[PDF] Sans titre Exemples de comportt asympt. de

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406
433

Le nombre π.

Algorithmes d'approximation du nombre π.

Vitesse de convergence, accélération de convergence. Exemples de comportt asympt. de suites, rapidité de cv.

Approximations du nombre π.

Approximation de Pi

par la méthode des polygones réguliers d'Archimède.

Rombaldi

De Biasi.

ΐϖቘ #®²¨£Î±®² sinna nn Αϖቘ / ¨³±®£´¨³ Ȁ2 sin2 n n 4ȁ 3n n n

16ȁ

I. Outils

A. Formule d'Al-Kashi (ou " loi des cosinus », ou " théorème de Pythagore généralisé »).

(De Biasi p.254)

2 2 22 .cosc a b abγ= + -

2 2 2 22

2 22 22 .

2 . .cos( ) 2 .cos

c AB CB CA CB CB CA CA

CB CA CB CA ACB a b ab

B. Méthode d'Archimède des polygones réguliers. (pas de source) 2 n

2222 1 cos 4sinc

n n π π= - =( ( )) ( )( ( )) ( )( ( )) ( )Ǿ ²®¨³2sincn

2tancn

n n n

238; 255; 256; 406; 433 Vitesse de cv de suites / nbre π Approximation de π Rombaldi, Bia.

II. Développement

1°).

sinna nn π=( )( )( ), convergence lente. (pas de source, à retenir) 33

3 3 2 2

01 1 1 1sin . .6 6na n n o on n n n n n

3

2 21 1.6n ne x on n

2 2 1 11 n nen e n

2°).

2 sin2

n n nxπ=( )( )( ), convergence géométrique de raison 1/4. (Rombaldi + De Biasi p.141)

0®´± ׯ

2 sin2

n n nxππ=( )→( )( ) 2 2 1 2

1 11 1 sin1 cos222sin2 2 2 2nnn

n nxππ 221

121 1 2.2 . 1 12 22

n n nn n nnx xx 3 5 5

3 5 3 5

2 4 4 2 4 41 1 1 1 1 1. .3! 2 5! 2 2 3! 2 5! 2 2

n n n n n nn n nnx oo o 1

16μ=ȁ

1

4λ=ȁ

3°).

14 3n n n

x xy+-=, convergence géométrique de raison 1/16 : méthode d'acc° de Richardson. (Rombaldi)

238; 255; 256; 406; 433 Vitesse de cv de suites / nbre π Approximation de π Rombaldi, Bia.

1 1 1 1 pour éliminer dans la

1 1 1. .4 16 16

1 1 1 1 1

. . . .4 4 16 16 16

1 1 1 1

4 4 . . . , 4 4 16 16

n n n n n n n n n n n n x o x o x o 1 1 soustraction que l'on divise par 3 pour que ça tende encore vers 3 1 14 3 . . , 4 16 16 4

1 1 1. .3 4 16 16

n n n n n n n n n x x o x x y o 14 3n n n x xy+-=

4°). Itération de la méthode d'accélération de Richardson.

(Rombaldi)

2 sin2

n n 2 2 11 2 2 2

0sin12 1 !

jp jj p jxx o xx jππ 2 nx=ቘ Ȁ

222 22 22 1211

001 1 1 1112 1 ! 2 2 2 1 ! 2 2

jjppjjpp jj n n nn n jj x oojjπππ 1 1

12 11 1

4 412 1 !

np j p j jj njj n oxj 1 1 1p n n j j p jnx oα β λ λ 2 1

12 1 !

j j j j 4 jjλ=( )( )( )ȁ ,0

1, 1 , 1

,1 n n n k k n k n k kx x x xx ,0

1, 1 , 1

1, 1 , 1

2 sin2

1 44
1 4 11 4 n n n n k n k n kkn k n k n k k kx x x x x xxπ ¯®´± ??1; et 1k p n? ≥ȁ $͒®ċȀ 1 ,1

1,1 ,1

,2

2 sin2

4 3 16 15 n n n n n n n n nx x xx x xx

238; 255; 256; 406; 433 Vitesse de cv de suites / nbre π Approximation de π Rombaldi, Bia.

2f x g x=Ǿ "®±² £´ $, ( ) ( )( )( )

2 11 2 2 2 0

12 1 !

jp jj p j f x x o xjπ

2t x=Ȁ ( ) ( )( )( )?( )( )( )

2 111 11 01 2 1

12 1 !. 1 . 2 1 !

jpp jj pj p jjquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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