Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes
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Stage M2 informatique. UPPA/ Entreprise. Segmentation et caractérisation géométrique de l'espace poral d'un milieu poreux via une image tomographique 3D.
Serie N°15 : Géométrie dans lespace
b) On note P le point d'intersection de la droite (MN) et du plan (BCD). Prouver que P est sur (IJ). Exercice 4 : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB]
GÉOMÉTRIE DANS LESPACE : exercices page 1
On considère un cube ABCDEFGH de 6 cm d'arête. 1 ) Tracer le cube en perspective cavalière. 2 ) Placer I J
LES THEOREMES DES MILIEUX …alors Si
Dans un triangle la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. Exercices conseillés p230 n°13.
Éléments de géométrie pour la mécanique des milieux continus
03?/10?/2020 En mécanique des milieux continus (MMC) l'espace ambiant S est représenté par un espace affine euclidien de dimension 3.
Géométrie dans lespace
sont deux droites parallèles. 2.5. : Démontrer que deux plans sont parallèles. Exercice. SABCD est une pyramide. I et sont les milieux respectifs de.
Correction des exercices de géométrie dans lespace
VRAI : ls deux droites sont incluses respectivement dans deux plans orthogonaux (BEF) et (FGH). • Affirmation 3 : on appelle I le milieu du segment [EH]. La
Exercices29 mai 2016
Géométrie dans l"espace
Droites et plans
Exercice1
Soit un cube ABCDEFGH et un plan (IJK) tel que :
EI=23---→EH,--→AJ=23---→AB et--→FK=14--→FG
Déterminer l'intersection du plan (IJK) avec le cube ABCDEFGH. A BC DE F G H ?I J? KExercice2
ABCDEFGH est un cube d'arête 8 cm.
M, N et P sont les points respectivement
des arêtes [GH], [EF] et [AB] tels que :EN=MG=PB=2 cm
1) a) Construire les points Q et R, in-
tersections du plan (MNP) avec les arêtes [BC] et [CG] b) Vérifier que la section du cube par le plan (MNP) est un pentagone2) a) Calculer la longueur des côtés du
pentagone b) Dessiner ce pentagone en vraie gran- deur. A BC DE F G H ?M N P paul milan1 TerminaleS exercicesExercice3
Soit un tétraèdre ABCD et un plan (EFG)
tel que : •E est le centre de gravité du triangleABD, •--→BF=12---→BC et---→CG=15---→CA
Déterminer l'intersection d'un plan (EFG)
avec le tétraèdre ABCD. A B C D? E F? G?Exercice4
QCM Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Identifier cette réponse et justifier votre choix. ABCDEFGH est un cube d'arête 1. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CG].1) Le triangle IFJ est :
a) isocèle b) équilatéral c) rectangle isocèle2) La section du cube par le plan (IFJ) est :
a) un parallélogramme b) un trapèze c) un quadrilatère quelconque A BC DE F G H I? J3) Le plan (IFJ) coupe la droite (BC) en K.
a) C est le milieu de [BK] b) 2BK=3BC c) BK=3 BC4) Le plan (IFJ) coupe le segment [DC] en L.
a) 5CL=CD b) 6CL=CD c) 4DL=3DC paul milan2 TerminaleS exercicesExercice5
On considère le cube ABCDEFGH ci contre de côté 4 cm. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [GH], [AB], [EF] et [CD].1) Le point F appartient-il au segment [IC]?
2) Justifier que EG=GB=BD=DE.
Peut-on en déduire que EGBD est un losange?
3) Démontrer que le quadrilatères EIGK, GKJC et
EICJ sont des parallélogrammes.
4) Démontrer que EICJ est un losange.
5) Le quadrilatère EICJ est-il un carré?
A BC DE F G HI J |K |LExercice6
ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs de [AD]et [BC]. K est le point de l'arête [AB] tel que 3AK=AB.1) a) Construire le point M intersection de la droite (IK) et duplan (BCD).
b) Démontrer que D est le milieu de [BM]. On appelera E le milieude [BK] et on tracera [ED]2) a) En déduire la construction du point L intersection de [CD] et du plan (IJK).
b) Déterminer la valeur dekpour laquelle CL=kCD A B CD? I J? KVecteurs colinéaires et coplanaires
Exercice7
A, B, C sont trois points non alignés de l'espace. I est le milieu de [BC]. Le point G est tel que :---→GA+---→GB+---→GC=-→0 . a) Démontrer queGB+---→GC=2--→GI .
b) En déduire que les points G, A et I sont alignés et que G est lecentre de gravité du triangle ABC. paul milan3 TerminaleS exercicesExercice8
ABCD est un tétraèdre, I est le limieu de [BC]. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC, c'est à dire d'après l'exercice précédent que :---→GA+---→GB+---→GC=-→0 .On considère le point K tel que :
1) a) Démontrer que : 3
KG+---→KD=-→0
b) En déduire que les points K, G et D sont alignés.2) Trouver le réelktel que :---→DK=k---→DG puis placer K
sur la figure.D A C B I? G?Exercice9
ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de
[AB] et J celui de [EH]. a) Démontrer que :IJ=---→AE+1
2---→BD
b) En déduire que : 2IJ=---→AE----→HB
c) Pourquoi peut-on en déduire que les vecteurs---→AE ,---→HB et-→IJ sont copla- naires? A BIC DE F G HJDans un repère
Exercice10
1) On donne les points A(1;-1;2), B(0;5;3), C(4;-19;-1). Ces points sont-il alignés?
2) On donne les points A(3;2;2), B(-1;-4;4), C(1;0;1) et D(3;3;1). Les droites (AB)
et (CD) sont-elle parallèles?3) La droitedest dirigée par?u(2;-1;3) et la droited?est dirigée par?v(-4;2;-6). Quel
théorème vous permet d'affirmer que ces deux droites sont parallèles?Exercice11
On donne les points A(3;0;4), B(2;3;1), C(-1;2;3) et D(0;-1;6). a) Justifier que ces quatre points sont coplanaires. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?Exercice12
On donne les points A(0;1;3), B(⎷2;0;2) et C(⎷2;2;2). Quelle est la nature du triangle ABC?Exercice13
paul milan4 TerminaleS exercices On donne les points A(5;1;3), B(5;-3;-1), C(1;1;-1) et D(1;-3;3). Démontrer que leExercice14
On donne les points A(2;3;-1), B(2;8;-1), C(7;3;-1) et D(2;-1;2). Démontrer que les points B, C et D sont sur une même sphère de centre A.Exercice15
Plan médiateur de [AB] : plan dont les points sont équidistants de A et de B. Il est ainsi perpendiculaire au segment [AB] en son milieu On donne les points A(5;2;-1) et B(3;-1;1). Indiquer parmi les points suivants ceux qui appartiennent au plan médiateur de [AB] : Représentation paramétrique d'une droite et d'un planExercice16
y=-2+2t z=-1-tt?R1) a) Déterminer le point I deΔde paramètre 0.
b) Déterminer un vecteur ?udirecteur deΔ. c) Justifier qu'il existe un point deΔd'abscisse 5.2) La droiteΔpasse-t-elle par le point A?
-10;163;-143?
Exercice17
On donne les droitesdetd?de représentations paramètriques suivantes : ?x=6-3s y=-7+2s y=-3 z=-5+2tt?RDémontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'in-
tersection.Exercice18
On donne les points A(2;1;0), B(0;1;1) et C(0;3;2). a) Démontrer que les points A, B et C ne ont pas alignés. b) Vérifier queAB ,---→AC et?kne sont pas coplanaires.
c) La droite passant par O dirigée par ?kcoupe le plan (ABC) au point I. Calculer les coordonnées de I. paul milan5 TerminaleS exercicesExercice19
1) Démontrer que les trois points A(-1;2;5); B(1;0;-2) et C(0;2;-3) définissent un
plan.2) Déterminer une représentation paramétrique de ce plan
3) a) Prouver que les plans (ABC) et?O,?ı,???ne sont pas parallèles.
b) En déduire une représentation paramétrique de la droiteΔintersection de ces deux plans.Exercice20
L'espace est rapporté à un repère?
O,-→ı ,-→? ,-→k?
. On noted1la droite passant par les points A(1;-2;-1) et B(3;-5;-2). y=-2-3t z=-1-tt?R y=-1+2s z=-ss?RDémontrer qued1etd2ne sont pas coplanaires.
3) On considère le planPpassant par le point C(0;-3;0) et dirigé par les vecteurs
u(1;-4;0) et?v(0;-5;1) a) Démontrer que le planPcontient la droited1. b) Démontrer que le planPet la droited2se coupent en un point D dont on détermi- nera les coordonnées.Le produit scalaire
Exercice21
On donne les vecteurs?uet?vde coordonnées respectives : (1;⎷3;0) et (0;⎷3;1).1) Calculer
?u·?v2) Quelle est, à un degré près, la mesure de l'angle géométrique associé à?uet?v
Exercice22
ABCDEFGH est un cube d'arêtea. O est le centre de la face EFGH et I le milieu du segment [CG].1) Faire une figure. 2) Calculer en fonction dea
a)AO·---→CG
b)AO·--→GI
Exercice23
On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueura(aréel strictement positif). Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).1) Calculer, en fonction dea, les produits scalaires suivants :---→EA·--→AF,---→AB·--→AF,---→
BC·--→AF
2) En déduire que les vecteurs--→EC et--→AF sont orthogonaux.
On admettra de même que les vecteurs--→EC et---→AH sont orthogonaux. paul milan6 TerminaleS exercices3) En déduire que le point I est le projeté or-
thogonal de E sur le plan (AFH).4) a) Justifier les résultats suivants : les
droites (AF) et (EH) sont orthogo- nales,ainsiquelesdroites(AF)et(EI). b) En déduire que la droite (AF) est or- thogonales la droite (HI). c) Établir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).5) Que représenté le point I pour le triangle
AFH? ABC DE FG H IExercice24
Les points A, B et C ont pour coordonnées :
A(6;8;2),B(4;9;1)etC(5;7;3)
1) Déterminez la mesure de l'angle géométrique
?BAC.2) Les points A, B et C se projettent orthogonalement respectivement en A', B' et C' sur
le plan?O,?ı,???(d'équationz=0). a) Déterminez les coordonnées des points A', B' et C'. b) Déterminez la mesure de l'angle géométrique ?B'A'C'. Que constatez-vous?Équation cartésienne d'un plan
Exercice25
Déterminer, dans chaque cas, une équation cartésienne du planPpassant par les pointsA et de vecteur normal
?n. a) A(2;0;1) et ?n(1;-1;3) b) A(⎷2;-2;5) et?n(2;-3;-1)
Exercice26
Déterminer, dans chaque cas, une équation cartésienne du planPperpendiculaire en A à (AB). a) A(2;0;-1) et B(0;1;3). b) A(⎷2;-2;5) et B(-1;3;2)
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