[PDF] Programme de 3 en mathématiques

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NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS 4

I. Arithmétique 4

1. Divisibilité 4

2. Nombres premiers 5

3. PGCD de deux nombres entiers 5

4. Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres entiers 6

5. Nombres premiers entre eux 8

II. Nombres rationnels 8

1. fraction irréductible 8

2. Règles de calcul sur les fractions 8

TRIGONOMETRIE 9

I. Rappels (Pythagore / cosinus) 9

1. Théorème de Pythagore et sa réciproque 9

2. Cosinus d"un angle aigu 9

II. Sinus et tangente d"un angle aigu 9

III. Quart de cercle trigonométrique ; valeurs particulières 11

1. Quart de cercle trigonométrique 11

2. Deux valeurs particulières à connaître 12

IV. Pente 12

V. Relations entre sinus, cosinus et tangente 13 EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 1ER DEGRE. PROBLEMES 16 I. Equations du premier degré à une inconnue 16

1. Différents types d"équations 16

2. Des équations pour résoudre des problèmes concrets 17

II. Inéquations 18

1. Ordre et opérations (rappel de 4

ème) 18

2. Inéquations 19

NOTION DE FONCTION 21

I. Définitions 21

II. Trois façons de définir une fonction 21

1. Une formule 21

2. Un tableau 21

3. Un graphique 22

THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE 23

I. Ce que tout honnête homme doit savoir 23

II. Rappels : égalité de quotients 23

III. Le théorème de Thales 24

IV. Réciproque du théorème de Thales 25

V. Agrandissements et réductions 26

PROBABILITES 28

I. Notion de probabilité 28

1. Expérience aléatoire 28

2. Arbre des possibles 28

3. Probabilité d"un évènement 29

II. Exemple d"expérience aléatoire à 2 épreuves 30

Programme de 3ème en mathématiques

DEVELOPPEMENTS ET IDENTITES REMARQUABLES 31

I. Révisions les puissances 31

II. Distributivité (

5ème) et double distributivité (4ème) 31

1. Développer et réduire 31

2. Vrai ou faux ? 32

III. Les identités remarquables 33

1. Carré d"une somme 33

2. Carré d"une différence 34

3. Produit d"une somme par une différence 34

4. Application au calcul mental 34

5. Complément méthode : savoir démontrer une égalité 35

SPHERES ET BOULES 36

I. La sphère ; la boule 36

1. Définitions 36

2. Aire et volume 37

3. Intersection d"une sphère et d"un plan 38

FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES ; PROPORTIONNALITE 41

I. Fonctions linéaires 42

1. Définition d"une fonction linéaire 42

2. Proportionnalité et fonction linéaire 43

3. Représentation graphique d"une fonction linéaire 44

4. Coefficient directeur 44

II. Fonctions affines 45

1. Définition d"une fonction affine 45

2. Représentation graphique d"une fonction affine 45

3. Coefficient directeur et ordonnée à l"origine 46

III. Application : augmentation et diminution en pourcentage 47

RACINES CARREES 49

I. Définition de Öa , a étant un nombre positif ou nul 49

II. Les ensembles de nombres* 51

III. Propriétés 52

IV. 1

ère application : écrire un quotient sans radical au dénominateur 54

1. Cas où le dénominateur est de la forme

a b (a¹0 et b>0) 54

2. Autres cas (hors programme)* 54

V. Equations du type x² = a 54

VI. 2

ème application : un peu de géométrie 55

1. Hypoténuse d"un triangle rectangle isocèle 55

2. Hauteur d"un triangle équilatéral 56

VII. De retour en trigonométrie 58

1. Utiliser la relation cos²x+sin²x=1 58

2. Des valeurs exactes 58

ANGLES INSCRITS, ANGLES AU CENTRE, ROTATIONS 61

I. ...... 61

FACTORISATIONS ; EQUATIONS PRODUIT 62

I. Factorisations 62

1. Première façon : en utilisant la distributivité 62

2. Deuxième façon : en utilisant les identités remarquables 63

II. Les équations produit 63

III. Complément méthode : le problème de Brevet type 64

SECTION D"UN SOLIDE 66

I. Quelques notions de géométrie dans l"espace (facultatif) 66

1. Plans parallèles ; plans sécants 66

2. Droite orthogonale à un plan 67

II. Agrandissements et réduction 67

1. Rappel 67

2. Effet sur les angles 68

3. Effet sur les aires 68

4. Effet sur les volumes 69

III. Sections de solides usuels par un plan 70

1. Le parallélépipède rectangle ou pavé droit 70

2. Le cylindre 71

3. La pyramide et le cône 71

SYSTEMES DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES 74

STATISTIQUES 77

I. ...... 77

Chapitre

111 NNNooommmbbbrrreeesss eeennntttiiieeerrrsss eeettt

rrraaatttiiiooonnnnnneeelllsss

I. Arithmétique

Le mot vient du grec " arithmos » = nombre. En effet, l"arithmétique est la science des nombres entiers naturels. L"ensemble des nombres entiers naturels est noté V

Citons la célèbre conjecture de Goldbach énoncée en 1742 et à ce jour jamais démontrée :

" Tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers »

1. Divisibilité

Par exemple, 5 est un diviseur de 30 signifie qu"il existe un nombre entier k (ce nombre, c"est 6), tel que 30=5´k

Rappels de 6eme

Un nombre entier est divisible :

- par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9 - par 4, si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4.

Exercice1

Définition :

Soit n un nombre entier naturel

Dire qu"un nombre d est un diviseur de n signifie qu"il existe un nombre

ENTIER k tel que n = d

´´´´ k

Exercice2

Déterminer tous les diviseurs de 36

Pour cela, j"écris de toutes les façons possibles le nombre 36 sous forme d"un produit de 2 entiers naturels :

36 = 1 ´ 36

36 = 2 ´ 18

36 = 3 ´ 12

36 = 4 ´ 9

36 = 6 ´ 6

Présentation pratique :

Exercice3

Déterminer tous les diviseurs de 60 ; 61 ; 75 ; 175 ; 245

2. Nombres premiers

Exemples :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Cette liste est infinie.

3. PGCD de deux nombres entiers

Exemple : Quel est le PGCD de 12 et de 40 ?

Pour le savoir, je cherche tous les Diviseurs de 12 puis ceux de 40 : Cela signifie que 4 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 40 J"en déduis que 36 possède 9 diviseurs qui sont :1 ;

2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36

Définition : Un nombre est premier s"il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même Définition : Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur à ces deux entiers. 1 12 2 6 3 4 1 40 2 20 4 10 5 8

Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ;4 ;6 ;12

Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ;

40

Nos deux nombres ont

trois

Diviseurs

Communs : 1 ; 2 et 4 .

Le

Plus Grand est 4

Le PGCD de 12 et 40 est donc 4.

On écrit pour aller plus vite : PGCD (12 ; 40) = 4

4. Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres

entiers Le mot " algorithme » vient d"une déformation du nom du mathématicien perse al

Khwarizmi (IXème siècle).

Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s"exécutent toujours de la même façon.

Méthode 1: Soustractions successives

Application 1 : calculer le PGCD de 189 et 693

PGCD (189 ; 693) = PGCD (189 ; 504)

= PGCD (189 ; 315) = PGCD (189 ; 126) = PGCD (126 ; 63) = PGCD (63 ; 63) = 63 application 2 : calculer le PGCD de 2208 et 216

PGCD (2208 ; 216) = PGCD (216 ; 1992)

= PGCD (216 ; 1776) = PGCD (216 ; 1560) = PGCD (216 ; 1344) = PGCD (216 ; 1128) = PGCD (216 ; 912) = PGCD (216 ; 696) = PGCD (216 ; 480) = PGCD (216 ; 264) = PGCD (216 ; 48) = PGCD (48 ; 168) = PGCD (48 ; 120) = PGCD (48 ; 72) = PGCD (48 ; 24) = PGCD (24 ; 24) = 24

Propriété (admise)

Soient a et b deux entiers naturels avec a>b.

Alors le PGCD de a et de b est aussi le PGCD de b et de a-b

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a-b)

CALCULS

1992-216 = 1776

1776-216 = 1560

1560-216 = 1344

1344-216 = 1128

1128-216 = 912

912-216 = 696

696-216 = 480

480-216 = 264

264-216 = 48

216-48 = 168

168-48 = 120

120-48 = 72

72-48 = 24

48 - 24 = 24

CALCULS

693 - 189 = 504

504 - 189 = 315

315-189 = 126

189-126 = 63

Le PGCD de 2208 et 216 est 24. On remarque que la méthode est un peu ..longue

Méthode 2: L"algorithme d"Euclide

Application 1 : calculer le PGCD de 189 et 693

PGCD (189 ; 693) = PGCD (189 ; 126)

= PGCD (126 ; 63) = 63 dernier reste non nul application 2 : calculer le PGCD de 2208 et 216

PGCD (2208 ; 216) = PGCD (216 ; 48)

= PGCD (48 ; 24) = 24 dernier reste non nul

Utilisation du tableur.

Rappel sur la division euclidienne (cours de 6ème) :

Soient a et b deux entiers naturels.

Alors il existe deux nombres entiers naturels uniques q et r tels que a = b

´q + r

a b r q

Propriété (admise)

Soient a et b deux entiers naturels avec a > b.

Alors le PGCD de a et de b est aussi le PGCD de b et de r, où r est le reste de la division euclidienne de a par b

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

CALCULS

3 9 6 9 8 1 3 6 2 1

9 8 1 6 2 1 1 3 6

6 2 1 3 6 2 0

CALCULS

8 0 2 2 6 1 2

0 1 8 4

8 4

6 1 2 8 4 4 4 2

8 4 4 2 2 0

5. Nombres premiers entre eux

Exemple : 14 et 9 sont premiers entre eux

II. Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s"écrire a b où a et b sont des nombres entiers relatifs.

L"ensemble des nombres rationnels se note X.

1. fraction irréductible

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux Exemple : comme PGCD(14 ; 9) = 1, alors 14 et 9 sont premiers entre eux donc 14 9 est une fraction irréductible.

2. Règles de calcul sur les fractions

Voir la fiche de révisions

Calculer et donner le résultat sous forme d"une fraction irréductible :

21 25 16 35 3 5 4 4 75 7515

3 45 8 7 7 5 5 5149

J K L M( ) ( )( ) ( )( ) ( )

réponses dans le désordre

9 56 35 50 1 7 1 1 10 7 1 18; ; ; 2 ; ; ; ; ; ; ; ; ;25 55 3 9 9 12 2 5 13 10 12 7

définition Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1

21 3 13 1 11 4 4 11 7 7 55 2 54 8 2 4 5 3 3 2 5 11 3

4 1 2 7 12 10 5 3 8 1 2 2 31 5 23 2 3 2 16 15 4 4 9 2 3 3 2

A B C D

E F G H I( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

I. Rappels (Pythagore / cosinus)

1. Théorème de Pythagore et sa réciproque

Voir la fiche de révisions vacances

2. Cosinus d"un angle aigu

Fiche de révisions

Synthèse : Dans un triangle rectangle, le cosinus d"un des 2 angles aigus est le nombre égal à : longueur du coté adjacent longueur de l"hypoténuse. Remarque : le cosinus d"un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1. Cela permet, dans un triangle rectangle, de calculer des longueurs ou des mesures d"angles (voir fiche précédente)

II. Sinus et tangente d"un angle aigu

Activité (avec Géoplan) :

Soient [Ax) et [Ay) deux demi-droites. B et B" sont deux points de [Ax) ; C et C" deux points de [Ay) tels que (BC) et (B"C") sont perpendiculaires à [Ax) BC A cos?BCCAC= cos ?ABAAC= x y A BB" C C"

Chapitre

222
▪ Une conjecture :

Mesurer, puis calculer les rapports

BC

AC et B"C"

AC" Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.

Mesurer, puis calculer les rapports

BC

AB et B"C"

AB" Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux. ▪ La preuve :

Les droites (Ax) et (Ay) sont sécantes en A

o B et B" sont deux points de (Ax) o C et C" deux points de (Ay) o (CB) // (C"B") car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (Ax)

Donc d"après le théorème de Thales :

AB AC BC

AB" AC" B"C"= =

D"une part :

AC BC

AC" B"C"=

AC´B"C"=BC´AC"

BC AC"B"C"=AC

B"C" BC

AC" AC=

D"autre part :

AB BC

AB" B"C"=

AB´B"C"=BC´AB"

BC AB"B"C"=AB

B"C" BC

AB" AB=

Synthèse :

Soient des triangles rectangles ayant le même angle aigu ?A. Alors les rapports coté opposé hypoténuse et coté opposé coté adjacent ne dépendent pas de ces triangles rectangles. On les appelle respectivement le SINUS et la TANGENTE de l"angle ?A.

Produits en croix

Je divise les 2 membres par AC

Je divise les 2 membres par AC"

Produits en croix

Je divise les 2 membres par AC

Je divise les 2 membres par AC"

En résumé :

sin ?A=coté opposé hypoténuse=BC AC tan ?A=coté opposé coté adjacent=BC AB

Remarques :

o Le sinus d"un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1 o La tangente d"un angle aigu est un nombre positif (pas forcément < 1)

Application :

III. Quart de cercle trigonométrique ; valeurs particulières

1. Quart de cercle trigonométrique

Soient O, I et J trois points tels que (OI)^(OJ) et OI = OJ = 1 A C B

1) Calculer AC (arrondir au

mm) 2)

Calculer CD (arrondir au

mm) I J M C S O a 1

1 On appelle quart de cercle

trigonométrique, le quart de cercle de centre , de rayon 1 délimité par les points I et J

Utiliser le logiciel de

géométrie (fichier créé) pour faire deviner des valeurs er confirmer à la calculatrice. Nous allons prouver que la longueur OC vaut cosa et que OS vaut sina. En effet, dans le triangle OMC rectangle en C, on a : cosa = OC

OM soit cosa = OC / 1 cosa= OC

et sina = MC

OM soit sina = MC / 1 sina= MC=OS

Application

Distribuer un quart de cercle trigonométrique ; lire cos 37° ; sin 37° ; cos75° ; sin 75° puis vérifier à la calculatrice

2. Deux valeurs particulières à connaître

▪ A la calculatrice : cos 60° = .......... Et sin 30° = .............. ▪ Prouvons le :

On retiendra

cos 60° = 1

2De même : sin30°= 1

2 Nous apprendrons d"autres valeurs particulières au chapitre " Racines carrées ».

IV. Pente

Que signifie le panneau ?

I J M Cquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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