TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe PDF

Point fixe

Une méthode de calcul efficace pour calculer mimenquement le nombre IT Deux exercices corrigés. 1. IACS 3 1814/10. / soit f: [a

Corrigé de lEXAMEN 1

Donc la méthode est divergente car g/. 3(¯x) = g/. 3(2) > 1. 2. Page 3. c) [3 pts] Donnez un 4`eme algorithme de point fixe (sans en faire l'étude). Réponse:.

Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x.

Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9. Résolution numérique des équations non linéaires. Méthode du point fixe pour la résolution de

Analyse Numérique

point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.2.3 Convergence des ... méthode de Givens et on note M (i µ) le nombre de paires consécutives de ...

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

1(IRn IRn) et que Dϕ(x)(y) = A(x)y

Analyse Numérique - Corrigé du TD 5

Par suite d'apr`es l'exercice 1

Méthodes numériques

1.3.2 Méthode du Point fixe (Approximations successives) 5.5 Corrigés des exercices ...

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de λ pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On

Analyse Numérique - Exercices Corrigés

c'est-à-dire k ≥ 21 itérations sont nécessaires. Exercice 7. 1. On regarde la méthode de Newton comme une méthode de point fixe : x(k

Untitled

5) Deux exercices corrigés. Point fixe fix) = x ou fer une fonction de R dans R. Point fixe ... Une méthode de calcul efficace pour calculer.

Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés . . . . . . . . . . . . . . 82 ... ECKHA 2.3 Méthode de point fixe pour g(x) =.

Analyse Numérique

Corrigé du TD 5. EXERCICE admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. ... Par suite d'apr`es l'exercice 1

Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x.

Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9 Méthode du point fixe pour la résolution de l'équation fpxq “ x. Exercice 2 (dimension ...

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe). Exercice 76 (Calcul différentiel). Suggestions en page 163 corrigé détaillé en page 163. Soit f ? C. 2(IRn

Corrigé de lEXAMEN 1

n + 2xn +2 = g3(xn) a) [3 pts] Montrer que ¯x = 2 est un point fixe pour chacune des méthodes ci-dessus. Réponse: Le ¯x = 2 est un point fixe de g1(x) car.

1 Point fixe et Newton

Étant donnée une fonction non contractante quelconque f : [a b] ? R

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Un corrigé sera distribué plus tard pour les questions théoriques. Question 3 Montrer que la fonction f(x) = x ? cos(x) n'admet qu'un seul et unique zéro sur

EXAMEN 1 - Corrigé

4) Nous ne répondrons à aucune question concernant ces exercices On vous propose d'appliquer 2 méthodes de points fixes

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de ? pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Grenoble INP - Pagora Analyse numérique

1ère année

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

NB : Ne sont corrigés ici que les questions n"ayant pas été traités et corrigés en TP par tous le monde (pour

ces questions, cf. vos notes).

3 Méthode du point fixe

Dans cette section section, nous allons étudier de manière thérique et pratique différentes méthodes permet-

tant de résoudre xcos(x) = 0x2[0;1]

Durant le TP, veuillez passer rapidement les questions théoriques pour vous concentrer sur Scilab. Un corrigé

sera distribué plus tard pour les questions théoriques. Question 3Montrer que la fonctionf(x) =xcos(x)n"admet qu"un seul et unique zéro sur[0;1]. (Pour

aide,00, alors en utilisant lethéorème des

valeurs intermédiaireson a quefadmet au moins un zéro defdans[0;1]. D"autre part,f0(x) = 1sin(x),

fadmet donc le tableau des variations suivant sur[0;1]x f

0(x)f(x)01

11f(1)>0f(1)>0`

0 etfadmet un unique zéro sur l"intervalle[0;1].

3.1 Méthode naïve

On a vu dans le cours qu"une méthode permettant de résoudre de manière numérique était de définir la suite

suivante x0fixé dans[0;1] x n+1=g(xn)g(x) = cos(x)pourx2[0;1]

Question 4Montrer que cette suite converge bien vers`.On a montré prédemment quefadmettait un unique zéro sur[0;1]. Or pour toutn,xn2[0;1], donc pour

montrer que la suite converge bien vers`, il suffit de montrer que la suite(xn)converge. 1

gest une fonction continue et dérivable sur[0;1]etg0(x) = sin(x)est une fonction continue sur[0;1].g0

admet donc un maximum sur[0;1]et comme elle est strictement croissante sur[0;1]

Pour toutxde[0;1] 0g0(x)g0(1)<1

donc par passage au maximum maxx2[0;1]jg0(x)j g0(1)<1

Le maximum dejg0jsur[0;1]est strictement inférieur à1, donc d"après le cours, la suite(xn)converge vers

`unique solution de l"équation`=g(`)sur[0;1](et solution def(`) = 0).

Question 5Montrer que cette méthode est d"ordre1dans ce cas.On ag(`) = 0(par définition) etg0(`) = sin(`)6= 0(car`6= 0sur[0;1]) donc la méthode est d"ordre1.

Question 6Récupérer sur l"intranet le fichierpointfixe.scidéfinissant une certaine fonction.

function [ y ] = pointfixe(x0,n) y = x0 ; for i = 1:n y = ..................... ; end endfunction

Cette fonction prend en entréex0une valeur initiale de la suite etnle nombre d"itérations. La fonction doit

retourneryvalantxn. Compléter le fichier. Le cosinus se calcule parcos()en Scilab. Charger la fonction

dans Scilab et vérifier pour différentes valeurs initiales prises dans[0;1]que la suite converge vers le même

`= cos(`). Que vaut`? (Normalement vous devez trouver`0;7390851332151606722931)Voici le fichier complété

function [ y ] = pointfixe(x0,n) y = x0 ; for i = 1:n y = cos(y) ; end endfunction

Question 7Récupérer sur l"intranet le fichierpointfixeErreur.scidéfinissant une certaine fonction.

function [ err ] = pointfixeErreur(x0) err = 0 ; for i = 1:50 y = pointfixe(x0,i) ; err(i) = .................. ; end endfunction 2

Cette fonction prend en entréex0une valeur initiale de la suite. Compléter le fichier tel queerr(i)vautjeij

l"erreur à l"étapeien valeur absolue ici. La valeur absolue se calcule parabs()en Scilab. Charger la fonction

dans Scilab. Afficher alors l"évolution de l"erreur en tapant directement en ligne les commandes suivantes

--> erreur = pointfixeErreur(0.1) --> plot2d(erreur)

plot2dest une fonction permettant d"afficher graphiquement les résultats. Essayer pour différentes valeurs

initiales prises dans[0;1].On complète le fichierpointfixeErreur.scide la manière suivante function [ err ] = pointfixeErreur(x0) err = 0 ; l = 0.7390851332151606722931 ; // limite de la suite attendue for i = 1:50 y = pointfixe(x0,i) ; err(i) = abs(y - l) ; // ecart en valeur absolue entre x_i et la limite end endfunction

Puis on trace pour quelques valeurs (x0= 0en noir,x0= 0:5en bleu etx0= 1en vert) l"évolution de l"écart

entrexiet la limite attendue.On vérifie bien sur ces exemples la convergence vers la valeur attendue.

Question 8Récupérer sur l"intranet le fichierpointfixeVitesseConvergence.scidéfinissant une certaine

fonction function [ ratio ] = pointfixeVitesseConvergence(x0) err = pointfixeErreur(x0) ; for i = 1:49 ratio(i) = ......................... ; end endfunction 3

Cette fonction prend en entréex0une valeur initiale de la suite. Compléter le fichier tel queratio(i)

vaut

jei+1jjeijle coefficient de réduction asymptotique de l"erreur. Charger la fonction dans Scilab. Afficher

graphiquement les résultats à l"aide de la commandeplot2d. Vérifie t-on que la méthode est d"ordre1?On complète le fichierpointfixeVitesseConvergence.scide la manière suivante

function [ ratio ] = pointfixeVitesseConvergence(x0) err = pointfixeErreur(x0) ; for i = 1:49 ratio(i) = abs(err(i+1)./err(i)) ; // err(i) correspond a abs(l - x_i) end endfunction

Puis on trace pour quelques valeurs (x0= 0en noir,x0= 0:5en bleu etx0= 1en vert) l"évolution du ratio

calculé en fonction du nombre d"itérations de la suite.Les trois courbes tendent vers le même réel strictement positif donc

jei+1jjeijadmet une limite réelle strictement positive, cela confirme bien que la méthode est d"ordre1.

3.2 Méthode de Newton

On a vu rapidement dans le cours la méthode de Newton 8>< :x

0fixé dans[0;1]

x n+1=xnf(xn)f 0(xn) Question 9Que vautg? Montrer que cette méthode est d"ordre2dans ce cas. (Pour info,00(x)=xxcos(x)1 + sin(x) 4 et sa dérivéeg0sur[0;1]vaut g

0(x) = 1(1 + sinx)2(xcosx)cosx(1 + sinx)2=cosx(xcosx)(1 + sinx)2

On vérifie queg0(`) = 0(carl= cos(`)), la méthode de Newton est au moins d"ordre2. Étudions maintenant

00sur[0;1]

00(x) =1(1 + sinx)4(2cosxsinxxsinx)(1 + sinx)22cos2x(xcosx)(1 + sinx)

et g

00(`) =(2cos(`)`)sin(`)(1 + sin(`))2(1 + sin(`))4=(2cos(`)`)sin(`)(1 + sin(`))2=`sin(`)(1 + sin(`))26= 0

La méthode de Newton est donc bien d"ordre2.

Question 10Modifier le fichierpointfixe.sciafin que la suite utilise la méthode de Newton. Charger la

fonction dans Scilab et vérifier pour différentes valeurs initiales prises dans[0;1]que la suite converge vers

le même`= cos(`). Que vaut`? (Normalement vous devez trouver`0;7390851332151606722931)On modifie le fichierpointfixe.scide la manière suivante afin d"utiliser la méthode de Newton.

function [ y ] = pointfixe(x0,n) y = x0 ; for i = 1:n y = y - (y - cos(y))./(1 + sin(y)) ; end endfunction

Question 11Regarder l"évolution de l"erreur en utilisantpointfixeErreur.sciet comparer avec la méthode

naïve.On trace pour quelques valeurs (x0= 0en noir,x0= 0:5en bleu etx0= 1en vert) l"évolution de l"écart

entrexiet la limite attendue.5

On vérifie bien sur ces exemples la convergence vers la valeur attendue. Notons aussi que la méthode de

Newton converge plus rapidement que la méthode naïve.

Question 12Modifier le fichierpointfixeVitesseConvergence.sciafin de vérifier si la méthode de New-

ton est d"ordre2ou non. Les résultats obtenus sont ils conforme aux attentes?Pour vérifier si la méthode de Newton est d"ordre2ou non. Il faudrait tout d"abord vérifier que le ratiojei+1jjeij

tende vers0indépendamment de la valeur initiale choisie puis érifier que le ratiojei+1jjeij2tende vers un réel

strictement positif indépendamment de la valeur initiale. Dans ce second cas, il faudrait modifier le fichier

pointfixeVitesseConvergence.scide la manière suivante function [ ratio ] = pointfixeVitesseConvergence(x0) err = pointfixeErreur(x0) ; for i = 1:49 ratio(i) = abs(err(i+1))./(abs(err(i)).^2) ; // err(i) correspond a abs(l - x_i) end endfunction

Cependant, le programme ne va pas afficher de résultats conforme à ce qu"on attend car très rapidement

i= 0(au bout de2ou3itérations) d"où une division par0pour le calcul du ratio. On ne peut donc pas

vérifier ici que la méthode de Newton est d"ordre2. Néanmoins, on s"en convainquera du fait de la plus

grande rapidité dans la convergence (comparé à celle de la méthode naïve). 6quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Grenoble INP - Pagora Analyse numérique

1ère année

3 Méthode du point fixe

0(x)f(x)01

11f(1)>0f(1)>0`

3.1 Méthode naïve

Pour toutxde[0;1] 0g0(x)g0(1)<1

3.2 Méthode de Newton

0fixé dans[0;1]

0(x) = 1(1 + sinx)2(xcosx)cosx(1 + sinx)2=cosx(xcosx)(1 + sinx)2

00sur[0;1]

00(x) =1(1 + sinx)4(2cosxsinxxsinx)(1 + sinx)22cos2x(xcosx)(1 + sinx)

00(`) =(2cos(`)`)sin(`)(1 + sin(`))2(1 + sin(`))4=(2cos(`)`)sin(`)(1 + sin(`))2=`sin(`)(1 + sin(`))26= 0

La méthode de Newton est donc bien d"ordre2.