[PDF] Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles

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Ift24211 Chapitre 6Ift 2421

Chapitre 6

Résolution

des équations différentielles:

Conditions initiales

Ift24212 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentielles

Rappels:

2 grandes classes:

1. Les équations différentielles ordinaires:

une seule variable.

2. Les équations aux dérivées partielles:

plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...) Ordre d'une équation différentielle : dérivée la plus élevée. Équation différentielle linéaire :émission radioactive : dRtdtRt()()=-l Équation différentielle non linéaire :Variation de population : dNtdtaNtbNt()()().=-17

Convection : dutdtkutT()(())=--5

4 nécessite des conditions initiales. Ift24213 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentielles

Exemple du pendule :

Équation différentielle non linéaire

du second ordre.

Impossible de trouver une solution analytique.

Pour de petit mouvements :

Sin()qq»

Équation du pendule:

t: temps q: Position angulaired dtg LSin 2 2

0qq+=()

Conditions initiales usuelles:qq

qq() ()t t00 00= =¢qqL Ift24214 Chapitre 6Méthode des séries de Taylor

Ordre 1:¢=ytftyt()(,())

yty()00=

Développement de Taylor au voisinage de

ttjhj=+0

426()()()()

426(,)(,)(,)()

Remarques:1. L'ordre local est en h

4.

2. Pas d'estimée de l'erreur.

3. Les dérivées de la fonction f(t,y(t)) se font:df

dtftyf tf yyf tf

4. Si l'ordre local est en hn , l'ordre global sera en hn-1.

Ift24215 Chapitre 6Exemple:

Appliquer la méthode de Taylor avec un pas h = 0.1 et un ordre local en h3 pour:

¢==-ytftyttyt()(,())()2

yty()001==

Solution analytique: ytt()=+222

Le pas est h = 0.1, nous allons calculer les valeurs de y(t)pour t = 0, t = 0.1, t = 0.2, ..., etc.

Si nous utilisons un ordre local en h

3, nous avons:yyhythytOhjjjj+=+¢+¢¢+12

32()()()

Exprimons ¢¢yt()

or

¢==-ytftyttyt()(,())()2

donc

¢¢=-+--ytyttyttyt()()()()(())222

¢¢=-+ytyttyt()()()2232

Ift24216 Chapitre 6La formule de Taylor d'ordre local h

3 devient alors:yyhtythyttytOhjjjjjjj+=+-+-++122

223322(())(()())()

pour tth10=+ yyhtytyttyto1002 02 2 023

00122=-+-+().(()())

y

1100050995=-=..

Valeur exacte: y(.)......012

2012

2010995024872=+=»

pour tth202=+ yyhtythyttyt2112 12 2 1123

122=-+-+()(()())y

222
y

209802486=....

Valeur exacte: y(.)......0222022

20409803921562=+=»

pour tth303=+ Etc.

Ordre global h2.

Ift24217 Chapitre 6Méthode d'Euler (ordinaire)

Ordre 1:¢=ytftyt()(,())

yty()00=

Méthode d'Euler = Méthode de Taylor

d'ordre local en h2.

Ordre global en h.

yyhytOhjjj+=+¢+12()() yyhftytOhjjjj+=++12(,())()

Interprétation géométrique:x

0x 0+hxy

Solution

analytiquey 0y 1 Ift24218 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale Y n = Valeur calculée en xn. y n = Valeur exacte en xn. eyYnnn=- = erreur en Yn; Yyennn=+

Avec la méthode d'Euler, nous avons:

YYhftYnnnn+=+1

En utilisant les séries de Taylor:yyhftyhynnnnn+=++¢¢122(,)()x avec xxhnnn££+x[]eyYyYhfxyfxYhynnnnnnnnnn+++=-=-+-+¢¢11122(,)(,)()xeehfxyfxY

yYyYhynnnnnn nnnnn+=+-

ûú-+¢¢12

2(,)(,)

()()()xeehfxehynnynnnn+=++¢¢122(,)()hx avec hnnnentreyetYehKehynnn+£++¢¢12

12()()x

Ift24219 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale (suite) e 00= ehKehyhy102 0 2 0121
02 1 2 0111
221

21£+¢¢é

[]ehhKyhKyy322 []ehhKyhKyynnn n£+¢¢++¢¢++¢¢-- -1211121 02

11()()()()()xxxK

[]ehMhKhKnnn£+++++--12111212()()K

Sachant que :1

1121++++=-

sssssn n K

Nous obtenons :ehMhK

hKnn +-1 211
112
() Û e hMKhK hMKn

10+<>hKeKhK()

()()e hMKe hMKhM Ke hMKeOhnhKnnhKxxKn£-=-=-=-222121

0()()()

Ift242110 Chapitre 6Méthode d'Euler modifiée

Taylor d'ordre local en h

3 :yyhftyhftyOhjjjjjj+=++¢+12

32(,)(,)()

Différence avant pour évaluer f' :¢

ftyftyftyhOhjjjjjj (,)(,)(,)()11 Formule d'Euler modifiée :[]yyhftyftyOhjjjjjj+++=+++11132(,)(,)() []yyhyyOhjjjj++=+¢+¢+1132()x 0x 0+hxy

Solution

analytiquey 0y 1

Ift242111 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire

Algorithme

y

0 donné

yyhftytjjjj+=+1

Une seule étape de calcul

Ordre global en h.Méthode d'Euler modifiée

Algorithme

y

0 donné~(,())yyhftytjjjj+=+1[]yyhftyftyjjjjjj+++=++1112(,)(,~)

Deux étapes de calcul:

1. la prédiction.

2. La correction.

Ordre global en h

2.

Méthode d'Euler ordinairePour résoudre:

=-yttyt()()2y()01= t jyjerreur0.11.0000-5.0 10-30.20.9900-9.6 10-3

0.30.9704-1.3 10-2

0.40.94215-1.6 10-2Méthode d'Euler modifié

Pour résoudre:

=-yttyt()()2y()01= t jyj prédityj corrigéerreur0.11.0000000.9950002.5 10-50.20.9851000.9803464.6 10-5

0.30.9611240.9568786.0 10-5

0.40.9294100.9258686.0 10-5

0.50.8915790.8888513.8 10-5

0.60.8474580.8474585.2 10-8Note: L'étape de correction peut être répétée 2 à 3 fois, au delà,

il est préférable de réduite h. Ift242112 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire¢ =-yttyt()()2y()01= h =0.5 t jyj010.51

1.0.75

1.50.46875

2.0.303955

2.50.211566

3.0.155616

3.50.119291

Méthode d'Euler Modifié

h =0.5 t jyj010.50.875

1.0.662472

1.50.479149

2.0.345942

2.50.254107

3.0.191201

3.50.147512

4.0.1164970.511.522.533.5400.20.40.60.81

Ift242113 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta

Développement à l'ordre 2

y

0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21=++(,)ab

yyakbknn+=++112Trouver les valeurs de : a, b, a et b.Développement de Taylor :yyhfxyhfxyOhnnnnnn+=++¢+12

32(,)(,)()

or¢=+¢ =+fxyffy fffnnxyn xyn(,)() ()yyhfxyhfffOhnnnnxyn+=++++12

32(,)()()(1)

Algorithme de Runge Kutta d22ordre 2 :

yyahfxybhfxhyhfxynnnnnnnn+=++++1 (,)(,(,))ab

Développons au premier ordre :

Ift242114 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta : développement à l'ordre 2 y

0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21=++(,)ab

yyakbknn+=++112Trouver les valeurs de : a, b, a et b.yyhfxyhfffOhnnnnxyn+=++++12

En forçant (1) = (2), nous avons :ab

b b+= =1 1 2 12a bOrdre local en h 3

Ordre global en h

2.

Choix Courants :abet=®===121

21ab ® Type I : Euler modifiéabet=®===0112ab ® Type IIabet=®===231

33

2ab ® Type III

Ift242115 Chapitre 6Méthode de Runge Kutta d'ordre global 2

Le plus courant :

y

0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21323

2=++(,)yykkOhnn+=+++1123231

3()Méthode de Runge Kutta d'ordre global 4

Le plus courant :

y

0 donnékhfxynn1=(,)khfxhyknn21121

2=++(,)khfxhyknn32121

31
31
6() Ift242116 Chapitre 6Les méthodes de Runge Kutta sont très efficaces car :

1. Elles suivent de près la

solution analytique.

2. Avec une valeur du pas

relativement élevé.

3. Moins coûteux que les

autres méthodes pour un

O(hn) donné.Pas encore d'approximation

de l'erreur commise.

Nécessité de choisir le pas en

fonction de l'erreur maximale recherchée.

Solution : calculer avec un

pas égal à h, h/2, ...

Jusqu'à la stabilité de la

solution.

Coût élevé !

Les méthodes qui ajustent le

pas sont dites méthodes à pas adaptatif.

Méthode de RungeKutta d'ordre global h

4 : =-yttyt()()2y()01= h =0.1 t jyjyj Réel0110.10.99502490.9950249

0.20.98039220.9803922

0.30.95693770.9569378

0.40.92592580.92592590.511.5h=1.0

2.533.5400.20.40.60.81

2

0.511.522.533.5400.20.40.60.81h=0.5

Ift242117 Chapitre 6Algorithme de Runge Kutta Merson d'ordre global 4 avec estimé de l'erreur. y

0 donné khfxynn1=(,)khfxhyknn21131

3=++(,) khfxhykknn312131

61

6=+++(,)khfxhykknn413121

83

8=+++(,) khfxhykkknn5134123

22=++-+(,)yykkkOhnn+=++++11455162

31

6()Ekkkk»-+-é

ûú1

153
104
151

301345Algorithme de Runge Kutta Fehlberg

d'ordre global 5 avec estimé de l'erreur. y

0 donné khfxynn1=(,)khfxhyknn211

41

4=++(,) khfxhykknn3123

83
329

32=+++(,)khfxhykkknn412312

131932

21977200

21977296

2197=++++(,)khfxhykkkknn51234439

21683680

513845

4104=++-+-(,)khfxhykkkkknn6123451

28

2723544

25651859

410411

40=+-+-+-(,)yykkkkOhnn+=+++++11345625

2161408

25652
31

6()Ekkkkk»--++é

ûú1

360128

42752197

752401

502

5513456

Ift242118 Chapitre 6Exemple : Algorithme de Runge Kutta Fehlberg d'ordre global 5 avec estimé de l'erreur. =-yttyt()()2y()01= h =0.1 t jyjErreur010.00.10.950257.47241 10-8

0.20.9803921.97673 10-7

0.30.9569382.75904 10-7

0.40.9259262.98256 10-7

0.50.8888892.69385 10-7

0.60.8474572.01399 10-7y

6 = 0.847457Méthode efficace et populaire

avec contrôle de l'erreur.

Ift242119 Chapitre 6Méthodes à pas unique

utilisent seulement le pas précédent : y net¢y n

Exemples :

Méthodes de Taylor et de

Runge Kutta.Méthodes à pas multiples

(multistep methods) utilisent plusieurs pas précédents : yquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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