[PDF] Polynômes Définition 1 : Un trinô

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Chap I :Polynômes

I. Trinôme du second degré

Définition 1 :Un trinôme du second degré est une expression de la formeax2+bx+c, aveca?=0. Remarque :Un trinôme du second degré est défini surR. Nous allons déterminer une technique pour résoudretoutesles équations du typeax2+bx+c=0 appelées

équation du second degré.

1) Forme canonique du trinôme

On sait résoudre les équations suivantes :

•x2-3=0

•(x+2)2-5=0

•3?

(x+1)2-2 3? =0

En fait on a3?

(x+1)2-2 3? =3x2+6x+1mais les deux formes ne sont pas toutes les deux aussi

pratique pour résoudre3x2+6x+1=0qui est souvent la forme sous laquelle l"équation apparaît.La

forme3?(x+1)2-2

3?s"appelle laforme canoniquedu trinôme3x2+6x+1.

L"idée intéressante c"est qu"on peut toujours résoudre uneéquation du second degré lorsque le

trinôme est sous forme canonique et on peut toujours mettre un trinôme sous forme canonique.

Propriété 1 :On aax2+bx+c=a??

x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? -→démonstration

2) Résolution de l"équationax2+bx+c=0,(a,b,c)?R?×R2

Pour résoudreax2+bx+c=0c"est donc le signe deb2-4acqui nous intéresse. Définition 2 :SoitP(x)=ax2+bx+c, on appelle discriminant deP(x)=0, le nombreΔ=b2-4ac.

On a alors :

ax

2+bx+c=0??

x+b 2a? 2 -Δ4a2=0cara?=0.

•SiΔ<0,?

x+b 2a? 2 -Δ4a2>0donc l"équation n"a pas de solutions dansR.

•SiΔ=0,?

x+b 2a? 2 =0d"oùx=-b2aest racine double.

•SiΔ>0,Δ=?

Δ2d"oùP(x)=0??

x+b2a? 2 Δ2

4a2=0soit?

x+b2a+? 2a?? x+b2a-? 2a? =0 doncx1=-b-?

2aetx2=-b+?

2asont les solutions surR.

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Théorème 1 :SoitSl"ensemble des solutions deax2+bx+c=0.

SiΔ<0,S=?.

SiΔ=0,S=?

-b 2a?

SiΔ>0,S=?

-b-?

2a;-b+?

2a?

Remarque :Siaetcsont de signes contraires,Δ>0.

Exercice 1 :Résoudre les équations suivantes :

•x2-3x+2=0,

•2x2+4x+2=0,

•-2x2-3x+4=0,

•-3x2+2x-2=0

-→parler des équations bicarrés et irrationnelles

3) Factorisation et racines

Proposition 1 :(HP)Si le trinômeax2+bx+cadmet deux racinesx1etx2(éventuellement égales dans le cas d"une racine double) alors,S=x1+x2=-b aetP=x1×x2=ca. -→démonstration Exercice 2 :On peut le vérifier sur l"exemplex2-3x+2=0

On a également une sorte de réciproque :

Proposition 2 :(HP)Si deux nombres ont pour sommeSet pour produitPalors ils sont solutions de l"équationX2-SX+P=0. -→démonstration Exercice 3 :Déterminer les valeurs possibles pour deux nombresxetydont la somme fait 5 et le produit 3. On peut toujours factoriser un trinôme qui a des racines :

Théorème 2 :Si le trinômeax2+bx+cadmet deux racinesx1etx2(éventuellement égales) alors,

?x?R,ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). -→démonstration Exercice 4 :On peut le vérifier sur l"exemple-2x2-3x+4=0.

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4) Signe du trinôme

Dans chacun des trois cas pourΔon peut déterminer le signe du trinôme en fonction dexgrâçe

à la forme canonique.

•SiΔ<0:a??

x+b 2a? 2 -Δ4a2? est du signe deaet doncax2+bx+caussi.

•SiΔ=0:a??

x+b 2a? 2? est aussi du signe deasauf pourx=-b2a(il est alors nul). •SiΔ>0:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)et ainsi pour déterminer son signe il suffit de faire un tableau de signes : x-∞x1x2+∞ (x-x1)-0++ (x-x2)--0+ (x-x1)(x-x2)+0-0- ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe dea -→penser à multiplier para On peut ainsi résumer la situation dans le théorème suivant : Théorème 3 :De la forme canonique du trinôme, on déduit :

SiΔ<0,ax2+bx+cest toujours du signe dea.

SiΔ=0,ax2+bx+cest toujours du signe deasauf pourx= -b

2a(il est alors

nul).

SiΔ>0,ax2+bx+cest :

•du signe deaà l"extérieur des racines.

•du signe de-aà l"intérieur des racines.

Ce qui donne sous forme de tableau

x-∞x1x2+∞ ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe dea

5) Interprétation géométrique

On considère la fonctionf:?R-→R

x?-→ax2+bx+cet on appelleCfsa courbe représentative dans un repère orthonormé. On peut retrouver les résultats des théorèmes précédents surCf:

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Oy xx1x2C f a>0Δ>0Oy xx0C f a>0Δ=0Oy x a>0Δ<0C f Oy x x1x2 C fa<0Δ>0 Oy x x0 C fa<0Δ=0 Oy x a<0Δ<0 C f Exercice 5 :Vérifier que cela marche sur les fonctions associées aux 4 exemples dex2-3x+2=0,

2x2+4x+2=0,-2x2-3x+4=0et-3x2+2x-2=0.

II. Polynômes

1) Définition

On commence par définir les fonctions polynômes qui sont des outils très utiles en Analyse. Définition 3 :Une fonction polynôme est une fonctionP:R?→Rtelle que k=0a kxk. oùa0,a1, ...,ansont des nombres réels et oùn?N. Vocabulaire :Les nombres réelsa0,a1, ...,ans"appellentcoefficientsdu polynômeP.

On lita??indice??n.

Le nombreapxps"appelle leterme de degrépdu polynômeP.

Exemple :•f(x)=x2-2x+1,

•g(x)=-2+5x-35,

•h(x)=21..

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2) Degré

Définition 4 :Sian?=0,nest ledegrédeP. On noten=degP. Remarque :Un polynôme constant non nul(?x?R,P(x)=a0?=0)a pour degré0.

Le polynôme nul n"a pas de degré.

Propriété 2 :SiPetQsont deux polynômes non nuls, alorsdegPQ=degP+degQ. Théorème 4 :(Admis) On a l"équivalence suivanteP=Q??degP=degQ les coefficients dePetQsont identiques -→démonstration faisable avec les limites Corollaire 1 :Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Plus précisément, si pour toutxréel on a : P(x)=anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0=0?a0=0,a1=0, ...,an=0.

3) Factorisation

Définition 5 :SoitPun polynôme de degrén?1. On appelle racine (ou zéro) dePtout nombre atel queP(a)=0. Définition 6 :On dit qu"un polynômePest factorisable par(x-a)s"il existe un polynômeQtel que pour toutxréel :P(x)=(x-a)Q(x) Avec ces définitions on a le théorèmefondamentalsuivant : Théorème 5 :(HP)aest racine deP?Pest factorisable par(x-a). -→démonstration : Siaest racine deP,P(a)=0doncP(x)=P(x)-P(a)=...etxn-an=

Remarque :?degP=n

P(x)=(x-a)Q(x)?degQ=n-1

Une technique pour factoriser complétement un polynôme estla technique par identification des coefficients Exercice 6 :Pour factoriser le polynômeP(x)=x3+x2-4x-4il faut connaître au moins une racine. Pour cela on calcule quelques valeurs, par exempleP(0),P(1)etP(-1). Une fois qu"on a une racine on peut écrireP(x)=(x+1)Q(x)oùQest un polynôme de degré 2. On peut écrireQ(x)=ax2+bx+cet en développant(x+1)(ax2+bx+c) ondoitretrouverPd"où un système à 3 équations et 3 inconnues à résoudre. -→P(x)=(x+1)(x+2)(x-2)

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