[PDF] Les équations différentielles en physique

Formulaire pour les équations différentielles. O.KELLER - TSI1 Page 1 sur 2 Lycée Louis Vincent Metz Les équations différentielles en physique Uneéquati ondifférentielle,estune équationliantlesdifférentesdérivéesd'une fonctiony. Enphysique,ons'intéresseratoutparticulièrementauxdérivéestemporelles(dy/dt).Uneéquationdifférentielleestditedu"premierordre»siellenecontientqueladérivéepremièredey(y').Elleestditedu"secondordre»siellecontientladérivéesecondedey(y"),etainsidesuite.Uneéquationdifférentielleestditeàcoefficientsconstantssilescoefficientsdevantyetsesdérivéessontconstants(indépendantsdutemps).Uneéquationdifférentiellelinéairenefaitinterveniryetsesdérivéesqu'àlapuissanceun.Decettefaçon,siy1(t)et y2(t)so ntdeuxsoluti ons,al orsy1(t)+y2(t)es taussis olution.Enphysique,onnes'intéresseraqu'àdeséquationsdifférentielleslinéairesàcoefficientsconstants.Equationdupremierordre.Laform ecanonique(form e"standard»uti liséeenphysique)d'uneéquationdifférentielledupremierordreest:dydt+yτ=Bτ(Delaformey'+ay=benmaths)avecτ,untempscaractéristique,etB/τ,unsecondmembrequelconque.Résolution:Pourtrouverlasolutiony(t)d'unetelleéquation,ilfautprocéderendeuxétapes.-Onrésoutl'équationhomogène,c'estl'équationsanssecondmembre:dydt+yτ=0.LessolutionssontdelaformeyHt()=Aexp-tτ⎛⎝⎜⎞⎠⎟oùAestuneconstantequel'ondétermineraaveclesconditionsinitiales.-Onchercheunesolutionparticulièredel'équationavecsecondmembre.Lasolutionparticulièrealamêmeformequelesecondmembre.Ainsi,siBestuneconstante,alorsonchercheunesolutionparticulièreyPconstante:yP=Bconvient.Bcorrespondaurégimepermanentouàlapositiond'équilibre.-Lasolutiongénéraledel'équationdifférentielleestlasommeestalors:yt()=yHt()+yP=Aexp-tτ⎛⎝⎜⎞⎠⎟+B.-OndétermineAenutilisantlesconditionsinitiales:yt=0()=A+B.EquationsdifférentiellesdudeuxièmeordreLaformecanoniqued'uneéquationdifférentielledudeuxièmeordreest:d2ydt2+ω0Qdydt+ω02y=ω02yeq(Delaformeay"+by'+cy=denmaths)avecQ,lefacteurdequalité,ω0lapulsationpropreetyeq,unsecondmembrequelconque.