Module : Méthodes numériques et programmation PDF

On ne l'utilise qu'en temps fini. 3. En Matlab la méthode d'Euler peut se coder de la manière suivante : function y=MethodeEuler(t0T

Approximation de solutions déquations différentielles schémas

On consid`ere la solution approchée par la méthode d'Euler de l'équation (EqRef1). En Matlab la méthode d'Euler peut se coder de la mani`ere suivante :.

Méthodes numériques de résolution déquations différentielles

En MatLab (Octave) entrez : >> f = inline('t - y''t'

Matlab à lagreg

Nov 15 2010 La fonction matlab f.m correspondante est la suivante ... L'itération de la méthode d'Euler s'écrit simplement y=y+h*f(t

Chapitre Résolution numérique des équations différentielles Master

Méthode d'Euler de Heun

Module : Méthodes numériques et programmation

4.3 Solution exacte et solution numérique obtenue par méthode Euler . . 81 Matlab est particulièrement efficient pour le calcul matriciel.

Résolution déquations différentielles avec Matlab

Tracer les courbe des résultats obtenus par cette méthode par la méthode d'Euler ainsi que la solution exacte. Faire varier le pas de temps et regarder comment

METHODS

différentielles avec Excel et MATLAB. Etude de la méthode d'Euler – Euler Modifiée – Runge-Kutta RK4. (Partie I & suite de la partie II). Groupe I.

Ecrire un programme Matlab résout cette équation par la méthode

La méthode d'Euler est la méthode la plus simple et la moins précise. Soit à résoudre l'équation différentielle suivante : En supposant connue y à l'instant t

Faculté des Sciences Exactes, Sciences de la Nature et de la Vie Département des sciences de la matièreModule :Méthodes numériques et programmation Niveau 2ème année - 1er semestreSamir KENOUCHE polycopié de cours

Visiter ma page personnelle

Liste des Figures

1 Intégration numérique : intégrales simples

1.1 Méthode du point milieu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Méthode du trapèze

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Méthode de Simpson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Au moyen de routines Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Intégration numérique : intégrales double et triple

2.1 Intégrale double

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Intégrale triple

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

3 Résolution d"équations non-linéaires

3.1 Méthode du point fixe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Méthode de dichotomie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

3.3 Méthode de fausse position (ou de Lagrange)

. . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Méthode de Newton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Méthode de la sécante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 Au moyen de routines Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Résolution numérique des équations différentielles

4.1 Méthodes à un pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.1 Méthode d"Euler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.2 Méthode de Heun

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.3 Méthode de Runge-Kutta, d"ordre 3

. . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.4 Méthode de Runge-Kutta, d"ordre 4

. . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Au moyen de routines Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Calcul formel

5.1 Dérivée d"une Fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Point d"inflexion d"une fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3 Extremums d"une fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4 Dérivées partielles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 Résolution formelle des équations et système d"équations différentielles

102

5.6 Résolution formelle d"équations et de système d"équations

. . . . . . . 107

5.7 Résolution formelle des intégrales simples et multiples

. . . . . . . . . 113 1

6.1 Méthode de Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2 Méthode de Hermite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.3 Interpolation aux nuds de Tchebychev

. . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.4 Interpolation par spline linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.5 Interpolation par spline cubique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.6 Au moyen de routines Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Bibliographie

137

Année universitaire 2016/20172

1.1 Interface Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Formule du point milieu composite représentée sur 4 sous-intervalles

. 17

1.3 Formule du Trapèze composite représentée sur 4 sous-intervalles

. . . 18

1.4 Formule de Simpson composite représentée sur 4 sous-intervalles

. . . 21

1.5 Aire de l"intégrale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Influence du nombre de sous-intervalle sur l"erreur d"intégration

. . . 28

1.7 Figure générée par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Discrétisation du domaine

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Figure générée par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Principe de la méthode deNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1Solutions numériques obtenues par les méthodes deEuler, deHeunet

deRunge-Kutta d"odre 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2 Évolution de l"erreur relative en fonction du pas de discrétisation

. . . 79

4.3 Solution exacte et solution numérique obtenue par méthodeEuler. . 81

4.4 Équation différentielle du troisième ordre résolue par la méthode de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 Comparaison entre la solution analytique et la solution numérique générée par le solveurode23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.7

5.1 Figure générée par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . . 90

5.2 Figure générée par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . . 95

5.3 Figure générée par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . . 97

5.4 Figures générées par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . 101

5.7 Figure générée par le code Matlab ci-dessus

. . . . . . . . . . . . . . 111 3

6.2 Interpolation deHermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3 Illustration du phénomène deRunge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4Atténuation du phénomène deRungeen adoptant les nuds de

Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.5 Effet du nombre de points d"interpolation selonTchebychev. . . . . 126

6.7 Interpolation par splines linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.8 Interpolation par spline cubique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Année universitaire 2016/20174

Introduction,page 16

Exercice· +r,page 22

Exercice¸ +r,page 29

Exercice¸ +s,page 32

Introduction,page 33

Exercice· +r,page 42

Exercice· +s,page 46

Introduction,page 47

Exercice· +r,page 54

Exercice· +s,page 58

Exercice¸ +r,page 60

Exercice¸ +s,page 62

Exercice¹ +r,page 63

Exercice¹ +s,page 65

Exerciceº +r,page 67

Exercice» +s,page 70

Introduction,page 71

,page 72

Exercice· +r,page 80

Exercice¸ +r,page 84

Introduction,page 88

Exercice· +r,page 94

Exercice· +s,page 95

Exercice¸ +r,page 96

Exercice¸ +s,page 98

Exercice¹ +r,page 99

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Exerciceº +r,page 104

Exerciceº +s,page 107

Exercice» +r,page 108

Exercice¼ +r,page 110

Exercice¼ +s,page 112

Exercice½ +r,page 113

Exercice¾ +r,page 115

Exercice¾ +s,page 116

Introduction,page 117

Exercice· +r,page 121

Exercice· +s,page 123

Exercice¸ +r,page 126

Exercice¸ +s,page 129

Exercice¹ +r,page 129

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Exerciceº +s,page 133

Exercice» +r,page 134

Exercice» +s,page 136

Année universitaire 2016/20175

très développées, néanmoins il a été constaté qu"ils trouvent des difficultés à concrétiser

ces connaissances sur un ordinateur. La rédaction de ce polycopié de cours s"inscrit dans cette optique, afin de mettre à la disposition des étudiants(es), d"outils pratiques aidant

à la stimulation de leurs connaissances opérationnelles. Ce polycopié s"adresse à tous les

étudiants(es) suivant un cursus universitaire de type scientifique, à l"instar de laphysique,

la chimie, la biologie, filières technologiques ... etc. Les prérequis exigés sont relatifs aux

notions élémentaires en mathématique appliquée, abordées durant les premières années

du cycle universitaire. Bien évidemment, la liste des méthodes numériques présentées ici

est strictement conformes au programme officiel. Toutes les méthodes numériques sont programmées par le biais du "langage" Matlab. Ce dernier est commercialisé par la sociétéMathWorks(http://www.mathworks.com/). Le choix de ce logiciel tient aussi, à sa simplicité d"utilisation, car il ne nécessite pas de déclaration explicite de types de variables (entiers, réels, complexes, les chaînes de caractères) manipulées. Matlab est particulièrement efficient pour le calcul matriciel car sa structure de données interne est fondée sur des matrices. De plus, il dispose

d"une multitude de boites à outilstoolboxesdédiées à différents domaines scientifiques

(statistique, traitement du signal, traitement d"images, ... etc). Il existe des logiciels ayant des syntaxes comparables à celle de Matlab, commeScilab(http://www.scilab.org/), sourceforge.net/

Sage(http://www.sagemath.org/).

Matlab est un langage interprété, son fonctionnement est différent des langages classiques (Fortran, Pascal, ...), dits langages compilés. Un algorithme écrit en langage in-

terprété nécessite pour fonctionner un interprète. Ce dernier est un programme traduisant

directement les instructions, en langage machine, au fur et à mesure de leurs exécutions. L"interprète analyse séquentiellement la syntaxe de l"algorithme avant de le dérouler dyna- miquement. En revanche, dans un langage compilé, le code source est lu dans un premier temps puis compilé par un compilateur qui le convertit en langage machine directement

compréhensible par l"ordinateur. Il en résulte ainsi, qu"un langage interprété sera plus lent

qu"un langage compilé à cause de la conversion dynamique de l"algorithme, alors que

cette opération est réalisée préalablement pour un langage compilé. Néanmoins, l"un des

avantages majeur d"un langage interprété, tient à la facilité de détection d"éventuelles

erreurs de programmation. Le programme interprète indiquera rapidement, au cours de l"exécution, l"emplacement de l"erreur de syntaxe et proposera éventuellement une aide supplémentaire. Dans le langage compilé, les erreurs apparaissent au cours de la com-

pilation, qui est souvent longue, et de plus il est difficile d"appréhender l"origine de l"erreur.

Année universitaire 2016/20176

détaillée. Les étudiants (es) sont invités à résoudre les exercices supplémentaires, donnés

dans chaque fin de section. Cela permettra de tester et de consolider leur compréhension.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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[PDF] Module : Méthodes numériques et programmation