[PDF] SECOND DEGRÉ Méthode : Déterminer la





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SECOND DEGRÉ (Partie 1)

40 est la forme canonique de f. Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme :.



Trinômes du second degré

ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme. 1. Forme canonique. Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² +.



La forme canonique

La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : On peut maintenant mettre A sous forme canonique en remplaçant ? et ? par.



SECOND DEGRÉ (Partie 1)

SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 ... f (x) = ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme :.



SECOND DEGRÉ

Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique :.



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8 sept. 2022 Equations de second degré. Forme canonique d'un polynôme de degré 2. ... du second degré est de la mettre sous la forme ax2+bx+c ?.



Sans titre

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré f est l'écriture sous la forme f(x) = a(x – xs)2 + ys où a xs et ys désignent des nombres réels



Déterminer la réponse dun second ordre

Cette forme de la fonction de transfert est la forme canonique (la constante du On trouve p=0 ainsi que les racines du polynôme du second degré qui ...



Polynômes

Définition 1 : Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax trinôme est sous forme canonique et on peut toujours mettre un trinôme sous ...



Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est un polynôme de degré 2 de la forme Mettre sous forme canonique les trinômes suivants en suivant le modèle :.

1

SECOND DEGRÉ

I. Fonction polynôme de degré 2

Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec ≠0.

Remarque :

Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".

Exemples et contre-exemples :

=3 -7+3 -5+ =4-2 -4

5-2

sont des fonctions polynômes de degré 2. =5-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =5 -7 +3-8 est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Vidéo https://youtu.be/OQHf-hX9JhM

Soit la fonction f définie sur ℝ par : =2 -20+10. On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : =J(x - J) 2 + J où J, J et J sont des nombres réels. =2 -20+10 =2 -10 +10 =2 -10+25-25 +10 =2 -5 -25 +10 =2 -5 -50+10 =2 -5 -40 ()=2 -5 -40 est la forme canonique de f. car -10 est le début du développement de -5 et -5 -10+25 2

Propriété :

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous la forme : +, où et sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.

Démonstration :

Comme ≠0, on peut écrire pour tout réel x : =A +B

2

C -B

2

C

D+

=AB+

2

C -B

2

C

D+

=B+

2

C

4

=B+

2

C

4

=B+

2

C -4

4

avec =- et = - Remarque : Pour écrire un trinôme sous sa forme canonique, il est possible d'utiliser les deux dernières formules donnant et ... à condition de les connaître !

III. Variations et représentation graphique

Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : =2 -1 +3

Alors : ()≥3 car 2

-1 est positif.

Or

1 =3 donc pour tout x, ≥(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.

Propriété :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par ()= +, avec ≠0. - Si >0, f admet un minimum pour =. Ce minimum est égal à . - Si <0, f admet un maximum pour=. Ce maximum est égal à . 3

Remarque :

Soit la fonction f définie sur ℝ par : ++, avec ≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour=- (voir résultat de la démonstration dans II.) - Si >0: x f I- J - Si <0: x f I- J

Dans un repère orthogonal

, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

Le point M de coordonnées B-

;I-

JC est le sommet de la parabole.

Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation =- 4 Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2

Vidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4

Représenter graphiquement la fonction f définie sur ℝ par +4. Commençons par écrire la fonction f sous sa forme canonique : +4 -4 -4+4-4 -2 -4 -2 +4 f admet donc un maximum en 2 égal à 2 2-2 +4=4

Les variations de f sont donc données par

le tableau suivant : On obtient la courbe représentative de f ci-contre. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'une parabole

Vidéo https://youtu.be/7IOCVfUnoz0

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole d'équation =2 -12+1. - La parabole possède un axe de symétrie d'équation =- , soit =- = 3. La droite d'équation =3 est donc axe de symétrie de la parabole d'équation =2 -12+1. - Les coordonnées de son sommet sont : B- ;I-

JC, soit :

3;2×3

-12×3+1 3;-17

Le point de coordonnées

3;-17 est donc le sommet de la parabole. =2>0, ce sommet correspond à un minimum. 5 IV. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où a, b et c sont des réels avec ≠0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme

Exemple :

L'équation 3

-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté D,

égal à

-4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et Propriété démontrée dans le paragraphe II. Méthode : Résoudre une équation du second degré

Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk

Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk

Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE

Résoudre les équations suivantes :

6 a) 2 --6=0 b) 2 -3+ =0 c) +3+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2 --6=0 : a = 2, b = -1 et c = -6 donc D = -4 = (-1) 2 - 4 x 2 x (-6) = 49. Comme D > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : =2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2 -3+ =0 : a = 2, b = -3 et c = donc D = -4 = (-3) 2 - 4 x 2 x = 0. Comme D = 0, l'équation possède une unique solution : c) Calculons le discriminant de l'équation +3+10=0 : a = 1, b = 3 et c = 10 donc D = -4 = 3 2 - 4 x 1 x 10 = -31. Comme D < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++=0 sont donnés par : =- et =

Exercice : Démontrer ces deux formules.

V. Factorisation d'un trinôme

Démonstration :

Vidéo https://youtu.be/7VFpZ63Tgis

On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous sa forme canonique : + avec =- et = -

Donc :

++=0 peut s'écrire : 9 8 9 8 7 B+

2

C -4

4

=0 B+

2

C

4

=0 B+

2

C

4

B+

2

C

4

car a est non nul. - Si D < 0 : Comme un carré ne peut être négatif I <0J, l'équation ++=0 n'a pas de solution. - Si D = 0 : L'équation ++=0 peut s'écrire :

B+

2

C =0

L'équation n'a qu'une seule solution :

- Si D > 0 : L'équation ++=0 est équivalente à : ou + ou + ou = ou= L'équation a deux solutions distinctes : ou Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par - Si D = 0 : Pour tout réel x, on a : - Si D > 0 : Pour tout réel x, on a : Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de f.

Méthode : Factoriser un trinôme

Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8

Factoriser les trinômes suivants : a) 4

+19-5 b) 9 -6+1 a) On cherche les racines du trinôme 4 +19-5: x 0 b 2a 8

Calcul du discriminant : D = 19

2 - 4 x 4 x (-5) = 441

Les racines sont :

= -5 et

On a donc :

4

+19-5=4X- -5

YB-

1 4 C +5

4-1

Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. b) On cherche les racines du trinôme 9 -6+1 :

Calcul du discriminant : D = (-6)

2 - 4 x 9 x 1 = 0

La racine (double) est :

$0

On a donc :

9

-6+1=9I- J

3-1

Exercice d'approfondissement pour aller plus loin :

Résoudre l'équation (E) :

1$" "1 $/1$" 1 "1 +'/1+0 =0 - On commence par factoriser les expressions 2 -3-2 et 2 +13+6.

Le discriminant de 2

-3-2 est D = (-3) 2 - 4 x 2 x (-2) = 25 et ses racines sont : "2 et "2 = 2

On a donc : 2

-3-2=2I+ J -2

2+1

-2

Le discriminant de 2

+13+6 est D' = 13 2 - 4 x 2 x 6 = 121 et ses racines sont : = -6 et

On a donc : 2

+13+6=2 +6

I+

J= +6

2+1

- L'équation (E) s'écrit alors : 1$" "1+' 1$" 1 1+0 "1+' =0

Les valeurs -6,

et 2 annulent les dénominateurs. On résout alors (E) sur ℝ∖\-6;- ;2]: 9 (E) s'écrit : "1+' 1 1+0 "1+' =0 1+0 "1+' 1+0 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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