Approximation de solutions déquations différentielles schémas
On ne l'utilise qu'en temps fini. 3. En Matlab la méthode d'Euler peut se coder de la manière suivante : function y=MethodeEuler(t0T
Approximation de solutions déquations différentielles schémas
On consid`ere la solution approchée par la méthode d'Euler de l'équation (EqRef1). En Matlab la méthode d'Euler peut se coder de la mani`ere suivante :.
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
En MatLab (Octave) entrez : >> f = inline('t - y''t'
Matlab à lagreg
Nov 15 2010 La fonction matlab f.m correspondante est la suivante ... L'itération de la méthode d'Euler s'écrit simplement y=y+h*f(t
Chapitre Résolution numérique des équations différentielles Master
Méthode d'Euler de Heun
Module : Méthodes numériques et programmation
4.3 Solution exacte et solution numérique obtenue par méthode Euler . . 81 Matlab est particulièrement efficient pour le calcul matriciel.
Résolution déquations différentielles avec Matlab
Tracer les courbe des résultats obtenus par cette méthode par la méthode d'Euler ainsi que la solution exacte. Faire varier le pas de temps et regarder comment
METHODS
différentielles avec Excel et MATLAB. Etude de la méthode d'Euler – Euler Modifiée – Runge-Kutta RK4. (Partie I & suite de la partie II). Groupe I.
Ecrire un programme Matlab résout cette équation par la méthode
La méthode d'Euler est la méthode la plus simple et la moins précise. Soit à résoudre l'équation différentielle suivante : En supposant connue y à l'instant t
C. Dossal
Mars 2012
1 Le cadre général
On va chercher à approcher numériquement les solutions d"équations différentielles de la forme :
y0(t) =f(t;y(t))avecy(t0) =y0:(1)
oùfest une fonction continue Lipschitz par rapport à la deuxième variable. Le théorème de Cauchy
Lipschitz assure l"existence et l"unicité de la solution. Il arrive que l"on sache résoudre ce problème de
manière analytique mais dans un grand nombre de cas on ne connait pas de forme explicite de la solution.
On peut alors essayer d"approcher la solution par un schéma numérique.Le principe de toutes les méthodes que nous allons voir est le même : On cherche à estimer la solution
yde (1) en des points régulièrement espacés(ti)i2Ien partant dey(t0)qui est connu et en estimant de
proche en proche les valeurs dey(ti)en utilisant le fait que y(ti+1) =y(ti)+Z ti+1 t if(t;y(t))dt:(2)De fait, ne connaissant pasysur l"intervalle[ti;ti+1]on doit souvent approcher cette intégrale avec les
moyens du bord. L"étude des schémas numériques consiste à étudier la convergence et à borner l"erreur
de ces schémas. Dans la suite on noterahla distance entre deux pointstietti+1;8i2N;h=ti+1ti. Onpeut faire des schémas avec des pas variables mais nous concentrerons sur les schémas à pas constant.
2 Schéma d"Euler explicite
Euler a été le premier à proposer un schéma d"approximation. Ce schéma consiste à approcher l"inté-
graleRti+1tif(t;y(t))dtparf(ti;y(ti);h) =f(ti;y(ti)). Le schéma dit d"Euler explicite s"écrit alors
y n+1=yn+hf(tn;y(tn)):(3)1. On considère l"équation
y0=yety(0) =1:(4)
Calculer la solution exacte et la solution approchée par la méthode d"Euler. Si on poseh=Tn mon-trer que pour toutT, la solution obtenue par la métode d"Euler converge vers la solution analytique
au pointTquandntend vers+¥.2. Montrer que sinest fixé et queTtend vers+¥yns"éloigne de 0. On dit que la méthode d"Euler
est un schéma instable. On ne l"utilise qu"en temps fini.3. En Matlab la méthode d"Euler peut se coder de la manière suivante :
function y=MethodeEuler(t0,T,y0,h) t=[t0:h:T+t0];N=length(t);
y=zeros(N,1); y(1)=y0; for k=1:N-1 y(k+1)=y(k)+h*f(t(k),y(k)); end plot(t,y); sol=y0*exp(t); hold on;plot(t,sol,"r");hold off; function z=f(t,y) z=y;4. Utiliser le code précédent pour résoudre numériquement l"équationy0=yavec la condition de
Cauchyy(0) =2.
5. Résoudre analytiquement l"équationy0+y2=0 avecy(0) =1 et modifier le code précédent pour
la résoudre numériquement. 13 Méthode du point milieu
Dans la méthode du point milieu on essaie d"être un peu plus précis dans l"estimation de l"intégrale
Rti+1tif(t;y(t))dtpour cela on utilise un point intermédiaire entreynetyn+1que nous noteronsyn+12 y n+12 =yn+h2 f(tn;yn):On a alors
y n+1=yn+hf(tn+h2 ;yn+12 )et toujourstn+1=tn+h:6. A partir du programme précédent créer une nouvelle fonctionMethodePointMilieuqui résout nu-
mériquement une EDO par cette méthode.7. Comparer sur un même graphique les solutions des deux programmes et la solution analytique pour
l"équation(4)pourT=10etpourdifférentesvaleursdeh:h2f0:3 0:1 0:03 0:01 0:003 0:001g et tracer la courbe du logarithme de l"erreur obtenue enT=10 en fonction du logarithme deh.Comment interprétez vous le résultat?
8. Un bon indicateur de la complexité d"une méthode est le nombre de fois par étape où l"on doit
évaluer la fonctionf. Pour un nombre égal d"évaluations defquelle méthode assure l"erreur la
plus faible?4 Consistance, stabilité et convergence
L"objectif d"un schéma numérique est de fournir une solution approchée qui converge vers la solu-
tion du problème de Cauchy (1) quandhtend vers 0. Pour estimer cette convergence on définit la notion d"erreur de consistance. Si une méthode de résolution numérique est de la formeyn+1=yn+hf(tn;yn;hn), Définition 1.L"erreur de consitance enrelative à la solution exacte z de(1)est définie par e n=z(tn+1)z(tn)hf(tn;z(tn);h) C"est l"erreur que l"on commetrait dans le calcul dez(tn+1)si on connaissait exactementz(tn)par la méthode numérique utilisée. En pratique on connait rarement la valeur exacte dez(tn)...Définition 2.On dit que la méthode numérique est consistante si pour toute solution exacte z,
lim n!¥å06n6Njenj=0.Définition 3.On dit que la méthode est stable s"il existe une constante S>0, appelée constante
de stabilité, telle que pour toutes suites(yn)et(˜yn)définie par y n+1=yn+hf(tn;yn;h);06n6N˜yn+1=˜yn+hf(tn;˜yn;h)+en;06n6N
on ait max06n6Nj˜ynynj6S
j˜y0y0j+å06n6Njenj!
Ainsi si la méthode est stable, même si on commet une petite erreur à chaque étape par rapport
au schéma souhaité, et en pratique c"est toujours le cas à cause des erreurs d"arrondis, on peut
contrôler l"erreur globale pourvu que la somme de chacune des erreurs soit contrôlée.Définition 4.On dit que la méthode est convergente si pour toute solution exacte z, la suite yn+1=
y n+hf(tn;yn;h)vérifie max06n6Njynz(tn)j !0 quand y0!z(t0)et quand h!0.
La quantité max
06n6Njynz(tn)js"appelle l"erreur globale, c"est cette erreur qui importe dans la pra-
tique.9. En prenant ˜yn=z(tn)montrer que si la méthode est stable et consistante alors elle est convergente.
10. Soitzune solution exacte de (1), soitT>0 fixé etN2N, on noteh=TN
et e n=z(tn+1)z(tn)hf(tn;z(tn);h): (a) Comment appelle t-onen? (b) Montrerquepourtoutn06n (e) Justifier que lim N!¥å
06n T t 0jf(t;z(t))f(t;z(t);0)jdt:
(f) En déduire que la méthode est consistante si et seulement si 8t2[t0;T];f(t;z(t);0) =f(t;z(t)):
Lemme de Gronval discret
11. Soit(qn)n2N2R+et(en)n2N2Rdeux suites telles queqn+16(1+Lh)qn+jenj.
Justifier que 1+Lh6eLh.
12. Montrer par récurrence que pour toutn2N
q n6eL(tnt0)q0+n1å i=0eL(tnti+1)jeij:(5) 13. Dans cette question on suppose quefest Lipschitz de constanteLpar rapport à la deuxième
variable. On considère deux suites(yn)et˜(yn)définies par y n+1=yn+hf(tn;yn;h) ˜yn+1=˜yn+hf(tn;˜yn;h)+en
(a) Montrer que la suiteqn=j˜ynynjvérifie q n+16(1+Lh)qn+jenj: (b) En utilisnat le lemme de Gronval discret que max 06n6Nj˜ynynj6eLT
j˜y0y0j+Nå n=0jenj! (c) En déduire que la méthode numérique associée à la fonctionfest stable de constante de
stabilitéeLT. 14. Que peut-on dire d"une méthode de résolution associée à une fonctionfLipshitz par rapport à la
deuxième variable et telle quef(t;y;0) =f(t;y)? 15. En déduire que sifest Lipschitz de constantekpar rapport à la deuxième variable, le schéma
d"Euler explicite est convergent et donner sa constante de stabilité. 16. On rappelle que pour la méthode du point milieu
f(t;y;h) =f t+h2 ;y+h2 f(t;y) Sifestk-Lipschitz montrer que
jf(t;y1;h)f(t;y2;h)j6k jy1y2j+h2 jf(t;y1)f(t;y2)j 17. En déduire que sifestkLipschitz la méthode du point milieu est stable et donner sa constante de
stabilité. 3 5 Ordre d"une méthode numérique de résolution d"une EDO
Définition 5.On dit qu"une méthode à 1 pas est d"ordre p si pour toute solution exacte z de(1)où
f est de classeC p, il existe une constanteC telle que l"erreur de consistance relative à z vérifie jenj6Chp+1;8n18. Montrer que si une méthode est d"ordrepalors
N1å
n=0jenj6CThp: 19.Ordre de la méthode d"Euler.
On suppose quefest de classeC1et on notezune solution exacte de (1) avecf2C1et on noteen l"erreur de consistance de la méthode d"Euler. (a) Montrer que e n=12 h2z(2)(tn)+o(h2): En déduire une expression deenen fonction des dérivées partielles defau point(tn;yn)et que la méthode d"Euler est d"ordre 1. 20.Ordre de la méthode du point milieu.
On suppose maintenant quefest de classeC2et on considère la méthode du point milieu. Sizest une solution de (1), on az0(t) =f(t;z(t))etzestC3, on en déduit que la dérivée troisièmez(3)dez
solution exacte de (1) s"exprime comme combinaison linéaire de produits de dérivées partielles de
fd"ordre 1 et 2 et est donc bornée[t0;t0+T]. (a) Montrer que l"erreur de consistanceens"écriten=en+e0navec e n=z(tn+1)z(tn)hz0(tn+h2 e 0n=hz0(tn+h2
)(yn+1z(tn)): (b) Montrer qu"il existeC1tel queen6C1h3. (c) Montrer que e 0n=h f t n+h2 ;z(tn+h2 f t n+h2 ;yn+12 (d) En utilisant l"égalité des accroissements finis montrer qu"il existeC2tel quee0n6C2h3. (e) En déduire que la méthode du point milieu est une méthode d"ordre 2. (f) Ce résultat correspond t-il aux expériences numériques précédentes? (g) Faites quelques expériences numériques sur les équations différentielles suivantes y 0=y2ety(0) =1 sur l"intervalle[0;2];(6)
y 0=ytantety(0) =1 sur l"intervalle[0;p3
]:(7) en affichant l"erreur ent0+Ten fonction dehdans un diagramme logarithmique. 21. La méthode de Heun consite à utiliser la formule de récurrence suivante
y n+1=yn+h12 (f(tn;yn)+f(tn+h;yn+hf(tn;yn))): Ecrire un programme qui met en place cette méthode et estimer numériquement son ordre en utili-
sant les équations précédentes. 4 6 Modèle de Volterra pour les systèmes proie-prédateur
En 1926, Volterra propose un modèle simple de systèmeproie-prédateurafin d"expliquer les oscil-
lations des campagnes de pêche dans l"adriatique. Il s"écrit S0(t) =S(t)(abR(t))
R 0(t) =R(t)(c+dS(t))(8)
oùtreprésente le temps,S(t)etR(t)représente respectivement le nombre de proies et de prédateur
à l"instantteta;b;cetdsont des paramètres positifs. 22. Montrer qu"en posantu(t) =dc
S(t);v(t) =ba
R(t);t=ateta=ca
on obtient le système suivant. u0(t) =u(t)(1v(t)) v 0(t) =av(t)(u(t)1)(9)
23. SoitH(t) =au(t)+v(t)aln(u(t))ln(v(t)).
24. CalculerH0(t). On dit queHest une intégrale première du système.
25. Soitfla fonction définie de]0;+¥[dansRparf(x) =xlnx. Etudier les variations def.
26. En déduire que quelques soient les valeurs initiales deu(0)etv(0)choisies, les fonctionsuetv
sont bornées supérieurement par un réelM>0 et inférieurement par un réelm>0. 27. Montrer qu"à une valeur deu(t)correspondent au plus 2 valeurs dev(t).
28. Expliquer ce que réalise le programme suivant :
function [u,v,H]=Voltera(a,u0,v0,T,h) N=ceil(T/h);
S=zeros(N,1);
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
N!¥å
06n T t 0jf(t;z(t))f(t;z(t);0)jdt:
(f) En déduire que la méthode est consistante si et seulement si 8t2[t0;T];f(t;z(t);0) =f(t;z(t)):
Lemme de Gronval discret
11. Soit(qn)n2N2R+et(en)n2N2Rdeux suites telles queqn+16(1+Lh)qn+jenj.
Justifier que 1+Lh6eLh.
12. Montrer par récurrence que pour toutn2N
q n6eL(tnt0)q0+n1å i=0eL(tnti+1)jeij:(5) 13. Dans cette question on suppose quefest Lipschitz de constanteLpar rapport à la deuxième
variable. On considère deux suites(yn)et˜(yn)définies par y n+1=yn+hf(tn;yn;h) ˜yn+1=˜yn+hf(tn;˜yn;h)+en
(a) Montrer que la suiteqn=j˜ynynjvérifie q n+16(1+Lh)qn+jenj: (b) En utilisnat le lemme de Gronval discret que max 06n6Nj˜ynynj6eLT
j˜y0y0j+Nå n=0jenj! (c) En déduire que la méthode numérique associée à la fonctionfest stable de constante de
stabilitéeLT. 14. Que peut-on dire d"une méthode de résolution associée à une fonctionfLipshitz par rapport à la
deuxième variable et telle quef(t;y;0) =f(t;y)? 15. En déduire que sifest Lipschitz de constantekpar rapport à la deuxième variable, le schéma
d"Euler explicite est convergent et donner sa constante de stabilité. 16. On rappelle que pour la méthode du point milieu
f(t;y;h) =f t+h2 ;y+h2 f(t;y) Sifestk-Lipschitz montrer que
jf(t;y1;h)f(t;y2;h)j6k jy1y2j+h2 jf(t;y1)f(t;y2)j 17. En déduire que sifestkLipschitz la méthode du point milieu est stable et donner sa constante de
stabilité. 3 5 Ordre d"une méthode numérique de résolution d"une EDO
Définition 5.On dit qu"une méthode à 1 pas est d"ordre p si pour toute solution exacte z de(1)où
f est de classeC p, il existe une constanteC telle que l"erreur de consistance relative à z vérifie jenj6Chp+1;8n18. Montrer que si une méthode est d"ordrepalors
0jf(t;z(t))f(t;z(t);0)jdt:
(f) En déduire que la méthode est consistante si et seulement si8t2[t0;T];f(t;z(t);0) =f(t;z(t)):
Lemme de Gronval discret
11. Soit(qn)n2N2R+et(en)n2N2Rdeux suites telles queqn+16(1+Lh)qn+jenj.
Justifier que 1+Lh6eLh.
12. Montrer par récurrence que pour toutn2N
q n6eL(tnt0)q0+n1å i=0eL(tnti+1)jeij:(5)13. Dans cette question on suppose quefest Lipschitz de constanteLpar rapport à la deuxième
variable. On considère deux suites(yn)et˜(yn)définies par y n+1=yn+hf(tn;yn;h)˜yn+1=˜yn+hf(tn;˜yn;h)+en
(a) Montrer que la suiteqn=j˜ynynjvérifie q n+16(1+Lh)qn+jenj: (b) En utilisnat le lemme de Gronval discret que max06n6Nj˜ynynj6eLT
j˜y0y0j+Nå n=0jenj!(c) En déduire que la méthode numérique associée à la fonctionfest stable de constante de
stabilitéeLT.14. Que peut-on dire d"une méthode de résolution associée à une fonctionfLipshitz par rapport à la
deuxième variable et telle quef(t;y;0) =f(t;y)?15. En déduire que sifest Lipschitz de constantekpar rapport à la deuxième variable, le schéma
d"Euler explicite est convergent et donner sa constante de stabilité.16. On rappelle que pour la méthode du point milieu
f(t;y;h) =f t+h2 ;y+h2 f(t;y)Sifestk-Lipschitz montrer que
jf(t;y1;h)f(t;y2;h)j6k jy1y2j+h2 jf(t;y1)f(t;y2)j17. En déduire que sifestkLipschitz la méthode du point milieu est stable et donner sa constante de
stabilité. 35 Ordre d"une méthode numérique de résolution d"une EDO
Définition 5.On dit qu"une méthode à 1 pas est d"ordre p si pour toute solution exacte z de(1)où
f est de classeC p, il existe une constanteC telle que l"erreur de consistance relative à z vérifie jenj6Chp+1;8nN1å
n=0jenj6CThp:19.Ordre de la méthode d"Euler.
On suppose quefest de classeC1et on notezune solution exacte de (1) avecf2C1et on noteen l"erreur de consistance de la méthode d"Euler. (a) Montrer que e n=12 h2z(2)(tn)+o(h2): En déduire une expression deenen fonction des dérivées partielles defau point(tn;yn)et que la méthode d"Euler est d"ordre 1.20.Ordre de la méthode du point milieu.
On suppose maintenant quefest de classeC2et on considère la méthode du point milieu. Sizestune solution de (1), on az0(t) =f(t;z(t))etzestC3, on en déduit que la dérivée troisièmez(3)dez
solution exacte de (1) s"exprime comme combinaison linéaire de produits de dérivées partielles de
fd"ordre 1 et 2 et est donc bornée[t0;t0+T]. (a) Montrer que l"erreur de consistanceens"écriten=en+e0navec e n=z(tn+1)z(tn)hz0(tn+h2 e0n=hz0(tn+h2
)(yn+1z(tn)): (b) Montrer qu"il existeC1tel queen6C1h3. (c) Montrer que e 0n=h f t n+h2 ;z(tn+h2 f t n+h2 ;yn+12 (d) En utilisant l"égalité des accroissements finis montrer qu"il existeC2tel quee0n6C2h3. (e) En déduire que la méthode du point milieu est une méthode d"ordre 2. (f) Ce résultat correspond t-il aux expériences numériques précédentes? (g) Faites quelques expériences numériques sur les équations différentielles suivantes y0=y2ety(0) =1 sur l"intervalle[0;2];(6)
y0=ytantety(0) =1 sur l"intervalle[0;p3
]:(7) en affichant l"erreur ent0+Ten fonction dehdans un diagramme logarithmique.21. La méthode de Heun consite à utiliser la formule de récurrence suivante
y n+1=yn+h12 (f(tn;yn)+f(tn+h;yn+hf(tn;yn))):Ecrire un programme qui met en place cette méthode et estimer numériquement son ordre en utili-
sant les équations précédentes. 46 Modèle de Volterra pour les systèmes proie-prédateur
En 1926, Volterra propose un modèle simple de systèmeproie-prédateurafin d"expliquer les oscil-
lations des campagnes de pêche dans l"adriatique. Il s"écritS0(t) =S(t)(abR(t))
R0(t) =R(t)(c+dS(t))(8)
oùtreprésente le temps,S(t)etR(t)représente respectivement le nombre de proies et de prédateur
à l"instantteta;b;cetdsont des paramètres positifs.22. Montrer qu"en posantu(t) =dc
S(t);v(t) =ba
R(t);t=ateta=ca
on obtient le système suivant. u0(t) =u(t)(1v(t)) v0(t) =av(t)(u(t)1)(9)
23. SoitH(t) =au(t)+v(t)aln(u(t))ln(v(t)).
24. CalculerH0(t). On dit queHest une intégrale première du système.
25. Soitfla fonction définie de]0;+¥[dansRparf(x) =xlnx. Etudier les variations def.
26. En déduire que quelques soient les valeurs initiales deu(0)etv(0)choisies, les fonctionsuetv
sont bornées supérieurement par un réelM>0 et inférieurement par un réelm>0.27. Montrer qu"à une valeur deu(t)correspondent au plus 2 valeurs dev(t).
28. Expliquer ce que réalise le programme suivant :
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