuer notre recherche sur le même concept pour arriver à trouver les raisons de ces dysfonctionnements de l'apprentissage de la notion de fonction en élargissant notre étude à d'autres modes de représentations. Notre première idée était de faire une analyse comparative de l'enseignement de la fonction

en France et en Turquie. Il y avait là bien sûr un intérêt culturel du fait de notre origine turque

et du peu de travaux didactiques en Turquie. Nous avons donc fait un rap ide tour d'horizon de l'enseignement des fonctions dans chacun des deux systèmes d'enseignement : français et turc. Pour faire cela, nous avions choisi les classes de seconde, soit la classe de base pour

l'introduction d'un concept général de la fonction dans les deux institutions, Par la suite, les

fonctions apparaissent dans toutes les sections de Premières et de Terminales dans les deux pays. Il s'agit donc, en classe de Seconde, de poser les bases de cette notion et de faire en

sorte que l'élève ait, en sortant de cette classe, une idée des connaissances de ce qu'est une

fonction. Nous avons tout d'abord analysé succinctement les programmes et les manuels officiels de second cycle en Turquie, ce que nous présentons brièvement, ci-dessous.

L'enseignement actuel des fonctions en Turquie

Contrairement à la France, les programmes officiels turcs sont très courts ; on annonce simplement des objectifs et des compétences exigibles sans les détailler. On trouve très rarement des commentaires, des explications et des exemples. Voici un extrait du programme de Seconde traduit en français: 3 CHAPITRE III : CORRESPONDANCE, FONCTION, OPERATION 1

OBJECTIF N° 5 : Comprendre la notion de fonction, ses caractéristiques et les propriétés particulières

des fonctions.

COMPETENCE :

1. Définir la fonction et la représenter graphiquement à partir d'ensembles

2. Définir l'ensemble de définition, l'ensemble image et l'ensemble d'arrivée.

3. Définir la représentation graphique d'une fonction dans un repère orthonormé.

4. Définir l'égalité des deux fonctions.

5. Définir les fonctions injectives, surjectives, non surjectives et déterminer leurs différences l'une par

rapport à l'autre.

6. Définir les ensembles infinis.

7. Expliquer l'équipotente des deux ensembles.

8. Définir la fonction identique.

9. Définir la fonction constante.

10. Définir la fonction nulle.

La notion de fonction est introduite pour la première fois en classe de seconde. A ce niveau,

l'élève rencontre la définition d'une fonction, des propriétés particulières des fonctions et des

fonctions du seconde degré, la composition des fonctions et la définition de l'inverse d'une

fonction. Dans cette classe, on traite aussi des " polynômes », dans un chapitre ultérieur, et on

revoit alors la notion de fonction.

En classe de première, l'élève découvre les fonctions trigonométriques, logarithmiques,

exponentielles et les fonctions de permutations. Les variations de fonctions ne sont abordées que dans le programme de terminale. Les fonctions paires et impaires, les quatre opérations

sur les fonctions, des fonctions particulières (fonction définie par morceaux, fonction 'valeur

absolue', fonction 'signe' (y = signf(x)) et fonction 'valeur entière' (f(x) = E(x))) figurent

aussi dans le programme de terminale. Par ailleurs, en terminale, l'élève continue à utiliser la

notion de fonction en travaillant sur les limites, la continuité et les dérivées des fonctions.

Dans le programme officiel de la classe de seconde, les fonctions sont mises en place en même temps que les notions de correspondance entre ensembles et de loi de composition interne 2 , ceci dans un même chapitre. Il n'y a aucune indication explicite sur la façon de

définir " une fonction ». Cependant, le fait que des éléments sur les ensembles et sur les

correspondances entre ensembles précèdent l'étude des fonctions montre que leur définition

de celles-ci se construira certainement de façon ensembliste en liaison avec la notion de relation. Dans ce cadre, on attend des élèves de pouvoir définir les fonctions à partir d'ensembles, l'ensemble de définition, l'ensemble d'arrivée, l'ensemble image et de les représenter graphiquement (par exemple avec des diagrammes sagittaux). De plus, l'élève est

aussi amené à chercher si une correspondance donnée est une fonction. Ceci est confirmé dans

le manuel officiel de seconde, les fonctions sont étudiées sous le chapitre " Relation, 1

Dans ce chapitre il y a dix objectifs dont quatre sont liés à la notion de fonction. Nous ne citons que l'objectif

n°5 en détail (avec les compétences). Les autres objectifs sont les suivants :

OBJECTIF N°6 : Faire des applications liées aux fonctions et propriétés particulières des fonctions.

OBJECTIF N°9 : Comprendre la composition des fonctions et ses propriétés dans l'ensemble des fonctions.

OBJECTIF N°10 : Faire des opérations dans l'ensemble des fonctions. 2

Soit A un ensemble non vide. Chaque fonction définie d'un sous-ensemble quelconque non vide de AXA vers

A est appelée " loi de composition interne» sur A. 4 Fonction, Opération ». La présence ensemble de ces sections nous indique d'emblée dans quelle logique sont conçus les débuts de l'enseignement sur les fonctions. Fonctions et relations sont clairement liées sur la base de la logique ensembliste. Par exemple, on trouve dans le manuel officiel la définition suivante : " Soit A et B deux ensembles non vides. Une fonction est une relation qui associe à chacun des éléments de A un et un seul élément de B. » Dans le programme de seconde, on trouve aussi quelques propriétés des fonctions. On demande ainsi de définir les fonctions injectives, surjectives, non surjectives, la fonction

identique, les fonction constantes et la fonction nulle, mais les fonctions linéaires et affines ne

sont pas introduites. Le programme a enfin pour objectif de définir la composition des fonctions et de montrer que cette opération est associative et non commutative. D'autre part, comme Basturk (2003) l'a montré, l'enseignement des mathématiques en Turquie est aussi très pauvre du point de vue des changements de cadres. Le contenu du concours 3 et des manuels est très algébrique et il n'y a qu'un très petit nombre de situations qui demandent des changements de cadre, de point de vue, de penser et de dire autrement.

Nous pensons que l'enseignement du dersané

4 (ou un enseignement très proche du concours) et l'importance du concours ont des influences néfastes sur l'enseignement du lycée, qui le rend moins cohérent. En particulier, les enseignants sont contraints de proposer des exercices hors programme et à privilégier les procédures les plus adéquates au concours. Cette première lecture du programme nous a amené à constater que l'enseignement des fonctions en Turquie correspondait plus ou moins à ce qui se faisait en France avant les années 80. Le fait que la conception de la fonction en tant que loi de variation ne soit envisagée dans le système d'enseignement turc, qu'au niveau de la classe de terminale et uniquement par

l'intermédiaire du théorème liant sens de variation et signe de la dérivée, nous a obligé à

abandonner l'idée d'une comparaison avec la France. En, effet, pour que la comparaison soit

possible, nous devions élargir notre étude pour inclure les classes de première et de terminale,

ce qui dépassait la faisabilité dans le cadre d'un travail de doctorat. Il nous a alors semblé plus pertinent de nous centrer sur l'enseignement français. Au vu des écarts avec la situation turque, les questions qui nous ont alors préoccupé étaient de déterminer la nature des évolutions récentes des programmes français sur la notion de fonction en classe de seconde, les raisons et les conditions écologiques de ces évolutions, ainsi que la viabilité des nouveautés introduites dans les dernières réformes. 3

En Turquie, pour commencer leurs études supérieures, les élèves doivent, à la fin du lycée, passer un examen

qui est préparé par le Centre de Sélection et d'Installation des Etudiants. Ce concours se déroule une fois par an

et consiste en une éprouve unique comprenant tous les sujets. Cette épreuve est constituée de 188 questions à

choix multiplies (cinq choix par question) et les élèves doivent répondre en trois heures. 4

Ce sont des établissements privés qui ont pour mission de renforcer ou de soutenir les élèves (faibles ou non !)

dans l'enseignement secondaire et de préparer les élèves au concours d'entrée à l'université et aux autres

concours (par exemple, aux concours de lycées privés, de lycées anatoliens, de lycées scientifiques, etc.).

Actuellement les dersanés occupent une grande place et jouent un rôle très important. 5 Un survol de cette évolution, montre un renforcement progressif de l'utilisation des divers modes de représentation des fonctions, en même temps qu'une diminution de l'importance de la représentation algébrique. D'autre part, nous avons constaté que les objets tableau de valeurs et tableau de variations ont pris dans cette évolution une importance croissante et ont gagné en autonomie. A titre d'exemple, voici un extrait du programme actuel de Seconde :

" Identifier la variable et son ensemble de définition pour une fonction définie par une courbe, un

tableau de données ou une formule »

" Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d'une fonction

définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations » 5 (Programme de Seconde, 2000) Ainsi, pour la première fois, on demande de définir une fonction à partir d'un tableau de valeurs et on parle explicitement du passage d'un tableau de variations à une représentation graphique (ces types de tâches n'étaient jamais explicites dans les programmes antérieurs, même s'ils ont pu à certaines époques correspondre à une pratique effective). Nous avons alors choisi de privilégier l'étude de l'utilisation de ces deux objets, et de leur liens avec les autres modes de représentation dans nos analyses. Il est alors légitime de se demander quels ont été les objectifs des concepteurs des programmes en donnant un statut important à ces objets ? Quelles sont les conditions qui permettent de faire vivre le tableau de valeurs et le tableau de variations et sous quelles formes ? Comment ces objets donnent-ils du sens aux notions en jeu ? Quel est le domaine de fonctionnement de ces objets ? Quelles sont les relations entre ces deux types de tableau et les autres modes de représentation en classe de Seconde ? Comment prennent-ils leur place dans les pratiques des professeurs et dans les activités des élèves ?

Ces questions ont été à la base de notre problématique et ont guidé les choix théoriques et

méthodologiques que nous allons maintenant présenter. 5

C'est nous qui soulignons.

6

II. Problématique et cadre théorique

Dans ce paragraphe, nous allons tout d'abord situer nos questions dans un cadre d'étude

général, expliciter les raisons détaillées qui nous ont conduit à choisir les objets tableau de

valeurs et tableau de variations et leur liens avec les autres modes de représentation comme

objet d'étude et enfin, présenter les choix méthodologiques et théoriques que nous avons faits.

II.1 Transposition didactique, approche anthropologique et problématique

écologique

II.1.1 Transposition didactique

Le concept de transposition didactique qui désigne globalement " le passage du savoir savant

au savoir enseigné » a été introduit par Chevallard (1975) lors d'un cours donné à la première

école d'été de didactique des mathématiques. Ce passage se décompose en deux étapes :

Savoir savant Savoir à enseigner Savoir enseigné Fig.1 : les trois étapes de la transposition didactique

Dans la mesure où il est difficile d'avoir accès aux raisons des choix qui ont présidé au

passage du savoir savant au savoir à enseigner, notre travail portera essentiellement sur le passage du savoir à enseigner au savoir enseigné 6 . Pour pouvoir étudier ce processus, il nous faut donc définir le savoir à enseigner et le savoir enseigné. Toujours selon Chevallard, le savoir à enseigner est le résultat du " travail externe de transposition didactique » de la noosphère 7 . Lorsque la noosphère souhaite introduire des

objets de savoir dans les contenus d'enseignement, elle sélectionne des " éléments du savoir

savant » et les transforme afin de pouvoir, notamment, rédiger un programme officiel

d'enseignement. Les " éléments du savoir savant » ainsi transformés deviennent des savoirs à

enseigner. Arsac (1989) fait remarquer que le savoir à enseigner ne se réduit pas au programme. Selon lui, en citant Chevallard : 6

Ce qu'on appelle la transposition didactique interne selon Chevallard. Il s'agit de l'intérieur du système

d'enseignement, bien après l'introduction officielle des éléments nouveaux dans le savoir enseigné. Par

opposition, il appelle " la transposition externe » la sélection des éléments du savoir savant, par la noosphère,

désignés comme savoir à enseigner. 7

La noosphère est la " sphère où l'on pense le fonctionnement didactique » qui est constitué des " représentants

du système d'enseignement » et des " représentants de la société ». (Chevallard, 1991)

7

" Nous avons remarqué en effet qu'un texte de programme appelle une interprétation. Le savoir à

enseigner est ce que l'enseignant pense qu'il a à enseigner quand les manuels publiés, les annales, les

habitudes prises, ont fixé à peu près définitivement l'interprétation du programme. » (Arsac, 1989, p.12-

13)

Arsac pointe là un élément laissé obscur par Chevallard qui parle pour sa part de " texte du

savoir » sans plus de précision. Dans notre travail, nous nous rapprochons de la définition d'Arsac en considérant que le savoir à enseigner se constitue non seulement du programme scolaire mais également, comme le souligne Arsac, des interprétations courantes et des habitudes générales prises à propos de ce programme et/ou des anciens programmes (en position d'élève ou de professeur), ainsi que de " ce que l'enseignant pense qu'il a à enseigner », mais aussi de ses connaissances et enfin des manuels scolaires, outils importants pour la pratique. II.1.2 Approche anthropologique : rapports institutionnels - rapports personnels Le cadre théorique que constitue l'approche anthropologique développé plus tard par Chevallard (1992) s'inscrit dans le prolongement de la théorie de la transposition didactique.

Chevallard fonde sa théorie sur les notions d'objet et d'institution. Il considère que " tout est

objet ». Le savoir mathématique, en particulier, en est un, qui nous intéresse justement dans la

transposition didactique. Deux autres types d'objets sont essentiels dans cette théorie, les personnes (notées X) et les institutions (notées I). Un objet O existe dès lors qu'une personne ou qu'une institution reconnaît cet objet comme

existant pour elle, ou de façon plus précise s'il existe un rapport personnel de X à O (noté

R(X,O)) ou un rapport institutionnel de I à O (noté R(I,O)). Ainsi, un objet n'existe que parce

qu'il est connu d'une personne (ou d'une institution), il n'existe qu'en tant qu'objet de connaissance. Du point de vue de l'approche anthropologique, nous considérons ainsi " la fonction et ses modes de représentation, plus particulièrement le tableau de valeurs et le tableau de variations » comme des objets de savoir. Nous considérons également " l'enseignement des mathématiques en classe de seconde en France » comme une institution. Cette approche nous permet donc d'identifier les rapports institutionnels à l'objet de savoir en question d'une part, et de caractériser les enjeux didactiques liés à ces objets de savoir d'autre part. Pour identifier et caractériser les rapports institutionnels à un objet de savoir, Chevallard introduit le concept de praxéologie que nous développons ci-dessous. II.1.3 Praxéologique mathématiques ou organisation mathématique

Chevallard (1999) propose pour étudier les pratiques enseignantes relatives à un certain thème

d'étude mathématique, de distinguer la réalité mathématique qui peut se construire dans une

classe mathématique où l'on étudie ce thème, de la manière dont peut se construire l'étude de

ce thème. La réalité mathématique n'est autre qu'une praxéologie mathématique ou

organisation mathématique alors que la manière de l'étudier est une praxéologie didactique.

Or, la praxéologie mathématique relative au thème d'étude de la fonction est justement l'objet

8

de notre intérêt et c'est à travers l'étude de cette praxéologie que nous nous proposons de les

étudier.

On parle de praxéologie mathématique, ou d'organisation mathématique, quand la

praxéologie examinée sert de modèle à une activité mathématique. Une praxéologie

mathématique se détermine par les types de tâches, les techniques, les technologies et les théories qui la constituent.

Ainsi, Chevallard (1999) introduit la notion de praxéologie, constituée du quadruplet formé de

types de tâches T - présents dans une institution donné, des techniques - permettant de

réaliser les tâches t de même type T, des technologies - discours justifiant la technique , et

des théories - technologies de la technologie. En effet pour pouvoir exister dans une

institution, une technique (et donc un type de tâches) doit apparaître comme compréhensible,

lisible et justifié.

II.2 Questionnement écologique

C'est dans ce cadre global que le questionnement écologique nous semble à propos. Nous nous baserons sur [Artaud, 1997] pour expliquer l'écologie des organisations mathématiques et didactiques.

D'abord, Artaud (1997) souligne que les premières études sur les processus transpositifs, et la

théorie de la transposition didactique identifiaient déjà deux grands ensembles de conditions

permettant aux mathématiques d'exister dans le système d'enseignement :

" D'une part, les mathématiques enseignées doivent être compatibles avec leur environnement social,

soit en particulier avec la sphère de production des mathématiques et l'institution des parents. D'autre

part, les mathématiques enseignées doivent pouvoir être présentées séquentiellement, les notions

mathématiques se succédant selon un axe temporel linéaire, celui du temps didactique (chronogénèse),

et définir deux rapports institutionnels, l'un en position de professeur, l'autre en position d'élève

(topogénèse). » (Artaud, 1997, p.3) De façon équivalente, le processus même de transposition didactique, soit de transfert du

savoir d'une institution à une autre est intimement lié au point de vue écologique. En effet, le

savoir mathématique dans l'institution de production des mathématiques (sphère savante),

dans la noosphère (sphère où le savoir mathématique est manipulé à des fins de transposition),

dans l'institution où il se trouve et dans la sphère scolaire (où le savoir est enseigné) est

soumis à des conditions spécifiques dont le respect lui permet de se maintenir en vie. Et son transfert d'une institution à une autre impose sa manipulation et sa transformation (on parle alors de transposition), seules garantes de son maintien en vie dans l'institution où il est destiné. Ensuite, la théorie de l'anthropologie didactique est également propice au questionnement écologique. En effet, la description de toute activité humaine, et donc de l'activité

mathématique en particulier, à l'aide du modèle praxéologique s'inscrit très nettement dans

une perspective écologique. Pour analyser un savoir mathématique dans une institution

donnée selon cette théorie, il faut déterminer l'organisation mathématique, soit le système de

9

tâches, techniques, technologies et, éventuellement, théories, qui le décrit. Or, une fois ce

système déterminé, on se rend compte de l'existence de certains types de tâches et de

l'absence d'autres. " Pourquoi tel type de tâche existe-t-il et pas tel autre ? » est assurément

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