[PDF] Mathématiques pour la Physique.

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BAHRAM HOUCHMANDZADEH

MATHÉMATIQUES

POUR LA PHYSIQUE.

Université Grenoble-Alpes

Départment de PhysiqueAucun droit réservé. Chaque partie de ce manuscrit peut être re- produite, modifiée ou transmise sans l"autorisation de l"auteur. Tout commentaire, critique ou correction sera grandement apprécié.

Remerciements.

Je remercie sincérement Youssef Ben Miled et Mathias Legrand pour leur lecture attentive du manuscrit et leur très (très) nom- breuses corrections et suggestions. Grace à leurs efforts, ce manuscrit a un aspect beaucoup plus présentable. web : www-liphy.ujf-grenoble.fr/pagesperso/bahram/Math/math.htm B: bahram.houchmandzadeh (à) univ-grenoble-alpes.fr

Première version : Septembre2008

Version présente : August25,2020

Table des matières

1Introduction9

2Éléments d"analyse fonctionnelle.13

2.1Les espaces vectoriels.13

2.2L"espace vectoriel des fonctions.17

3Les séries de Fourier.23

3.1Introduction.23

3.2Les séries de Fourier.24

3.3Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes?27

3.4Un peu de généralisation.29

3.5Les séries de sinus et de cosinus.29

3.6Dérivation terme à terme des séries de Fourier.31

3.7Vibration d"une corde.32

3.8Équation de la chaleur.34

3.9Les séries de Fourier discrètes.36

3.10Problèmes avancés.38

4Les transformations de Fourier.45

4.1Entrée en matière.45

4.2Les opérations sur les TF.47

4.3Transformée de Fourier Rapide.48

4.4Manipulation et utilisation des TF.48

4.5Relation entre les séries et les transformés de Fourier.52

4.6Approfondissement : TF à plusieurs dimensions.53

TABLE DES MATIÈRES4

5Les distributions.55

5.1Ce qu"il faut savoir.55

5.2Un peu de décence.58

5.3Manipulation et utilisation des distributions.60

5.4Les distributions et les conditions initiales des équations différentielles.63

5.5Exercices .65

5.6Problèmes.66

6Convolution et corrélation.69

6.1Les convolutions.69

6.2Auto-corrélation.72

6.3Relation entre l"équation de diffusion et les convolutions.73

6.4La méthode de Langevin et les équations différentielles stochastiques.74

6.5Problèmes avancés.75

6.6Exercices.77

6.7Problèmes.78

7Les transformées de Laplace.81

7.1Entrée en matière.81

7.2Opérations sur les TL.82

7.3Décomposition en fraction simple.84

7.4Comportement asymptotique.86

7.5Produit de Convolution.88

7.6Aperçu des équations intégrales.89

7.7Aperçu des systèmes de contrôle asservis (feedback systems).89

7.8La physique statistique.91

7.9TL inverse.92

8Les fonctions de Green.99

8.1Entrée en matière99

8.2Généralisation.101

8.3Le potentiel électrostatique.102

8.4La propagation des ondes104

8.5Disposer d"une base propre.105

5TABLE DES MATIÈRES

9Calcul des perturbations.107

9.1Les perturbations régulières.107

9.2Les perturbations singulières.111

10Les opérateurs linéaires.119

10.1Introduction119

10.2L"algèbre des opérateurs.121

10.3Représentation matricielle des opérateurs.125

10.4Valeurs et vecteurs propres.128

10.5Disposer d"une base propre orthogonale.129

10.6Opérateurs hermitiens.131

10.7Méthodes opératorielles, algèbre de Lie.132

11Le calcul variationnel139

11.1Introduction.139

11.2Calcul des variations.140

11.3Plusieurs degrés de libertés.144

11.4Formulation lagrangienne et équation du mouvement d"un champ.147

11.5Optimisation sous contraintes.149

11.6Les conditions aux bords "naturelles"1.154

11.7Les conditions aux bords naturelles2.156

11.8Détour : éléments de géométries non-euclidiennes.157

12Les systèmes de Sturm-Liouville.163

12.1Introduction.163

12.2Reformulation opératorielle.166

12.3Détour : la mécanique quantique ou pourquoi les valeurs propres ont pris tant d"impor-

tance.170

12.4Les systèmes de Sturm-Liouville.171

12.5Les solutions polynomiales de Sturm-Liouville.173

12.6Valeurs et fonctions propres.175

12.7La seconde solution : Le Wronskien.176

12.8Les solutions non-polynomiales.177

12.9Exercices.177

TABLE DES MATIÈRES6

13Les opérateurs différentiels.179

13.1Métrique et Système de coordonnées.179

13.2Nabla, div et les autres.180

13.3Le gradient.181

13.4Champ de vecteurs.182

13.5Le rotationnel.183

13.6La divergence.185

13.7Le Laplacien.186

13.8Résumons.188

13.9Notes.189

14Les Transformées de Legendre.191

14.1Définitions.191

14.2Application à travers la physique.197

15Les tenseurs en physique.207

15.1Les tenseurs de rang2.207

15.2Généralisation des tenseurs.212

15.3Les composantes d"un tenseur.213

15.4Changement de base.214

15.5Le produit scalaire généralisé, covariant et contravariant, les formes linéaires.216

16Équation à dérivée partielle du premier ordre.219

16.1La méthode des caractéristiques.219

16.2Interprétation géométrique.222

16.3Généralisation.224

17Les formes différentielles et la dérivation extérieure.227

17.1Introduction.227

17.2Les1formes.228

17.3Intégration des1-formes.229

17.4les nformes et les nvecteurs.230

17.5L"intégration des kformes.230

17.6La dérivation extérieure.232

7TABLE DES MATIÈRES

17.7théorème de Stockes.237

17.8Intégration par partie.238

17.9Un peu de géométrie : vecteurs,1-formes et leurs associations.238

17.10L"opérateur de Hodge.245

17.11Quelques applications.247

18Théorie des fonctions analytiquess.251

18.1Introduction.251

18.2Les fonctions complexes.252

18.3Les fonctions analytiques.252

18.4Intégration dans le plan complexe.253

18.5Conséquences du Cauchy-Goursat.256

18.6Les résidus et leur application à l"intégration.259

19Évaluation Asymptotique des intégrales.267

19.1Introduction.267

19.2La méthode de Laplace.267

19.3Les intégrales de type Fourier : la méthode de la phase stationnaire.269

19.4La méthode du point col ("steepest descent").270

19.5Exercices.272

20Intégrale de Lebesgue.273

20.1Introduction.273

20.2Théorie de la mesure.275

20.3L"intégrale de Lebesgue.276

21Les intégrales de chemin.279

21.1Introduction.279

21.2Exemples fondamentaux.280

21.3Calcul des intégrales de chemin (I).281

21.4Digression sur le mouvement Brownien.283

21.5Calcul des intégrales de chemin (II) et les fonctions de Green.284

21.6Problèmes.286

TABLE DES MATIÈRES8

22Les équations de la physique.287

22.1Qu"est ce qu"une équation différentielle?287

22.2Équation de Laplace.288

22.3Équation d"onde et de chaleur.290

23Qu"est ce qu"un nombre?293

23.1Les entiers naturelsN.293

23.2Les ensemblesZetQ.295

23.3Un peu de topologie.295

23.4L"ensemble des nombres réels.296

23.5Les nombres padiques.299

24Bibliograhie.301

25Index303

1

Introduction

Durant les deux premières années à l"université, on apprend les bases essentielles des mathématiques : calcul différentiel et intégral, algèbre linéaire, équations différentielles linéaires, etc. L"objet de ce cours est d"utiliser ce corpus pour introduire les méthodes mathé- matiques dites supérieures utilisées pour résoudre les problèmes classiques de la physique. Les mathématiques ne sont pas une collection de méthodes jux- taposées et sans relation : il existe des concepts extrêmement géné- raux qui nous permettent de porter le même regard sur des notions a priori disparates. Le concept qui reviendra tout au long de ce cours est celui de l"espace vectoriel. Ainsi, tourner un vecteur du plan d"un angle quelconque ou appliquer un opérateur intégrodif- férentiel à une fonction sont fondamentalement la même chose; de même que trouver les valeurs propres d"une matrice ou résoudre une équation à dérivée partielle linéaire. C"est bien pour cela que l"étudiant apprend un tel volume d"algèbre linéaire dans les cours de mathématiques élémentaires. Le plan du cours est le suivant : Après une introduction (un rappel) des espaces vectoriels, nous verrons que les fonctions elles mêmes peuvent être considérées comme des points (des vecteurs) dans un grand espace des fonctions, et que nous pouvons définir des bases orthogonales dans cet espace presque comme on le fait dans l"espace tridimensionnel. Le chapitre suivant est consacré aux séries de Fourier, le premier exemple pratique que nous verrons de bases dénombrables dans l"espace des fonctions sur un intervallefini. Nous verrons entre autre comment cette base nous permet de résoudre les équations classique de la physique comme celle de diffusion de la chaleur ou des cordes vibrantes. Nous avons souvent affaire à des fonctions définies sur des in- tervallesinfinis. Les transformées de Fourier nous permettent de disposer de bases pour l"espace de ces fonctions. Comme souvent cependant, les infinis posent des problèmes particuliers et nous auront alors à définir lesdistributions, une généralisation des fonc- tions qui introduit en mathématique le concept de charge (ou force) ponctuelle si cher aux physiciens. Nous verrons alors le nombre incroyable de problèmes que ces nouvelles méthodes nous per-

CHAPITRE1. INTRODUCTION10

mettent d"aborder : de la résolution des équations différentielles à celle d"équations stochastiques (comme le mouvement brownien) en passant par la diffraction par les cristaux etc. Le cousin germain des transformées de Fourier est la transfor- mée de Laplace : nous verrons comment l"utiliser pour tous les problèmes où les conditions initiales sont importantes. Ces trans- formations (TF, TL) sont de types intégrale. Nous verrons dans un chapitre avancé une autre transformation, celle de Legendre, très utilisés en mécanique (classique et quantique) et thermodynamique. Finalement, un complément utile à tous ces outils est la méthode de Green (ou fonctions de Green) qui à nouveau a à voir avec la généralisation des charges ponctuelles : si on connaît l"effet d"une charge (ou d"une force ou ...) ponctuelle, on peut alors facilement calculer l"effet d"une distribution de charge (de force ...). Nous revenons sur le concept général d"opérateur intégrodif- férentiel. Une rotation ou une homothétie transforment de façon linéaireun vecteur dans un autre. Un opérateur différentiel linéaire rées comme des vecteurs d"un grand espace. Nous savons qu"étu- dier une application linéaire est toujours beaucoup plus simple dans sa base propre. La même chose est vrai pour les vecteurs et valeur propres des opérateurs. Les transformées de Fourier nous fournissaient une base très particulière bien adapté à certains pro- blèmes de physique, nous verrons d"autres bases comme celle des polynômes orthogonaux et nous généraliserons le calcul des opéra- teurs. Quelques chapitres sont consacrés aux notions plus avancées qui devront néanmoins être connues des étudiants à la fin de leur Master. Nous abordons le calcul des perturbations, outil indispen- sable dès que nous tentons la résolution de "vrai" problèmes, c"est à dire ceux qui s"écartent un peu des exemples classiques que nous savons résoudre. Par exemple, nous savons résoudre une équation différentielle d"une certaine forme, le calcul de perturbation nous permettra d"obtenir une solution approchée quand la forme change légèrement. Un chapitre est consacré aux calculs des variations qui est une généralisation des problèmes d"extremum à l"espace des fonctions et des fonctionnelles qui y agissent. La plupart des problèmes de physique sont formulée dans ce langage ou gagne à être formulé dans ce langage. Nous aborderons également la théorie des formes différentielles. Souvent ces objets sont enseignés dans le cadre de la théorie des tenseurs et vue comme des tenseurs alternés. Il est cependant beau- coup plus simple de les aborder directement et en donner une image géométrique, surtout que ce sont des objets très simple à manipuler et qui donnent de la cohérence aux divers opérateurs différentiels comme le gradient, rotationnel et divergence. Nous verrons comment certaines lois de la physique comme les équations de Maxwell acquiert une signification géométrique intuitive. 11 La théorie des tenseurs sera également dans un chapitre. Nous nous contenterons essentiellement des tenseurs dans un espace euclidien où il n"y a pas à faire de différence entre les vecteurs et les covecteurs. La théorie des fonctions analytique complexe est également abor- dée, ainsi que de façon très sommaire, l"intégration de Lebesgue et les intégrales de chemin. Enfin un petit chapitre est consacré aux nombres. Nous les mani- pulons depuis si longtemps que nous avons oublié comment on les a construit. Ce chapitre tente de remédier à cet oubli.

Bon, suffisamment digressé, voyons du concret.

2

Éléments d"analyse fonctionnelle.

Les espaces vectoriels jouent un rôle unificateur fondamental en mathématiques. Peut-être cela rappelle au lecteur des souvenirs de matrices, de bases et de ses changements, ... Nous allons revoir tout cela de façon assez légère mais surtout appliquée à l"ensemble extrêmement vaste desfonctions. Nous allons voir que nous pou- vons décrire les fonctions comme desvecteursdans des espaces de dimensions infinies, en utilisant pratiquement les mêmes outils que pour des vecteurs à trois dimensions. Cela s"appelleanalyse fonc- tionnelleet a été formalisé par Hilbert au début des années1900. Le reste de ce cours s"appuie constamment sur les résultats de ce chapitre dont la lecture est indispensable.Figure 2.1- Exemple de vec- teurs géométriques dans le plan.2.1Les espaces vectoriels.

Qu"est ce qu"un espace vectoriel?

Nous connaissons déjà certains ensemble célèbre comme celui des nombres réelsRou complexesC. On les appellera dans la suite indifféremment l"ensemble des scalairesS. Un espace vectoriel est un ensembleEoù l"opération+a un sens. Pas n"importe quel sens d"ailleurs, mais ce qu"on associe instinctivement

1à cette opération :1. un instinct forgé par une douzaine

d"année d"étude.(i)siaetbappartiennent à notre ensemble, alorsa+baussi; (ii) a +b=b+a. En plus, multiplier un vecteur par un scalaire a un sens, qui plus est, lui aussi "très naturel". Sis,s1,s22Seta,b2 E, alors : (iii) s a2 E; (iv)(s1+s2)a=s1a+s2a; (v) s (a+b) =sa+sb;

(vi)Epossède un élémentzéro, qu"on notera02tel quea+0=2. En caractère gras pour ne pas le

confondre avec le 0 des scalaires.a,a,02 E. N"oublions pas que quand on parle desa, on parle bien d"unvec- teuret non d"unscalaire. L"ensemble des maisons d"une ville par exemple n"a pas vraiment une structure d"espace vectoriel. Par contre, l"ensemble des vecteurs dans un plan, l"ensemble des po- lynômes, ou l"ensemble des fonctions définies sur[0,1]ont une CHAPITRE2. ÉLÉMENTS D"ANALYSE FONCTIONNELLE.14 structure d"espace vectoriel. L"intérêt majeur est que tout

3ce que3. Bon, il faut, de temps en temps,

prendre des précautions.l"on peut affirmer pour l"un de ces ensembles (en rapport avec son caractère vectoriel) pourra être généralisé aux autres.

Bases d"espace vectoriel.

Une base est l"ensemble de certains éléments de notre espaceE qui nous permet de décrire tout les autres. Pour être plus rigou- reux, supposons quee1,e2,e3,...,ei2 E, soit une base. Dans ce cas, pour n"importe quel élémentadeE, on peut trouver des scalaires ( des chiffres donc)sitel quea=åisiei. On dit queaest une combi- naison linéaire des vecteursei. Bien sûr, il faut prendre le minimum deeiqui rende cette description faisable. Pour cela, il suffit d"exiger qu"aucun deseine puisse être une combinaison linéaire des autres (on dit alors que ces vecteurs sont linéairement indépendant). Les scalairesiqu"on aura trouvé pour la description deasont alors unique. On les appelle lescomposantesdu vecteuradans la base feg.Figure 2.2- Ici,~a=2~e1+~e2, donc dans la base(~e1~e2), le vecteur ~aest représenté par le couple(2,1).Le grand intérêt des bases est qu"elles nous permettent de ma- nipuler les vecteurs comme des collections de chiffres. Pour les vecteurs dans le plan, nous ne sommes pas obligé de faire des des- sins, nous pouvons les représenter par des doublets(x1,x2)si nous nous sommes fixés à l"avance deux vecteurs de références. A partir du moment où on peut représenter les objets par des chiffres, on peut pratiquement tout faire (ehem).

44. Comme 819x+29x221x3+

6x4=6(1x)43(1x)3+2(1

x)2+3, nous voyons que le vec- teur(8,19,29,21,6,0,0,...)dans la base desXnest représenté par (3,0,2,3,6,0,0,...)dans la base desquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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