[PDF] Voici maintenant un programme Python : http://lycee.lagrave.free.fr

View - Download Voici maintenant un programme Python : http://lycee.lagrave.free.fr

Previous PDF

Next PDF

TS. DM

6-Correction|

I. Premier exemple : calcul de¼par la méthode d"Archimède.

Les figures suivantes montrent le principe de la méthode d"Archimède pour le calcul de¼.Au début, nAE4,S4AE2p2,T4AE4.¼

n¼ n nAE8nAE16

Désign onspar S

nle demi-périmètre du polygone régulier à n-côtés inscrit dans un cercle de rayon1.

Désign onspar T

nle demi-périmètre du polygone régulier à n-côtés exinscrit à ce même cercle.

On peut vérifier par un petit calcul de trigonométrie que : S nAEnsin³¼n T nAEntan³¼n

Enutilisantlafigure2,lalongueurd"uncôtédupolygonerégulieràn-côtésinscritdansuncerclederayon1est: 2sin³¼n

Par suite le demi-périmètre du polygone estSnAE12

£n£2sin³¼n

AEnsin³¼n

´En utilisant la figure 2, la longueur d"un côté du polygone régulier àn-côtés exinscrit à ce même cercle est : 2tan³¼n

Par suite le demi-périmètre du polygone estTnAE12

£n£2tan³¼n

AEntan³¼n

´On peut vérifier rapidement les relations de récurrence entre les deux suites : T

2nAE2Sn£TnS

nÅTnS2nAEpS n£T2n En utilisant la formule sin(2x)AE2sinxcosxon a : sin³¼n

AE2sin³¼2n´

cos³¼2n´

En utilisant la formule cos

2(x)AE1Åcos(2x)2

on a : cos2³¼2n´

AE1Åcos¡¼n

¢2 T

2nAE2nsin¡¼2n¢cos

¡¼2n¢

AEnsin¡¼n

¢cos

2¡¼2n¢

AE2nsin¡¼n

¢1Åcos¡¼n

AE2n2sin¡¼n

¢tan¡¼n

¢nsin¡¼n

¢Åntan¡¼n

()T2nAE2Sn£TnS nÅTnS

22nAE³

2nsin³¼2n´´

2AEcos³¼2n´

£T2n£2nsin³¼2n´

AEnsin³¼n

£T2nAESn£T2n()S2nAEpS

n£T2nVoici maintenant un programme Python :http://lycee.lagrave.free.fr/maths/python/archimede.py qui calcule les termes des deux suites adjacentes (S2n)et(T2n). La valeur de¼se trouve donc à chaque étape entre les deux valeurs calculées.

Nous faisons12itérations successives à partir de nAE4. Nous trouvons donc à la fin des polygones à213AE8192côtés.

Listing 1 - Calcul de pi par la méthode d"Archimède1#- *-c oding:u tf-8- *-2###C alculd ep ip arl am éthoded "Archimède3fromm athi mport* 4defS (n):5"""périmètred up olygoner égulieri nscrit"""6ifn ==4:7return2 *sqrt(2)8else:9returns qrt(S(n/2)*T(n))

10

11defT (n):12"""périmètred up olygoner éguliere x-inscrit"""13ifn ==4:14return4 15else:16return( 2*S(n/2)*T(n/2))/(S(n/2)+T(n/2))17

18"""programmep rincipal"""19E=[]20n=221fori i nr ange(0,12):#12i térations22n=n*2#ond oublel en ombred esc ôtés23X=S(n)#périmètred up olygoner égulieri nscrit24Y=T(n)#périmètred up olygoner éguliere x-inscrit25print" i=",i,"n=",n,X,Y,Y-X26E.append(Y-X)#mémorisationd el ap récision27fori i nr ange(1,12):28printE [i]/E[i-1]#a ffichaged esq uotients

1.Donner dans un tableau, le résultat de l"exécution du programme. À chaque étape mettre en valeur les décimales

exactes du calcul de¼.itérationsnS nT nT n¡Sn042,828 427 124 7541,171 572 875 25

183,061467458923,313 708 498 980,252 241 040 064

2163,121445152263,182 597 878 070,061 152 725 816 5

3323,136548490553,151 724 907 430,015 176 416 883 3

4643,140331156953,144 118 385 250,003 787 228 291 15

51283,141277250933,142 223 629 940,000 946 379 009 684

62563,141 513801143,141 750 369 170,000 236 568 024 666

75123,141 572940373,141 632 080 75,914 033 609 06¢10¡05810243,141 587725283,141 602 510 261,478 497 964 95¢10¡05920483,141 591421513,141 595 117 753,696 238 389 14¢10¡061040963,141 592345573,141 593 269 639,240 591 896 11¢10¡071181923,141 592576583,141 592 807 62,310 147 722 01¢10¡072.Vérifier que les rapports des différences des incertitudes Tn¡Sntendent vers la valeur0,25, c"est à dire que toute

nouvelle incertitude est4fois plus petite que la précédente. Nous avons6 décimales exactes après 11 itérations.

La ligne 26 du script précédent, mémorise les incertitudes deTn¡Sndans une liste E. Les lignes 27 et 28 affichent les rapports des différences des incertitudesTn¡Sn:T

8¡S8T

4¡S40,215 301 194 993

T

16¡S16T

8¡S80,242 437 653 29

T

32¡S32T

16¡S160,248 172 369 763

T

64¡S64T

32¡S320,249 546 933 263

T

128¡S128T

64¡S640,249 886 971 93

T

256¡S256T

128¡S1280,249 971 757 874

T

512¡S512T

256¡S2560,249 992 940 399

T

1024¡S1024T

512¡S5120,249 998 235 161

T

2048¡S2048T

1024¡S10240,249 999 558 794

T

4096¡S4096T

2048¡S20480,249 999 889 706

T

8192¡S8192T

4096¡S40960,249 999 972 727Pour mémoire, voici une petite approximation de¼que

vous apprendrez par coeur :

II. Second exemple : la méthode de Newton.

C"est une méthode d"approximation des racines d"équations du type f(x)AE0 (voir TS.DM5.12) Pour la détermination de la racine de l"équation x

2AE2sur l"intervalle[1 ; 2],

la méthode de Newton conduit à la construction d"une suite récurrente donnée par :8 :u nÅ1AEunÅ2¡u2n2unu 0AE1 Voici un programme Python qui calcule les8premiers termes de cette suite :

Listing 2 - Calcul de racine de 2 par la méthode de Newton1#- *-c oding:u tf-8- *-2###Calculd er acined e2 p arl am éthoded eN ewton3

4fromd ecimali mportD ecimal, getcontext5defu (n):6ifn ==0:7returnD ecimal(1)8return( u(n-1)+(2-u(n-1)*u(n-1))/(2*u(n-1)))#appelr écursif9

10"""affichaged es1 0p remierst ermesa vec1 00d écimales"""11getcontext().prec=10112fori i nr ange(0,8):13print" i=",i,":",u(i)

1.Imprimer le résultat d"une exécution du script précédent à comparer avec les décimales dep2:

i= 0 : 1 i= 1 : 1 ,5 i= 2 : 1 ,41 67
i=3:

1,41421

92
i=4:

1,41421356237

02 i=5:

1,41421356237309504880168

566
i=6:

104752

i=7:

4 327 641

6016

Nous remarquons cette fois que la convergence est plus rapide. L"erreur sur la limite n"évolue par de façon linéaire avec n

comme dans l"exemple précédent, mais on peut prouver qu"il s"agit d"une convergencequadratiquec"est à dire que l"erreur

varie de façon inversement proportionelle au carré du rang de n. D"où une convergence extrêmement rapide. Nous avons

11 décimales exactes après seulement 4 itérations(à comparer avec le cas précédent).

III. Étude d"une suite d"un sujet de bac.

Soit(un)la suite de termes positifs définie pour n>1par½(unÅ1)2AE4un u 1AE1

1.Déterminer u2, u3, u4et u5.

²PournAE1, la relation de récurrence s"écrit(u2)2AE4£u1AE4

comme la suite (un) est à termes positifs, on au2AEp4AE2²PournAE2, la relation de récurrence s"écrit(u3)2AE4£u2AE8; commeu3>0 , on au3AEp8AE2p2AE232

²PournAE3, la relation de récurrence s"écrit(u4)2AE4£u3AE22£232 AE272 ; commeu4>0 , on au4AEq2 72
AE274 ²PournAE4, la relation de récurrence s"écrit(u5)2AE4£u4AE22£274

AE2154

; commeu5>0 , on au5AEq2 154

AE2158

2.Pour tout entier naturel n>1, on pose vnAElnun¡ln4

a.Démontrer que la suite(vn)est une suite géométrique. Pour tout entier natureln>1,vnÅ1AElnunÅ1¡ln4AE12

£2lnunÅ1¡ln4AE12

ln(unÅ1)2¡ln4 AE 12

£¡ln(4un)¡2ln4¢AE12

£¡ln4Ålnun¡2ln4¢

AE 12

£(lnun¡ln4)

v nÅ1AE12

£vnla suite

(vn)est une suite géométrique de raisonqAE12 et de premier termev1AElnu1¡ln4AE¡ln4 b.Pour tout nombre entier naturel n>1, exprimer vnpuis unen fonction de n. v nAEv1£qn¡1AE¡ln4£µ12 n¡1

AE4£4¡¡12

n¡1AE41¡¡12 n¡1AE22¡2¡12 n¡1c.En déduire quelimn!Å1unAE4. lim n!Å1µ 12 n¡1

AE0 car 0Ç12

Ç1 doncli mn!Å1unAElimn!Å14e¡ln4£Ã12 n¡1 AE4e0AE43.À partir de quelle valeur de n a-t-on unÈ3,99? u nÈ3,99()4e¡ln4£Ã12 n¡1

È3,99

e

¡ln4£Ã12

n¡1 3,994

¡ln4£µ12

n¡1

Èlnµ3,994

12 n¡1

Ç¡ln¡3,994

¢ln4¡lnab

AE¡(lna¡lnb)AElnba

ln

µ12

n¡1

Çln0

@ln³43,99

´ln4

1 A (n¡1)ln12

Çlnµln4¡ln3,99ln4

n¡1Èlnµ

1¡ln3,99ln4

12ln 12

AE¡ln2Ç0

nÈ1¡lnµ

1¡ln3,99ln4

'10,11unÈ3,99 à partir denAE114.On dit que la suite(un)convergelinéairementou "géométriquement» vers4, s"il existe un nombre k ,0ÇkÇ1tel

que :limn!Å1j unÅ1¡4jj un¡4jAEk. Le nombre k est appelé "vitesse de convergence». On peut vérifier rapidement que pour tout entier naturel n>1,0ÇunÇ4donclimn!Å1¯

¯¯¯u

nÅ1¡4u n¡4¯

¯¯¯AElimn!Å1u

nÅ1¡4u n¡4 a.Déterminerlimn!Å1u nÅ1¡4u n¡4Il y a une forme indéterminée "00 u nÅ1¡4u n¡4AE(unÅ1)2¡16( un¡4)(unÅ1Å4)AE4un¡16( un¡4)(unÅ1Å4)AE4(un¡4) (un¡4)(unÅ1Å4)AE4u nÅ1Å4 lim n!Å1u nÅ1¡4u n¡4AElimn!Å14u nÅ1Å4AE48

AE12par quotient avec lim

n!Å1unÅ1AE4 b.En déduire la vitesse de convergence de la suite(un).

Par définition, comme lim

n!Å1¯

¯¯¯u

nÅ1¡4u n¡4¯

¯¯¯AE12

la vitesse de convergence de la suite (un) est de12

IV. Remarques

On considère la suite(un)de limite`

-Silimn!Å1j unÅ1¡`jj un¡`jAE0alors la convergence de la suite est diterapide.

-On dit que la suite(un)est "convergente d"ordre q » : s"il existe un nombre k ,0ÇkÇ1tel que :limn!Å1j

unÅ1¡`jj un¡`jqAEk

En particulier :

²la convergence d"ordre 2 est dite "quadratique». Par exemple, pour la suite de la méthode de Newton du second exemple :8 :u nÅ1AEunÅ2¡u2n2unAEu2nÅ22unu 0AE1 u nÅ1¡p2¡ un¡p2

¢2AEu2nÅ2¡2p2un2un£1¡

un¡p2

¢2AE¡un¡p2

¢22un¡un¡p2

¢2AE12un

lim n!Å1¯

¯unÅ1¡p2

¯un¡p2

¯¯2AElimn!Å1¯

¯¯¯12un¯

¯¯¯AE12

p2 AEp2 4

Ç1il s"agit bien d"une convergencequadratique.

²la convergence d"ordre 3 est dite "cubique». ²la convergence d"ordre 4 est dite "quartique». -On parle deconvergence lentelorsqu"on a :limn!Å1j unÅ1¡`jj un¡`jAE1

Soit la suite récurrente définie par

8 :u nAEun¡1Å(¡1)nnÅ1u 0AE1 On constate que la limite se trouve dans tout intervalle ]u2n;u2n¡1[de longueur12nÅ1.

On constate cependant que la longueur de ces intervalles ne décroit pas dans un rapport donné parce que le rapport des

longueurs de ces intervalles tend vers1.

C"est ce que nous appelons un cas de "convergence lente». Après80 000itérations nous n"avons que4décimales exactes.

Après5 000nous en avions déjà3.il est possible qu"une suite converge et que la vitesse de convergence n"existe pas.

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] méthode d'autocorrection en français

[PDF] methode denseignement du français au primaire

[PDF] méthode d'enseignement montessori

[PDF] méthode d'estimation des coûts d'un projet

[PDF] méthode d'euler analyse numérique

[PDF] méthode d'euler edo

[PDF] methode d'euler exemple

[PDF] methode d'euler informatique python

[PDF] méthode d'euler matlab

[PDF] méthode d'évaluation d'un projet

[PDF] méthode d'évaluation pédagogique

[PDF] methode d'extraction d'huile essentielle pdf

[PDF] méthode d'extraction de l'or pdf

[PDF] méthode d'inventaire floristique

[PDF] methode de bessel