[PDF] Chapitre 3 Méthodes directes de résolution des syst`emes linéaires





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1.3 Les méthodes directes

1.3.2 Méthode de Gauss méthode LU. Soit A ? Mn(IR) une matrice inversible



Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss

Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn?1. 3. Méthode de Gauss. Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure.



Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss

Dans le cas général on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : • 



Matrices: Gaussian & Gauss-Jordan Elimination

Matrices Handout- Gaussian and Gauss-Jordan. Updated: Fall 2019 Gaussian elimination is a method for solving systems of equations in matrix form.



Étape A : processus délimination de Gauss

Dans chaque cas on écrira les étapes de la méthode sous forme matricielle. 2. (algo) Soit M ? Mn(R) une matrice carrée inversible et soit b ? Rn un 



Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de

Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de Gauss. L'algorithme général.



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.



Chapitre 3 Méthodes directes de résolution des syst`emes linéaires

Méthodes directes de résolution. 22. 3.2 Méthode d'élimination de Gauss. Le principe de la méthode consiste `a déterminer une matrice M inversible telle que 



METHODES NUMERIQUES

5.3 Propriétés des matrices triangulaires unitaires . . . . . . . . . . . . . 28. 6 Factorisation LU. 31. 6.1 Formalisation de l'élimination de Gauss .

Chapitre3

3.1Introduction

Au=b;(3.1)

u=A¡1b: Ac i=ei8i=1;:::;n c iformentlamatriceinverseA¡1. 20 8 :a

11u1+a12u2+a13u3+:::+a1nun=b1;

a

22u2+a23u3+:::+a2nun=b2;

a

33u3+:::+a3nun=b3;

a nnun=bn:(3.2)

Pourk=n;n¡1;:::;1,faire

u k=bk¡Pn j=k+1akjuj akk n(n¡1)

2additions,

n(n¡1)

2multiplications,

{ndivisions. parblocs.Parexemple0 B B B B B B @A

11A12A13A14

0A22A23A24

00A33A34

000A441

C C C C C C A Donc Au=b ()MAu=Mb

²permuterdeuxlignes:LiÃ!Lj

lignei0 B B B B B B B B B @10::::::0 0 ...0:::0

0:::¸:::0

0:::1:::

0::::::11

C C C C C C C C C A lignei lignej0 B B B B B B B B B @10::::::0 0 ...0:::0

0:::1:::0

0¸1:::

0::::::11

C C C C C C C C C A lignej lignei0 B B B B B B B B B @10::::::0 0 ...0:::0

0:::010

010:::

0::::::11

C C C C C C C C C A :2u1+3u2¡u3=5

4u1+4u2¡3u3=3

¡2u1+3u2¡u3=1

B B B @23¡15

44¡33

¡23¡111

C C C A [A;b]»0 B B B @23¡15

0¡2¡1¡7

06¡261

C C C AA1=0 B B B @100

¡210

1011
C C C AA 0 B B B @23¡15

0¡2¡1¡7

00¡5¡151

C C C AA2=0 B B B @100 010 0311
C C C AA1

Lederniersystµemeesttriangulaire8

:2u1+3u2¡u3=5

¡2u2¡u3=¡7

¡5u3=¡15

:u

2+u3=1

u

1+u3=1

u

1+u2=1

B B B @0111 1011
11011
C C C A L

1$L2»0

B B B @1011 0111
11011
C C C AA1=0 B B B @010 100
0011 C C C AA

¡L1+L3»0

B B B @1011 0111

01¡101

C C C AA2=0 B B B @100 010

¡1011

C C C AA1

¡L2+L3»0

B B B @1011 0111

00¡2¡11

C C C AA3=0 B B B @100 010

0¡111

C C C AA2 {z}A avec0 B B B B B B

11:::::

0®22

0®nn1

C C C C C C A

AinsionprendraEi=Pi=I.

{n3=3additions, {n3=3multiplications, {n2=2divisions. k jak ikj=maxk·p·njak pkj jak ijj=maxk·p·n k·q·njak pqj lesEilesmatricesGaussiennes.

3.3FactorisationLU

U=En¡1:::E2E1A

Exercices:

4.SiEestunematriceGaussienne

E=0 B B B B B B @10:::: 210:
n0:11 C C C C C C A calculerE¡1.

Posons

L=(En¡1En¡2:::E1)¡1

A=LU

P=Pn¡1Pn¡2:::P1

¦=¦1¦2:::¦n¡1

PA¦=LU(3.3)

factorisationA=LU. Ly=b etensuite Ux=y triangulaire.

Exercices:

E k=0 B B B B B B B B B B B B B B B @10:::::::::::

010::::

0:10:

0:lk+1;k1:

0:ln;k:11

C C C C C C C C C C C C C C C A montrerquequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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