Calcul du PGCD de deux nombres entiers par la méthode des
La méthode mathématique des soustractions successives: On appelle x et y deux nombres entiers. On soustrait les deux nombres (le plus grand – le plus petit)
Méthode des soustractions successives : preuve et application La
démonstration : Soient a et b deux nombres entiers. Soit u un diviseur commun de a et b. Alors il existe un nombre entier k tel que k x u = a (car u divise
1. PGCD 2. Division par soustractions successives
Dire quels sont les avantages et les inconvénients de chacune des méthodes. 3. Multiplication. Écrire l'algorithme de la multiplication alexandrine (d'Hypatique)
PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE I) Définitions : 1) Multiple et
2) Méthodes de calcul du PGCD: A) Méthode des soustractions successives : Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ? b .
Q2 – PGCD (méthode) Lalgorithme des différences 285 ? 114
Pour déterminer le PGCD il y a deux méthodes : 1) L'algorithme des différences ou soustractions successives. 2) L'algorithme d'Euclide.
Number Systems
base 10 vers une base X. • Conversion d'un nombre entier. – Méthode des divisions successives. – Méthode des soustractions successives
Chapitre 1 : Systèmes de Numération et Codage des Nombres
En utilisant la méthode des soustractions successives convertir le nombre décimal (230) en binaire : 10. Le résultat est donc : (230) = (11100110).
Conversion entre bases Conversion dun entier. Méthode par
Pour passer d'un nombre en base 10 à un nombre en base b on peut utiliser deux méthodes : 1. Méthode par soustraction ;. 2. Méthode par multiplication.
Les boucles 1 Exercice 1
Probl`eme posé par la version utilisant la boucle Repeter : cas a = 0. 2. une division par soustractions successives. Diviser (a:entier b:entier). VAR quotient
PGCD et Fractions
Quelles sont les méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres entiers positifs ? On peut appliquer la méthode des soustractions successives.
PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE
I) Définitions :
1) Multiple et diviseur :
Soit a et b deux nombres entiers naturels, tels que ൩ ¡ ª ou = k avec b non nul où k est un nombre entier naturelOn dit que
a est un multiple de b b est un diviseur de aRemarque :
a est aussi un multiple de k . Si l"entier naturel k est non nul, c"est aussi un diviseur de a.Exemple :
143 est-il un multiple de 11 ?
143 : 11 = 13
Donc 143 est un multiple de 11 ( et aussi de 13).11 et 13 sont des diviseurs de 143.
362 est-il divisible par 16 ?
362 : 16 = 22,625 22,625 n"est pas un nombre entier
donc 16 n"est pas un diviseur de 362. 362 n"est pas un multiple de 16.Rappel : Critères de divisibilité
Nombre divisible par 2 :
Nombre divisible par 3 :
Nombre divisible par 5 :
Nombre divisible par 9 :
2Remarques :
0 est un multiple de tout nombre entier naturel b car
0b0´=.
Tout nombre entier naturel non nul a une infinité de multiples. Multiples de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 ........0 a un seul multiple : 0
2) Division euclidienne :
Effectuer la division euclidienne de a par b, c"est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que a = b × q + r avec r < b. q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne. a b r qExemple : diviseur reste
217 31 72 Donc
1723217+´=
dividende quotientRemarques :
Si r = 0, b est un diviseur de a.
Si le reste est aussi strictement inférieur au quotient, on peut intervertir le quotient et le diviseur. Déterminer le quotient et le reste de la division de 89 par 7.II) PGCD :
1) Définition:
Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Commun Diviseur.Exemple :
Recherchons les diviseurs de 42 et 150
Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21,42
Diviseurs de 150 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 Les diviseurs communs à 42 et 150 sont : 1, 2, 3, 6Le PGCD de 42 et 150 est donc 6.
3Remarques:
Soit a un nombre relatif, le PGCD (a ; a) est a. Soit a et b deux nombres entiers naturels, si b divise a alors le PGCD (a ; b) est b.PGCD (143;13) = 13 car
1113143´=
2) Méthodes de calcul du PGCD:
A) Méthode des soustractions successives :
Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ≥ b ,PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a - b)
Déterminons le PGCD de 255 et 153
255 > 153 donc PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 255 -153)
PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 102)
Recommençons le procédé
153 > 102 donc PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 153 -102)
PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 51)
Recommençons le procédé
102 > 51 donc PGCD (102 ; 51) = PGCD (51 ; 102 -51)
PGCD (102 ; 51) = PGCD (51 ; 51)
Recommençons le procédé
PGCD (51 ; 51) = PGCD (51 ; 51 -51)
PGCD (51 ; 51) = PGCD (51 ; 0)
Or le PGCD (51 ; 0) = 51 donc le PGCD (255 ; 153) est 51 Le PGCD est le dernier nombre différent de zéro dans la suite des soustractions successives. 4Exemple :
Calculer le PGCD de 210 et de 91 par la méthode des soustractions successives.B) Méthode des divisions successives :
Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
où r est le reste de la division euclidienne de a par b .Justification :
Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,Soit k le PGCD de a et de b
"a×k=a et "b×k=b avec aet b nombres entiers positifs Effectuons la division euclidienne de a par b, r+q×b=a avec r et q nombres entiers positifs tels que b > r et r ≥ 0 r+q× "b×k="a×k q "bk "akr´´-´= )q "b "a( kr´-= Or r ≥ 0 et k > 0 donc positifentier nombreun est q "b "a´- et par conséquent, k divise r.Raisonnons par l"absurde ,
supposons qu"il existe un nombre K, diviseur de r et de b tel que K > k uKr´= et vKb´= avec uet v nombres entiers positifs Or r+q×b=a uK vKba´+´´= )uvb( Ka+´= a. diviseK donc positifentier nombreun est uvb+´ K divise b, K divise a, et K > k . Ceci contredit le fait que k soit le PGCD de a et de b. Donc K n"existe pas et k est bien le PGCD de b et de r. 5Déterminons le PGCD de 735 et 84
735 > 84 , effectuons donc la division euclidienne de 735 par 84
735 84
63 8donc PGCD (735 ; 84) = PGCD (84 ; 63)
Recommençons le procédé
84 6321 1
donc PGCD (84 ; 63) = PGCD (63 ; 21) 63 21
0 3 donc PGCD (63 ; 21) = PGCD (21 ; 0) = 21
En conclusion le PGCD (735 ; 84) est 21.
Le PGCD est le dernier reste non nul dans la suite des divisions successives.Exemple :
Calculer le PGCD de 144 et de 684 par la méthode des divisions successives.C) Comparaison des deux méthodes :
Activité
6III) Nombres premiers entre eux :
Définition:
Deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.Exemples:
a) Les nombres 212 et 63 sont-ils premiers entre eux ? b) Les nombres 266 et 112 sont-ils premiers entre eux ?IV) Fraction irréductible :
1) Définition:
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.Exemples:
Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? si non, les rendre irréductibles. a) 914 b) 15
352) Méthodes pour rendre une fraction irréductible:
a) Première méthode :Rendons la fraction
5442 irréductible.
On recherche un diviseur commun de 42 et 54 : 2
2721
2:54 2:42 54
42==
On recherche un diviseur commun de 21 et 27 : 3
9 7 3:27 3:21 2721==
Donc 9 7 54
42= .
7 b) Deuxième méthode :
Rendons la fraction
126270 irréductible.
On recherche le PGCD de 270 et 126. On obtient 18. 7 1518:126
18:270
126270==
Exemples:
Rendre les fractions suivantes irréductibles.
a) 72240 b) 207
108 c) 27
92V) Opérations sur les fractions :
1) Rappels sur les opérations sur les fractions:
Schéma
2) Exemple:
Calculer les expressions suivantes et mettre le résultat sous la forme d"une fraction irréductible. 2 9 311A-= 6
7: 4 9 2 5 73B-´=
((-´-=21 582312C
3 13 8 561
43
D 8
Correction :
2854
28
30
28
54
214
215
28
54
14 15 74
69
14 15 7 6 4 9 27
53
6 7: 4 9 2 5 7 7 6 4:28 4:24 28
24B-=-=-=
10112312105
101623125251
2528231221
582312C´-=)
20 20720 33
20 240
20 33
20 2012
20 3312
102
11312
10 11 2
312C=-=-´=-=´´-=´-=
11914119121227
11924127
24
119127
24104
24
15122
129
83
813
38
352621
34333 13 8 561
43
D=´´´=´==
17 2 7:1197:14D==
6 5 6 276 22
32
39
23
211
2 9 3
11A-=-=´´-´´=-=
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