Réponses aux exercices du chapitre 2 PDF

Point fixe

Une méthode de calcul efficace pour calculer mimenquement le nombre IT Deux exercices corrigés. 1. IACS 3 1814/10. / soit f: [a

Corrigé de lEXAMEN 1

Donc la méthode est divergente car g/. 3(¯x) = g/. 3(2) > 1. 2. Page 3. c) [3 pts] Donnez un 4`eme algorithme de point fixe (sans en faire l'étude). Réponse:.

Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x.

Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9. Résolution numérique des équations non linéaires. Méthode du point fixe pour la résolution de

Analyse Numérique

point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.2.3 Convergence des ... méthode de Givens et on note M (i µ) le nombre de paires consécutives de ...

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

1(IRn IRn) et que Dϕ(x)(y) = A(x)y

Analyse Numérique - Corrigé du TD 5

Par suite d'apr`es l'exercice 1

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Un corrigé sera distribué plus tard pour les questions théoriques. Question 3 Montrer que la fonction f(x) = x − cos(x) n'admet qu'un seul et unique zéro sur

Méthodes numériques

1.3.2 Méthode du Point fixe (Approximations successives) 5.5 Corrigés des exercices ...

Analyse Numérique - Exercices Corrigés

c'est-à-dire k ≥ 21 itérations sont nécessaires. Exercice 7. 1. On regarde la méthode de Newton comme une méthode de point fixe : x(k

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5) Deux exercices corrigés. Point fixe fix) = x ou fer une fonction de R dans R. Point fixe ... Une méthode de calcul efficace pour calculer.

Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés . . . . . . . . . . . . . . 82 ... ECKHA 2.3 Méthode de point fixe pour g(x) =.

Analyse Numérique

Corrigé du TD 5. EXERCICE admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. ... Par suite d'apr`es l'exercice 1

Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x.

Analyse numérique - TD4 & TD5 - Corrigé des exercices 2-4-5-7-8-9 Méthode du point fixe pour la résolution de l'équation fpxq “ x. Exercice 2 (dimension ...

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe)

2.2.5 Exercices (méthodes de point fixe). Exercice 76 (Calcul différentiel). Suggestions en page 163 corrigé détaillé en page 163. Soit f ? C. 2(IRn

Corrigé de lEXAMEN 1

n + 2xn +2 = g3(xn) a) [3 pts] Montrer que ¯x = 2 est un point fixe pour chacune des méthodes ci-dessus. Réponse: Le ¯x = 2 est un point fixe de g1(x) car.

1 Point fixe et Newton

Étant donnée une fonction non contractante quelconque f : [a b] ? R

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Un corrigé sera distribué plus tard pour les questions théoriques. Question 3 Montrer que la fonction f(x) = x ? cos(x) n'admet qu'un seul et unique zéro sur

EXAMEN 1 - Corrigé

4) Nous ne répondrons à aucune question concernant ces exercices On vous propose d'appliquer 2 méthodes de points fixes

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de ? pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On

Réponses aux exercices du chapitre 2

Numéro 5. On considère l"équation :

e x(x+ 5) = 0 (2:31) a) Déterm inerle nom breet la p ositionappro ximativedes solutions p ositivesde l"équation 2.31. b) Utiliser l"algorithme de la bissection p ourdéterminer c hacunede ces racines a vecune erreur absolue inférieure à107. c) Déterminer com biend"itérations de la métho dede la bi ssectionseraien tnécessaires pour calculer la racine la plus proche de1avec une précision de109, en partant de l"intervalle[0;2].Ne pas faire les itérations.

Solution

a) Si f(x)désigne le membre de gauche,f0(x) =ex1est positive pourx >0et doncf est strictement croissante surR+. Par conséquent,fne croise l"axe desxqu"une seule fois. Puisquef(0) =4etf(2) = 0,38, il y a une seule racine entrex= 0etx= 2. b) En utilisan tle programme bissect.m de la banque de programme matlab, on obtien t x= 1,9368473291enn= 23itérations à partir de l"intervalle[0;2].

Fonction :

f=exp(x)-(x+5);

Arguments initiaux :

Nombre maximal d"iterations : nmax = 35

Critere d"arret : epsilon = 1.000000E-07

Intervalle initial : [x_1,x_2] = [0.000000E+00, 2.000000E+00]

Iter. x_1 x_2 x_m f(x_m)

0 0.000000E+00 2.000000E+00 1.000000E+00 -3.2817E+00

1 1.000000E+00 2.000000E+00 1.500000E+00 -2.0183E+00

2 1.500000E+00 2.000000E+00 1.750000E+00 -9.9540E-01

3 1.750000E+00 2.000000E+00 1.875000E+00 -3.5418E-01

4 1.875000E+00 2.000000E+00 1.937500E+00 3.8758E-03

5 1.875000E+00 1.937500E+00 1.906250E+00 -1.7844E-01

6 1.906250E+00 1.937500E+00 1.921875E+00 -8.8115E-02

7 1.921875E+00 1.937500E+00 1.929688E+00 -4.2330E-02

8 1.929688E+00 1.937500E+00 1.933594E+00 -1.9280E-02

9 1.933594E+00 1.937500E+00 1.935547E+00 -7.7152E-03

10 1.935547E+00 1.937500E+00 1.936523E+00 -1.9230E-03

11 1.936523E+00 1.937500E+00 1.937012E+00 9.7559E-04

12 1.936523E+00 1.937012E+00 1.936768E+00 -4.7391E-04

13 1.936768E+00 1.937012E+00 1.936890E+00 2.5079E-04

14 1.936768E+00 1.936890E+00 1.936829E+00 -1.1158E-04

15 1.936829E+00 1.936890E+00 1.936859E+00 6.9602E-05

16 1.936829E+00 1.936859E+00 1.936844E+00 -2.0988E-05

17 1.936844E+00 1.936859E+00 1.936852E+00 2.4307E-05

18 1.936844E+00 1.936852E+00 1.936848E+00 1.6596E-06

19 1.936844E+00 1.936848E+00 1.936846E+00 -9.6640E-06

20 1.936846E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -4.0022E-06

21 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -1.1713E-06

22 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 2.4418E-07

23 1.936847E+00 1.936847E+00 1.936847E+00 -4.6355E-07

Approximation finale de la racine: r = 1.9368473291E+00 c) L"in tervalleinitial a p ourlongueur L= 2. De la relation (2.3), on veut donc le plus petitntel quen >lnLrln2 = 27,57et on prendn= 28. 2 Numéro 13. On chercher à résoudre l"équation : e x3x2= 0 qui possède les deux racinesr1=0,4589623etr2= 0,91ainsi qu"une troisième racine située près de4. On vous propose les méthodes des points fixes suivantes pour obtenirr1.

1)x=g1(x) =re

2)x=g2(x) =ex3x23,385712869x3,385712869

3)x=g2(x) =ex3x23,76189x3,76189

a) L esquelles,parmi ces trois métho desdes p ointsfixes, son tsusceptibles de con verger versr1? (Ne pas faire les itérations.) b) Déterminer celle qui pro duitune c onvergencequadratique v ersr1. c) La métho dede la bissection con vergera-t-ellev ersl"une des racines si l"on prend [1;0] comme intervalle de départ? d) Utiliser la m éthodede Newton p ourdéterminer la troisième racine a vec4 c hiffres significatifs. Quel est l"ordre de convergence de cette méthode?

Solution

On évalue premièrement les différents algorithmes à la lueur de l"équation (2.9) et de la

discussion qui la suit.

1)g1(x) =re

x3 =ex=2p3 )g01(x) =ex=22 p3 Puisqueg01(r1) =0,22948) jg01(r1)j<1), l"algorithme des points fixes convergera

à l"ordre 1.

2)g2(x) =(ex3x23,385712869x)3,385712869

02(x) =(ex6x3,385712869)3,385712869

Puisque)g02(r1)0), on aura convergence (au moins) quadratique.

3)g3(x) =(ex3x23,76189x)3,76189

03(x) =(ex6x3,76189)3,76189=0,0999968

3 Puisque) jg03(r1)j<1), l"algorithme converge à l"ordre 1! a) L estrois métho desco nvergerontsi on a un b onestimé initial car jg0i(r1)j<1etr1est attractif pour les trois fonctionsgi(x). b) La 2ième nous assu reune con vergenceau moins quadratique car jg02(r1)j= 0. c)N.B.: On travaille ici avecf(x) =ex3x2et non avecg(x). Or, on a : f(1) =2,6321etf(0) = 10 = 1et comme il y a un changement de signe, la méthode de la bissection convergera. d)

On obtien t:

Methode de Newton

Fonctions :

exp(x)-3*x*x exp(x)-6*x

Arguments initiaux :

Nombre maximal d"iterations : nmax = 10

Critere d"arret : epsilon = 5.000000E-04

Estimation initiale : x_0 = 4.000000E+00

Iter. x_i f(x_i)

0 4.0000000000E+00 6.598150E+00

1 3.7843611452E+00 1.043379E+00

2 3.7353793751E+00 4.474262E-02

3 3.7330838979E+00 9.450832E-05

4 3.7330790287E+00 4.244995E-10

Approximation finale de la racine: r = 3.7330790287E+00 La convergence est quadratique et la troisième racine est3,733. 4 Numéro 17. On cherche à résoudre l"équation : x

22 = 0

(dont la solution estp2) au moyen de la méthode des points fixes : x n+1=g(xn) =xn(x2n2) oùest une constante. a) P ourquelles v aleursde cette méthode des points fixes est-elle convergente à l"ordre

1 (au moins)?

Quel est l"ordre de con vergencep our=p2

4 c)quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Réponses aux exercices du chapitre 2

Réponses aux exercices du chapitre 2

Numéro 5. On considère l"équation :

Solution

Fonction :

Arguments initiaux :

Nombre maximal d"iterations : nmax = 35

Critere d"arret : epsilon = 1.000000E-07

Iter. x_1 x_2 x_m f(x_m)

0 0.000000E+00 2.000000E+00 1.000000E+00 -3.2817E+00

1 1.000000E+00 2.000000E+00 1.500000E+00 -2.0183E+00

2 1.500000E+00 2.000000E+00 1.750000E+00 -9.9540E-01

3 1.750000E+00 2.000000E+00 1.875000E+00 -3.5418E-01

4 1.875000E+00 2.000000E+00 1.937500E+00 3.8758E-03

5 1.875000E+00 1.937500E+00 1.906250E+00 -1.7844E-01

6 1.906250E+00 1.937500E+00 1.921875E+00 -8.8115E-02

7 1.921875E+00 1.937500E+00 1.929688E+00 -4.2330E-02

8 1.929688E+00 1.937500E+00 1.933594E+00 -1.9280E-02

9 1.933594E+00 1.937500E+00 1.935547E+00 -7.7152E-03

10 1.935547E+00 1.937500E+00 1.936523E+00 -1.9230E-03

11 1.936523E+00 1.937500E+00 1.937012E+00 9.7559E-04

12 1.936523E+00 1.937012E+00 1.936768E+00 -4.7391E-04

13 1.936768E+00 1.937012E+00 1.936890E+00 2.5079E-04

14 1.936768E+00 1.936890E+00 1.936829E+00 -1.1158E-04

15 1.936829E+00 1.936890E+00 1.936859E+00 6.9602E-05

16 1.936829E+00 1.936859E+00 1.936844E+00 -2.0988E-05

17 1.936844E+00 1.936859E+00 1.936852E+00 2.4307E-05

18 1.936844E+00 1.936852E+00 1.936848E+00 1.6596E-06

19 1.936844E+00 1.936848E+00 1.936846E+00 -9.6640E-06

20 1.936846E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -4.0022E-06

21 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -1.1713E-06

22 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 2.4418E-07

23 1.936847E+00 1.936847E+00 1.936847E+00 -4.6355E-07

1)x=g1(x) =re

2)x=g2(x) =ex3x23,385712869x3,385712869

3)x=g2(x) =ex3x23,76189x3,76189

Solution

1)g1(x) =re

à l"ordre 1.

2)g2(x) =(ex3x23,385712869x)3,385712869

02(x) =(ex6x3,385712869)3,385712869

3)g3(x) =(ex3x23,76189x)3,76189

03(x) =(ex6x3,76189)3,76189=0,0999968

On obtien t:

Methode de Newton

Fonctions :

Arguments initiaux :

Nombre maximal d"iterations : nmax = 10

Critere d"arret : epsilon = 5.000000E-04

Estimation initiale : x_0 = 4.000000E+00

Iter. x_i f(x_i)

0 4.0000000000E+00 6.598150E+00

1 3.7843611452E+00 1.043379E+00

2 3.7353793751E+00 4.474262E-02

3 3.7330838979E+00 9.450832E-05

4 3.7330790287E+00 4.244995E-10

22 = 0

1 (au moins)?

Quel est l"ordre de con vergencep our=p2