Trinômes du second degré
Forme canonique. Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² + avec ?= ?b. 2a et ?=c? b. 2.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ?.
Trinôme du second degré
2. Forme canonique du trinôme du second degré. 2. 2 . 2 Sans utiliser le discriminant factoriser chacun des polynômes suivants et faire un.
SECOND DEGRE (Partie 2)
II. Factorisation d'un trinôme. On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la f (x) = ax2 + bx + c peut s'écrire sous sa forme canonique :.
Le second degré - Lycée dAdultes
2 RACINES DU TRINÔME. 2.2 Le discriminant est positif. Comme le discriminant ? est positif la forme canonique se factorise.
SECOND DEGRÉ
II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : ... V. Factorisation d'un trinôme.
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Exercice : Démontrer ces deux formules. II. Factorisation d'un trinôme. Démonstration au programme : Vidéo https://youtu.be/
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
A noter : Plus généralement on appelle fonction polynôme du second degré
Forme canonique dun trinôme du second degré
Exprimer les coefficients m et n en fonction de a b et c. 2. On pose le discriminant ? = b2. ? 4ac et on suppose ? > 0. Factoriser la forme canonique et
La forme canonique
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : 2. 4 ?. 4. =- ? On peut maintenant mettre A sous forme canonique en ...
SECOND DEGRÉ
I. Fonction polynôme de degré 2
Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec ≠0.Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".Exemples et contre-exemples :
=3 -7+3 -5+ =4-2 -45-2
sont des fonctions polynômes de degré 2. =5-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =5 -7 +3-8 est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2Vidéo https://youtu.be/OQHf-hX9JhM
Soit la fonction f définie sur ℝ par : =2 -20+10. On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : =J(x - J) 2 + J où J, J et J sont des nombres réels. =2 -20+10 =2 -10 +10 =2 -10+25-25 +10 =2 -5 -25 +10 =2 -5 -50+10 =2 -5 -40 ()=2 -5 -40 est la forme canonique de f. car -10 est le début du développement de -5 et -5 -10+25 2Propriété :
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous la forme : +, où et sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.Démonstration :
Comme ≠0, on peut écrire pour tout réel x : =A +B2
C -B2
CD+
=AB+2
C -B2
CD+
=B+2
C4
=B+2
C4
=B+2
C -44
avec =- et = - Remarque : Pour écrire un trinôme sous sa forme canonique, il est possible d'utiliser les deux dernières formules donnant et ... à condition de les connaître !III. Variations et représentation graphique
Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : =2 -1 +3Alors : ()≥3 car 2
-1 est positif.Or
1 =3 donc pour tout x, ≥(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par ()= +, avec ≠0. - Si >0, f admet un minimum pour =. Ce minimum est égal à . - Si <0, f admet un maximum pour=. Ce maximum est égal à . 3Remarque :
Soit la fonction f définie sur ℝ par : ++, avec ≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour=- (voir résultat de la démonstration dans II.) - Si >0: x f I- J - Si <0: x f I- JDans un repère orthogonal
, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.Le point M de coordonnées B-
;I-JC est le sommet de la parabole.
Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation =- 4 Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2Vidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4
Représenter graphiquement la fonction f définie sur ℝ par +4. Commençons par écrire la fonction f sous sa forme canonique : +4 -4 -4+4-4 -2 -4 -2 +4 f admet donc un maximum en 2 égal à 2 2-2 +4=4Les variations de f sont donc données par
le tableau suivant : On obtient la courbe représentative de f ci-contre. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'une paraboleVidéo https://youtu.be/7IOCVfUnoz0
Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole d'équation =2 -12+1. - La parabole possède un axe de symétrie d'équation =- , soit =- = 3. La droite d'équation =3 est donc axe de symétrie de la parabole d'équation =2 -12+1. - Les coordonnées de son sommet sont : B- ;I-JC, soit :
3;2×3
-12×3+1 3;-17Le point de coordonnées
3;-17 est donc le sommet de la parabole. =2>0, ce sommet correspond à un minimum. 5 IV. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où a, b et c sont des réels avec ≠0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinômeExemple :
L'équation 3
-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté D,égal à
-4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et Propriété démontrée dans le paragraphe II. Méthode : Résoudre une équation du second degréVidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk
Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk
Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE
Résoudre les équations suivantes :
6 a) 2 --6=0 b) 2 -3+ =0 c) +3+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2 --6=0 : a = 2, b = -1 et c = -6 donc D = -4 = (-1) 2 - 4 x 2 x (-6) = 49. Comme D > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : =2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2 -3+ =0 : a = 2, b = -3 et c = donc D = -4 = (-3) 2 - 4 x 2 x = 0. Comme D = 0, l'équation possède une unique solution : c) Calculons le discriminant de l'équation +3+10=0 : a = 1, b = 3 et c = 10 donc D = -4 = 3 2 - 4 x 1 x 10 = -31. Comme D < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++=0 sont donnés par : =- et =Exercice : Démontrer ces deux formules.
V. Factorisation d'un trinôme
Démonstration :
Vidéo https://youtu.be/7VFpZ63Tgis
On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous sa forme canonique : + avec =- et = -Donc :
++=0 peut s'écrire : 9 8 9 8 7 B+2
C -44
=0 B+2
C4
=0 B+2
C4
B+
2
C4
car a est non nul. - Si D < 0 : Comme un carré ne peut être négatif I <0J, l'équation ++=0 n'a pas de solution. - Si D = 0 : L'équation ++=0 peut s'écrire :B+
2
C =0L'équation n'a qu'une seule solution :
- Si D > 0 : L'équation ++=0 est équivalente à : ou + ou + ou = ou= L'équation a deux solutions distinctes : ou Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par - Si D = 0 : Pour tout réel x, on a : - Si D > 0 : Pour tout réel x, on a : Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de f.Méthode : Factoriser un trinôme
Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8
Factoriser les trinômes suivants : a) 4
+19-5 b) 9 -6+1 a) On cherche les racines du trinôme 4 +19-5: x 0 b 2a 8Calcul du discriminant : D = 19
2 - 4 x 4 x (-5) = 441Les racines sont :
= -5 etOn a donc :
4
+19-5=4X- -5YB-
1 4 C +54-1
Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. b) On cherche les racines du trinôme 9 -6+1 :Calcul du discriminant : D = (-6)
2 - 4 x 9 x 1 = 0La racine (double) est :
$0On a donc :
9
-6+1=9I- J3-1
Exercice d'approfondissement pour aller plus loin :Résoudre l'équation (E) :
1$" "1 $/1$" 1 "1 +'/1+0 =0 - On commence par factoriser les expressions 2 -3-2 et 2 +13+6.Le discriminant de 2
-3-2 est D = (-3) 2 - 4 x 2 x (-2) = 25 et ses racines sont : "2 et "2 = 2On a donc : 2
-3-2=2I+ J -22+1
-2Le discriminant de 2
+13+6 est D' = 13 2 - 4 x 2 x 6 = 121 et ses racines sont : = -6 etOn a donc : 2
+13+6=2 +6I+
J= +62+1
- L'équation (E) s'écrit alors : 1$" "1+' 1$" 1 1+0 "1+' =0Les valeurs -6,
et 2 annulent les dénominateurs. On résout alors (E) sur ℝ∖\-6;- ;2]: 9 (E) s'écrit : "1+' 1 1+0 "1+' =0 1+0 "1+' 1+0 1 1+0 "1+' =0 1+0$1 "1+' 1+0 =0 +6- =0 car ≠- et ≠-6.Le discriminant de -
++6 est D'' = 1 2 - 4 x (-1) x 6 = 25.Les racines sont :
"2 = 3 et "2 = -2 Les solutions de l'équation (E) sont : -2 et 3.VI. Signe d'un trinôme
Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY
Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q
Vidéo https://youtu.be/JCVotquzIIA
Remarque préliminaire :
Pour une fonction polynôme de degré 2 définie par - si a > 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le haut : - si a < 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas : Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par - Si D < 0 : x f(x)Signe de a
- Si D = 0 : x f(x)Signe de a O Signe de a
- Si D > 0 : xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Mettre sous formes Canonique
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