Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes
26?/06?/2013 le parallélisme : deux droites parallèles sont représentées par des droites paral- lèles ;. • le milieu ou tout autre division d'un segment. 1.2 ...
Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes
29?/05?/2016 Vecteurs colinéaires et coplanaires. Exercice 7. A B
Géométrie des espaces de tenseurs Une approche effective
19?/06?/2015 4.3 Application à la mécanique des milieux continus. 93. 4.3.1 Géométrie de l'espace des tenseurs piézoélectriques.
Segmentation et caractérisation géométrique de lespace poral dun
Stage M2 informatique. UPPA/ Entreprise. Segmentation et caractérisation géométrique de l'espace poral d'un milieu poreux via une image tomographique 3D.
Serie N°15 : Géométrie dans lespace
b) On note P le point d'intersection de la droite (MN) et du plan (BCD). Prouver que P est sur (IJ). Exercice 4 : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB]
GÉOMÉTRIE DANS LESPACE : exercices page 1
On considère un cube ABCDEFGH de 6 cm d'arête. 1 ) Tracer le cube en perspective cavalière. 2 ) Placer I J
LES THEOREMES DES MILIEUX …alors Si
Dans un triangle la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. Exercices conseillés p230 n°13.
Éléments de géométrie pour la mécanique des milieux continus
03?/10?/2020 En mécanique des milieux continus (MMC) l'espace ambiant S est représenté par un espace affine euclidien de dimension 3.
Géométrie dans lespace
sont deux droites parallèles. 2.5. : Démontrer que deux plans sont parallèles. Exercice. SABCD est une pyramide. I et sont les milieux respectifs de.
Correction des exercices de géométrie dans lespace
VRAI : ls deux droites sont incluses respectivement dans deux plans orthogonaux (BEF) et (FGH). • Affirmation 3 : on appelle I le milieu du segment [EH]. La
Terminale S
4 51.1. Plan de l'espace ...................................................................................................................................... 51.2. Position relative de deux droites ............................................................................................................... 6
1.3. Exercice ................................................................................................................................................. 61.4. Position relative de deux plans ................................................................................................................. 71.5. Exercice ................................................................................................................................................. 7
2.1. Droites parallèles à un plan ..................................................................................................................... 72.2. Exercice : Montrer qu'une droite est parallèle à un plan .............................................................................. 82.3. Exercice : Utiliser le théorème du toit dans un tétraèdre .............................................................................. 9
2.4. Plans parallèles ..................................................................................................................................... 102.5. Exercice : Demontrer que deux plans sont paralleles ............................................................................. 10
2.6. Exercice : Construire la section d'un solide par un plan ............................................................................. 10
3.1. Droites orthogonales .............................................................................................................................. 113.2. Orthogonalité Droite-Plan ...................................................................................................................... 11
3.3. Plan médiateur ..................................................................................................................................... 123.4. Exercice : Démontrer une orthogonalité .................................................................................................... 12
13 19 2327
30
Rappel
Fondamental
Définition
coplanaires coplanaires On considère le parallélépipède suivant : Fondamental : Dans l'espace, deux plans peuvent être ... On considère le parallélépipède suivant :Fondamental
Fondamental : Théorème du toit
Attention
d d' d//d' [Solution n°1 p 30] (IK)(ABC)Indice :
On pourra montrer que est parallèle à une droite du plan (IK)(ABC) [Solution n°2 p 30] [Solution n°3 p 30]Indice :
On pourra utiliser le théorème du toit
Fondamental : Premier théorème
Fondamental : Second théorème
[Solution n°4 p 30]Indice :
Pour prouver que deux plans sont paralleles, il suffit de trouver deux droites secantes d'un plan qui
sont paralleles a l'autre plan. [Solution n°5 p 31]Définition
orthogonalesRemarque
perpendiculaireExemple
ABCDEFGH(AE)(GH)
(AE)(GH)Fondamental
Définition
orthogonale à un planComplément
Exemple
(d)BCGF(BM)(CM)Fondamental : Propriétés
Définition
[AB]ABFondamental
[AB](AB) [AB] [Solution n°6 p 32] ABCD (CD)(AB)Indices :
Dans un tétraèdre régulier, toutes les arrêtes sont de la même longueur.On pourra construire le point milieu de I[CD]
Définition
colinéairestRemarque
Complément
dépendants indépendantslibres [Solution n°7 p 32] [Solution n°8 p 33]Indice :
On pourra remarquer que
[Solution n°9 p 33]IJKL(AC)(IJKL)
Indice :
On pourra exprimer en fonction de
[Solution n°10 p 33] (BD)(IJKL)Fondamental : Caractérisation d'une droite
M vecteur directeurFondamental : Caractérisation d'un plan
M xyAFondamental : Conséquences
[Solution n°11 p 34]Indice :
On pourra utiliser de manière astucieuse la relation de Chalses [Solution n°12 p 34] [Solution n°13 p 34]Indice :
Si une droite est incluse dans un plan , tout vecteur directeur de la droite est un vecteur du plan Cela est une conséquence directe de la . dernière propriété vue sur cette page* - p.27 [Solution n°14 p 34] [Solution n°15 p 35]Indice :
On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Définition
coplanaires ABCDExemple
coplanairesFondamental
coplanairesComplément : Démonstration
ABCD ABC ABCD DAttention
Définition
indépendantslibres Dans le cube ci-contre, cochez les triplets de 3 vecteursFondamental
coordonnéesMAComplément : Démonstration
ABCDM ABC A M (ABC)H xyz ABFondamental : Coordonnées d'un vecteur
Fondamental : Coordonnées du milieu d'un segment [AB]Fondamental : Norme d'un vecteur
Complément : Avec les coordonnées de vecteur [Solution n°16 p 35] [Solution n°17 p 35]ABCDABCD
Fondamental
A ADéfinition
représentation paramétriqueExemple
tRemarque
[Solution n°18 p 35] (AB)Indice :
Un vecteur directeur de la droite est (AB)
[Solution n°19 p 35] [Solution n°20 p 36]Indice :
Il faut déterminer s'il existe deux paramètres et permettant à un même triplet de coordonnées tt'
de vérifier les deux représentations paramétriques.(x ;y ;z) [Solution n°21 p 36] [Solution n°22 p 36] [Solution n°23 p 37]Indice :
On pourra montrer qu'elles sont perpendiculaires
On pourra trouver deux points et respectivement sur et [Solution n°24 p 37]Soit ABCD un tétraèdre.
I est le milieu du segment [BD] et J est le milieu du segment [BC]L'intersection des plans (ACD) et (AIJ) est
ABCDEFGH
[EH][BF] (BIG) (AE)Le point K
[AE] [AE] E est égal àLes vecteurs , et sont
Le milieu du segment est :[KG]
[IB] [HJ] passe par le point de coordonnées a un vecteur directeur de coordonnées :Les droites et sont
Le point est
Les vecteurs , et sont coplanaires
La droite est parallèle au plan (AB)(xOz)
La droite est parallèle à l'axe des ordonnées.(AB) La droite passant par le point et dirigée par et la droite (AB) sont coplanaires.Fondamental : Caractérisation d'une droite
M vecteur directeurFondamental : Caractérisation d'un plan
M xyAFondamental : Conséquences
Fondamental
Fondamental : Théorème du toit
Attention
d d' d//d'Exercice p. 10
Exercice p. 9
Exercice p. 9
Exercice p. 8
(SAC)IK[SA][SC](IK)
(AC) (IK)(ABC)Exercice p. 10
Pour la face AEFB
Pour la face EFGH
Pour la face CDHG
Pour la face ABCD
Pour finir
Exercice p. 14
Exercice p. 12
Méthode : 1ère méthode : A l'aide du plan médiateur ABI [CD] (CD)(AB) (AB)(CD) Méthode : 2ème méthode : Montrer que (CD) orthogonale à (ABI)ADC(AI)A
BCD (AI)(BI)(ABI) (CD) (ABI)(CD) (AB)(CD)Exercice p. 14
Exercice p. 14
Exercice p. 14
IJKL (AC)(IJKL)on peut affirmer - p.28 (AC)(IJKL)Exercice p. 16
Exercice p. 16
Exercice p. 15
Exercice p. 15
(BD)(IJKL)Utilisation de la relation de Chasles
propriétés vues précédemment - p.27Exercice p. 21
Exercice p. 21
Exercice p. 20
Exercice p. 20
Exercice p. 16
les propriétés vues précédemment - p.27 B (AB)(CD)donc coplanaires - p.28 ABCD (AB)Exercice p. 22
Exercice p. 22
Exercice p. 21
(x ;y ;z) (AB) t t t'Exercice p. 22
Exercice p. 22
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