Trinômes du second degré
Forme canonique. Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² + avec ?= ?b. 2a et ?=c? b. 2.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ?.
Trinôme du second degré
2. Forme canonique du trinôme du second degré. 2. 2 . 2 Sans utiliser le discriminant factoriser chacun des polynômes suivants et faire un.
SECOND DEGRE (Partie 2)
II. Factorisation d'un trinôme. On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la f (x) = ax2 + bx + c peut s'écrire sous sa forme canonique :.
Le second degré - Lycée dAdultes
2 RACINES DU TRINÔME. 2.2 Le discriminant est positif. Comme le discriminant ? est positif la forme canonique se factorise.
SECOND DEGRÉ
II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : ... V. Factorisation d'un trinôme.
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Exercice : Démontrer ces deux formules. II. Factorisation d'un trinôme. Démonstration au programme : Vidéo https://youtu.be/
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
A noter : Plus généralement on appelle fonction polynôme du second degré
Forme canonique dun trinôme du second degré
Exprimer les coefficients m et n en fonction de a b et c. 2. On pose le discriminant ? = b2. ? 4ac et on suppose ? > 0. Factoriser la forme canonique et
La forme canonique
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : 2. 4 ?. 4. =- ? On peut maintenant mettre A sous forme canonique en ...
Le second degré
Table des matières
1 La forme canonique du trinôme
21.1 Le trinôme du second degré
21.2 Quelques exemples de formes canoniques
21.3 Forme canonique du trinôme
32 Racines du trinôme
42.1 Définition
42.2 Le discriminant est positif
52.3 Le discriminant est nul
52.4 Le discriminant est négatif
62.5 Conclusion
63 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines
73.1 Factorisation du trinôme
73.2 Somme et produit des racines
83.3 Application
84 Signe du trinôme et inéquation du second degré
94.1 Le discriminant est positif
94.2 Le discriminant est nul ou négatif
104.3 Conclusion
105 Représentation du trinôme
116 Équation paramètrique
127 Équation ou inéquation se ramenant au second degré
137.1 Équation rationnelle
137.2 Inéquation rationnelle
147.3 Équation bicarrée
157.4 Équation irrationnelle
167.5 Somme et produit de deux inconnues
168 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré
178.1 Problème de résistence équivalente
178.2 Un problème de robinet
188.3 Une histoire de ficelle
19 Paul Milan 1 sur21 Première S
1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
1Laformecanoniquedutrinôme
1.1Letrimômeduseconddegré
Définition 1 :
On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1(x)=x2+2x8
P2(x)=2x2+3x14
P3(x)=x2+4x5
1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques
La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un termepuis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8
Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P1(x)=x2+2x+118
=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P2(x)=2
x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916Cela donne :
=2 x 2+32 x+916 9167! =2266664 x+34 2 916
7377775
=2266664 x+34 2 121163
77775forme canonique deP2(x)
on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 1142377775
=2 x+34 114x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P
1(x)=x24x+5
on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3Forme canonique du trinôme
Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+cOn factorise para, cela donne :
P(x)=a
x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S2 RACINES DU TRINÔME
on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.Cela donne :
=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23
77775Théorème 1 :
La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :P(x)=a266664
x+b2a! 2 b24ac4a2377775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule
un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.2Racinesdutrinôme
2.1Définition
Définition 2 :
Les racines d"un trinômes sont les solutions de l"équation : ax2+bx+c=0Définition 3 :
On pose =b24ac. L"équationax2+bx+c=0devient donc : a266664
x+b2a! 2 4a2377775=0
Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de, cette quantité est appelé discriminant.Paul Milan 4 sur21 Première S2 RACINES DU TRINÔME
2.2Lediscriminantestpositif
Comme le discriminantest positif, la forme canonique se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1CCCCA0BBBB@x+b2a+p
2a1CCCCA=0
On obtient alors deux solution :
x+b2ap2a=0oux+b2a+p
2a=0On obtient alors :
x 0=b+p2aoux00=bp
2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0
On calcule:
=b24ac =3242(14) =9+112 =121 =112 Commeest positif, il existe deux solutions distinctesx0etx00: x 0=b+p2a=3+114
=2 x 00=bp2a=3114
=72On conclut par :
S=( 72;2)
2.3Lediscriminantestnul
Comme le discriminantest nul, la forme canonique correspond à un carré parfait. Elle se factorise en : a x+b2a! 2 =0On obtient alors qu"une seule solution :
x0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S
2 RACINES DU TRINÔME
Exemple : Résoudre dansR:3x218x+27=0
On calcule:
=b24ac =1824327 =324324 =0 Commeest nul, il n"existe qu"une seule solutionx0: x0=b2a=186
=3On conclut par :
S=f3g2.4Lediscriminantestnégatif
Comme le discriminantest négatif la forme canonique ne se factorise pas. Il n"y a donc aucune solution à l"équation du second degré.Exemple : Résoudre dansR:x2+4x5=0On calcule:
=b24ac =424(1)(5) =1620 =4 Commeest négatif, il n"y a pas de solution. On conclut par : S=?2.5Conclusion
Théorème 2 :
Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant =b24ac. 1.Si >0il existe deux racines :
x 0=b+p2aoux00=bp
2a 2. Si =0il n"existe qu"une racine (appelée racine double) - : x 0=b2a 3. Si <0il n"existe aucune racinePaul Milan 6 sur21 Première S3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES
desracines3.1Factorisationdutrinôme
Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1CCCCA0BBBB@x+b2a+p
2a1CCCCA=0
En remplaçant par les racinesx0etx00, nous avons alors : a(xx0)(xx00) De même si le discriminant est nul. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a x+b2a! 2 =0 En remplaçant par la racinex0=b2a, nous avons alors : a(xx0)2Exemples : 1.Factoriser le trinôme suivant : P(x)=2x2+3x14
Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les racines de ce trinôme sont :72 et2, donc :P(x)=2
x+72 x2) Nous retrouvons le résultat que nous avons démontré avec la forme canonique. 2.Factoriser le trinôme suivant : Q(x)=3x218x+27
Nous avons vu dans le paragraphe précédent que la racine de ce trinôme est3, donc :Q(x)=3(x3)2Théorème 3 :
Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet deux racinesx0etx00, il peut se factoriser sous la forme :P(x)=a(xx0)(xx00)
Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet une racinex0, il peut se factoriser sous la forme :P(x)=a(xx0)2
Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cn"admet pas de racine, il ne peut se factoriserPaul Milan 7 sur21 Première S3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES
3.2Sommeetproduitdesracines
Soit le trinômef(x)=ax2+bx+c. Nous nous plaçons dans le cas où le discrimenant est positif. Il y a donc deux racinesx0etx00. Le trinôme peut alors se factoriser en : f(x)=a(xx0)(xx00)Developpons :
f(x)=a(x2x00xx0x+x0x00) =ahx2x0+x00x+x0x00i =ax2a(x0+x00)x+ax0x00On poseS=x0+x00etP=x0x00, on a alors
f(x)=ax2aS x+aP En identifiant à :f(x)=ax2+bx+c, on obtient alors : aS=bdoncS=ba aP=cdoncP=caExemple : Soit le trinômef(x)=2x2+3x14
Nous savons que ce trinôme admet deux solutions72 et2, d"après notre résultat : S=ba =32 ce qui se vérifie72 +2=7+42quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Mettre sous formes Canonique
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