[PDF] Exercices avec corrigé succinct du chapitre 4

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Exercices avec corrige succinct du chapitre 4

(Remarque: les references ne sont pas gerees dans ce document, par contre les quelques??qui apparaissent dans ce texte sont bien denis dans la version ecran complete du chapitre 4)

Exercice IV.1

On rappelle que la denition du determinant a partir des permutations est la suivante detA=X a (1)1a(2)2:::a(n)n

ou la somme est faite sur toutes les permutations de l'ensemblef1;2;:::;ng. En utilisant cette denition,

montrer que si une matrice est inversible, il existe une permutation de ses lignes telle que tous les

elements de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls. Solution :La denition du determinant a partir des permutations donne detA=X a (1)1a(2)2:::a(n)n

ou la somme porte sur toutes les permutations de l'ensemblef1;2;:::;ng. Or si la matrice est inversible,

son determinant est non nul et il existe donc au moins un element de cette somme qui est non nul et qui correspond donc a une permutation ^. Il sut alors de permuter les lignes de la matriceAsuivant la permutation ^pour obtenir le resultat attendu.Exercice IV.2 Donner les matricesD,EetFcorrespondant a la decompositionA=DEFde la methode de

Jacobi dans le cas

A=0 @1 3 0 6 71

3 4 91

A

Solution :

D=0 @1 0 0 0 7 0

0 0 91

A E=0 @0 0 0 6 00 34 01
A F=0 @03 0 0 0 1

0 0 01

A :Exercice IV.3

Quelle est, pour la methode de Gauss-Seidel, la forme de la matrice du systeme permettant de calculer

x (k+1)a partir dex(k). Que pensez-vous de la resolution de ce systeme? Solution :La matriceDEest triangulaire inferieure. Le nombre de multiplications/divisions est de l'ordre den2pour la resolution d'un systeme triangulaire, ce qui est beaucoup moins important que lesn3de la methode LU. Par contre, la diagonale deAne doit pas comporter d'elements nuls.1

Exercice IV.4

Soit la decompositionA=MNavecMinversible et la methode iterative x(0)donne; Mx (k+1)=Nx(k)+b: Donner une condition susante sur les matrices M et N pour que la suitex(k)converge vers la solution deAx=b. Solution :On a doncx(k+1)=M1Nx(k)+M1b, donc en reprenant les notations du paragraphe ??, on aC=M1Netd=M1b. On utilise la proposition??. SijjM1Njj<1, alors la suitex(k) converge vers la solution unique de (IM1N)x=d,xM1Nx=M1b,(MN)x=b,Ax=b: On remarque au passage que siMinversible, sijjM1Njj<1, alors la matriceA=MNest inversible, en eet il sut de reprendre la proposition??,A=M(IM1N) est un produit de matrices inversibles.Exercice IV.5

Montrer que pour la dichotomie, le nombre d'iterations necessaires pour obtenir une precision inferieure

aest superieur ou egal a log2ba. Solution :La methode de la dichotomie est basee sur le fait que la solutionxdef(x) =xrecherchee appartient a une suite de segments emboites [akbk] pourk2IN. Or la longueur de ces segments est donnee par l k=ba2k:

Ceci implique que

x aklk: Pour queansoit une approximation dexavec un precision inferieure a", il sut que l n" soit ba2n")nlog2ba"Exercice IV.6 Pour calculer la racine carree d'un nombre reela >0, on resoutx2=a. Il existe alors dierentes manieres de se ramener a un point xe: x=axetg1(x) =ax;

2x=x+ax, soitx= 2xaxetg2(x) = 2xax;

x=x2+a2xetg3(x) =x2+a2x: 2 Tracer les fonctionsgi(x) et la bissectrice pourx >0. Prendreu0quelconque et construire graphique- ment la suiteuk+1=gi(u(k)pourk >0. Conclusion? Solution :Vous pouvez vous aider de SCILAB pour tracer graphiquement la courbeg(x), la bis- sectrice et les points (uk;g(uk). { Voir sur la gure 1 un exemple de ce qui vous pourriez obtenir pourg1u0y=g (x) 1xy y=x u

1Fig.1 {Point xe 1

Il est facile de calculer dans le cas deg1la suite des iteres. En eet u

0donne; u1=au0; u2n=u0u2n+1=u1;n= 1;2;:::

La suite prend successivement les valeursu0etu1et ne converge donc pas. { Voir sur la gure 2 un exemple de ce qui vous pourriez obtenir pourg2 Le trace que vous avez eectue pourg2vous montre que la suiteukdiverge. { Voir sur la gure 3 un exemple de ce qui vous pourriez obtenir pourg3 Le trace que vous avez eectue pourg3vous montre que la suiteukse rapproche de la solution. Apres avoir etudie les theoremes sur la convergence d'une telle suite, vous pourrez demontrer qu'elle converge.Exercice IV.7 Soitg: [a;b]![a;b], continument derivable, telle quejg0(x)j k <1;8x2[a;b]. On suppose queg admet deux points xes dans [a;b]. Montrer, en utilisant le theoreme des accroissements nis, que l'on arrive a une contradiction. Solution :Le raisonnement se fait par l'absurde en supposant qu'il existe deux points xes distincts x et ^xdistincts dans [a;b]. Alors, le theoreme des accroissements nis donne g(x)g(^x) = (x^x)g0(); 3 u3u21uy=g (x) 2xy y=x u

0y=2xFig.2 {Point xe 2u0u3u2

y y=x u

1xy=g (x)

3 u

4Fig.3 {Point xe 3

ouest compris entrexet ^xet donc appartient a [a;b]. Alors jx^xj=jg(x)g(^x)j=jx^xjjg0()jExercice IV.8 Pour calculer la racinexdex23x1 = 0 sur [1;+ 1], on poseg(x) =x213pour appliquer une methode de point xex=g(x). Montrer que la suitexn+1=g(xn), avecx02[1;+1], converge vers un unique point xex2[1;1]. Solution :Pour appliquer la proposition??il sut de demontrer que l'applicationgva de [1;1] dans

lui-m^eme et que sa derivee est bornee par une constante strictement inferieure a 1 sur cet intervalle.

Faites un tableau de variation de la fonctiongsur [1;1] et vous demontrerez la premiere partie sans probleme. Quant a la deriveeg0(x) =23x...Exercice IV.9 Soit une suite (xn) convergeant versx. On suppose que jxn+1xnj kjxnxn1j ouk <1.

1. Montrer que

jxn+1xnj knjx1x0j:

2. En deduire que, pourp > n,

jxpxnj (kp1+:::+kn)jx1x0j:

3. Apres avoir calcule la somme du membre de droite, faites tendrepvers l'inni pour obtenir

jxxnj kn1kjx1x0j:

Solution :

1. Inegalite evidente en iterant l'inegalite de l'hypothese.

2. On ecrit

x pxn=xpxp1+xp1:::xn+1+xn+1xn on prend les valeurs absolues, on utilise l'inegalite triangulaire, puis la majoration precedente.

3. On a

k p1+:::+kn+1+kn=kn(kp1n+:::+k+ 1) =kn1kpn1k ce qui donne jxpxnj kn1kpn1kjx1x0j: On passe alors a la limite quandptend vers +1sur les deux membres de l'inegalite (le passage a la limite conserve l'inegalite). Alors, puisquek <1 lim p!+1kpn= 0 et, par hypothese, lim p!+1xp=x, ce qui donne le resultat.Exercice IV.10 On reprend la fonctiong(x) =x213dont l'unique point xexde [1;1] est racine du trin^ome x

23x1 = 0. Soitx0= 0, calculer le nombre d'iterations de point xennecessaires pour obtenir

5 une precision inferieure a= 103pour le calcul dex. Verier votre resultat en calculant lesn premiers iteres de la methode de point xe. Solution :On utilise les resultats des exercices??et??, ce qui donne jxxnj kn11kjx1x0j;aveck=23:

On obtient donc

x

1=13; kn11kjx1x0j=23

n ;jxxnj 23 n

Il sut donc d'avoir

23
n ,nln23 ln,n18:Exercice IV.11 Soit la courbey=f(x). Ecrire l'equation de la tangente a cette courbe au point d'abscissex=xn. Donner alors l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec l'axeOx. Montrer que l'on retrouve ainsi une iteration de la methode de Newton. Pour illustrer graphiquement et numeriquement cette methode, tracer et calculer deux iterations avecf(x) =x22 etx0= 2. Solution :L'equation de la droite tangente est evidemment y=f0(xn)(xxn) +f(xn):

L'intersection avec l'axeOxdonne

0 =f0(xn)(xn+1xn) +f(xn);

ce qui redonne la methode de Newton lorsque l'on en extraitxn+1.

Le calcul dex1etx2donne

x

1= 224=32; x2=32143=1712:Exercice IV.12

Soit la fonctionf(x) = cosxx. Montrer qu'elle admet une racine sur [0;=2]. Calculer trois iterations de la methode de Newton en partant dex0==4 puis avecx0= 0. Conclusion. Solution :Puisquef(0)f(2)<0 la fonctionfadmet au moins une racine sur [0;2]. Utiliser alors une calculatrice pour calculer trois iterations de la methode de Newton en partant de

4puis de 0.Exercice IV.13Ecrire l'equation de la droite passant par les points (xn;f(xn)) et (xn1;f(xn1)). Donner l'abscisse

x

n+1de l'intersection de cette droite avec l'axe Ox. Montrer que l'on retrouve l'equation de la secante.

Solution :L'equation de la droite (pour ceux qui auraient un trou de memoire) est donnee par yf(xn)xxn=f(xn+1)f(xn)xn+1xn: Annuler alorsyet tirerxn+1pour retrouver l'equation de la secante.6

Exercice IV.14

Tracer une courbe convexe qui coupe l'axe Ox en un pointx. Considerer deux pointsx0etx1qui entourent ce point. Eectuer alors graphiquement quelques iterations de la methode de la secante (modiee) de telle sorte que la secante passe toujours par deux points qui entourentx. Remarquez alors que soitx0, soitx1est toujours pris en compte dans toutes les iterations. Solution :Comme on le voit sur la gure 4, la suite construite par la methode de la secante modieex0x 1x2x3 y=f(x)y xFig.4 {Methode de la secante modiee est obtenue successivement avec les couplesx0;x1puisx2;x0puisx3;x0, chacun des couples encadre la racine. Par la methode de la secante simple, a partir dex0;x1on aurait construitx2, ( le m^eme! ) puis a partir dex1;x2on aurait construit unx03qui n'est pasx3.Exercice IV.15

On considere les deux equations non-lineaires

x

21+ (x21)2= 4; x21x2+ 1 = 0:

Ecrire une etape de la methode de Newton. Prenez un vecteurx(0)et calculez le vecteurx(1). Solution :Donnons d'abord la fonctionfet sa matrice jacobienne f(x) =x21+ (x221)24 x

21x22+ 1Df(x) =2x12(x21)

2x12x2

Alors on peut calculerx(1)en fonction dex(0)de la maniere suivante: Df x(0)

1;x(0)

2 x(1) 1x(0) 1 x(1) 2x(0) 2! =0 B x(0) 1 2+ x(0) 2 21
2 4 x(0) 1 2 x(0) 2 2+ 11 C A7quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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