Chapitre 12. - Autour de ?
Accélération de la méthode d'Archimède. 2.1 Rapidité de convergence de ces suites. • Commençons par étudier à l'aide du tableur la convergence vers ? de la
Approximation de Pi par la méthode dArchimède
(d) On sait que le périmètre du polygone tend vers la circonférence du cercle circonscrit lors que n tend vers l'infini. En déduire l'expression d'une suite wn
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Compléments sur les suites Suites adjacentes
27 fév. 2017 I Encadrement d'une suite ... On considère les suites (un) et vn) définies sur N? par : ... VII Encadrement de Pi - méthode d'Archimède.
Sans titre
Exemples de comportt asympt. de suites rapidité de cv. Approximations du nombre ?. Approximation de Pi par la méthode des polygones réguliers d'Archimède.
Complément sur les suites. Suites adjacentes - Lycée dAdultes
27 fév. 2017 méthode jamais proposée permettant en théorie
Calcul de ? par la méthode dARCHIMÈDE La méthode L
De façon sous-jacente on retrouve donc l'idée des suites adjacentes
Approximation de longueurs darcs par la méthode dArchimède
calculer la longueur d'un arc de cercle par la méthode d'Archimède (p. De plus les suites sn
Convergence des suites
Archimède pour proposer une méthode d'approximation de ? et ont interrogé sur la Montrer qu'une suite majorée à partir d'un certain rang est majorée.
Untitled
La méthode d'Archimède par André Ross professeur de mathématiques. Cégep de Lévis-Lauzon. Introduction. Démontrer un résultat c'est intéressant et cela
Applications des mathématiques
Approximation de longueurs
d'arcs par la méthode d'ArchimèdeVersion pour Mathematica
Marcel Délèze
Edition 2017
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§ 1 Approximation de longueurs d'arcs
Préambule
Nous allons étudier une méthode pour calculer numériquement * le nombre * le sinus d'un angle x * l'arc sinus, c'est-à-dire la fonction réciproque de sinus. La méthode que nous allons exposer n'est pas celle que l'on choisit habituellement pour program-mer les calculatrices car il existe beaucoup d'autres plus performantes. Mais la méthode traitée ici
est * ancienne, * géométrique, lémentaire et * néanmoins pratiquement utilisable.Un exemple d'algorithme
Dans ce chapitre, par un raisonnement géométrique, nous allons construire un algorithme pourcalculer la longueur d'un arc de cercle par la méthode d'Archimède (p. 9, Rel. 1-2-8). Cet algorithme
peut se traduire en un programme (p. 13, calcul de Arcsin). Il est à remarquer qu'il nous faudra 13
pages pour arriver à un programme de deux lignes !Découpage en blocs pour la présentation
Le présent cours fait l'objet d'une présentation orale par les élèves. A cette fin, il est divisé en blocs;
chaque bloc est numéroté et attribué à un élève. Les marques de début et de fin de blocs sont
disposées sur la droite, comme suit. [B 11.1 Méthode d'Archimède pour calculer
Représentation géométrique du nombre
Géométriquement, le nombre
peut être représenté par la longueur du demi-cercle de rayon 1 1 2c=12(2r)=r=·1=
Exercice 1-1-1
Nous allons déterminer "expérimentalement" une valeur approximative du nombre * mesurer le diamètre du demi-cercle ci-après; * dérouler un fil sur le demi-cercle et mesurer sa longueur; * en déduire une valeur empirique du nombre2 Longueur-arc.nb
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Notre ambition est bien plus grande : nous voulons non seulement calculer avec une grande précision mais, de plus, nous voulons connaître l'erreur maximale sur le résultat. B 1 [B 2Méthode d'Archimède
Au VI-ème siècle avant J.- C., Archimède proposa la méthode suivante pour calculerConsidérons un demi-cercle de rayon 1.
Le demi-périmètre de tout polygone inscrit est inférieur à Le demi-périmètre de tout polygone circonscrit est supérieur àNotons
d 0 demi périmètredel'hexagoneinscrit valeurde pardéfaut e 0 demi périmètredel'hexagonecirconscrit valeurde parexcès onal'encadrement d 0 e 0 Pour obtenir un encadrement moins grossier, doublons le nombre de côtés des polygones d 1 demi e 1 demiLongueur-arc.nb 3
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onal'encadrement d 1 e 1 Pour obtenir un encadrement plus fin, doublons encore le nombre de côtés des polygones d 2 demi e 2 demi onal'encadrement d 2 e 2On peut répéter le doublement du nombre des côtés jusqu'à ce que l'on atteigne la précision
souhaitée. B 2Exercice 1-1-2
Pour calculer les nombres
d 0 et e 0 a) Dessinez, avec la règle et le compas, un demi-cercle avec ses demi-hexagones inscrit et circonscrit; b) Calculez l'approximation initiale de par la méthode d'Archimède, c'est-à-dire les valeurs exactes des nombres d 0 et e 0 Indication : les deux hexagones sont homothétiques. c) Calculez la valeur numérique correspondante de et écrivez-la sous la forme x x. Dans les paragraphes suivants, nous déterminerons des approximations plus fines de [B 31.2 Calcul de la longueur d'un arc de cercle
La méthode d'Archimède peut servir à calculer, non seulement la longueur du demi-cercle, mais
aussi la longueur de n'importe quel arc de cercle. C'est ce problème plus général que nous voulons
résoudre.Le problème de la longueur d'arc
sxFig. 1
2 1Problème Dans un cercle de rayon r = 1,
on donne la longueur d'une demi-corde sOn cherche la longueur du demi-arc correspondant
xDans le cas particulier où
s r , on obtient x 2 . Ainsi, la résolution de ce problème nous permet- tra, entre autres, de calculer la valeur de et de résoudre le problème du 1.14 Longueur-arc.nb
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Notations et description de la méthode
Nous allons adapter la méthode d'Archimède au problème de la longueur d'arc.L'arc de longueur
x est approché par une ligne polygonale inscrite et une ligne polygonale circonscrite dont on double le nombre de segments à chaque étape.Approximation
initiale ( numéro 0) x d 0 1 s 0 e 0 1 t 0 Dans la figure ci-dessus, on a représenté l'approximation numéro 0 (approximation initiale) x longueurd'arc; d 0 approximationdexpardéfaut; e 0 approximationdexparexcès; s 0 longueurd'un demi segmentdelalignepolygonaleinscrite; t 0 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonalecirconscrite;Onalesrelations :
2s 0 2x 2t 0 s 0 x t 0 d 0 x e 0 approximationinitialeApproximation numéro 1
Longueur-arc.nb 5
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x d 1 2 s 1 e 1 2 t 1 Dans la figure ci-dessus, on a représenté l'approximation numéro 1 x longueurd'arc; s 1 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonaleinscrite; t 1 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonalecirconscrite;Onalesrelations :
2s 1 x 2t 1 2 1 s 1 x 2 1 t 1 d 1 2 1 s 1 approximationdexpardéfaut; e 1 2 1 t 1 approximationdexparexcès; d 1 x e 1 approximationnuméro1Approximation numéro 2
d 2 4 s 2 e 2 4 t 2 Dans la figure précédente, on a représenté l'approximation numéro 2 x longueurd'arc; x2=longueurd'arcd'untriangleisocèle;
s 2 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonaleinscrite; t 2 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonalecirconscrite;6 Longueur-arc.nb
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Onalesrelations :
2s 2 x 2< 2t 2 4s 2 x 4t 2 2 2 s 2 x 2 2 t 2 d 2 2 2 s 2 approximationdexpardéfaut; e 2 2 2 t 2 approximationdexparexcès; d 2 x e 2 approximationnuméro2Approximation numéro 3
d 3 8 s 3 equotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] méthode d extraction de l or pdf
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