Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités
Pour réussir à mettre une expression sous forme canonique il faut connaître et savoir manipuler parfaitement les identités remarquables. Exemple.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ? ? et ? sont des nombres réels. f (x) = 2x2 ? 20x +10. = 2 x2 ?10x.
La forme canonique
Ne pas hésiter à développer l'expression obtenue pour vérifier si elle est égale à celle du départ. —Exemple traité—. Mettre sous forme canonique l'expression
Outils mathématiques : Résolution déquations différentielles
Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants : y' + ay = f(x). Identifier l'ordre. Mettre l'équation sous forme canonique.
Forme canonique des fonctions de transfert
Forme canonique des fonctions de transfert. Filtres du premier ordre. Filtre passe bas. H(jx) = H0. 1 + jx. Filtre passe-haut H(jx) = H0.
Déterminer la forme canonique
Ne pas hésiter à développer l'expression obtenue pour vérifier si elle est égale à celle du départ. Exemple traité. Mettre sous forme canonique l'expression
4 Asservissement ordres 1 et 2
17 févr. 2013 1+?BF p. 2. Ordre 1. ? Fonction de transfert en BF. ? Etape 2 (mise sous forme canonique) : Aymeric Histace.
FONCTION DE TRANSFERT DUN SYSTEME LINEAIRE CONTINU
fonctionnel peut alors être mis sous la forme d'un schéma-blocs qui contient On définit la forme canonique d'une fonction de transfert en mettant en ...
Support de cours : Introduction à la programmation linéaire
On peut toujours transformer la forme canonique en forme standard en ajoutant des variables d'écart. UPEC - Master ScTIC. 4. Page 6. Forme canonique maxcx.
Les équations différentielles en physique
Equation du premier ordre. La forme canonique (forme « standard » utilisée en physique) d'une équation différentielle du premier ordre est :.
Support de cours : Introduction à la
programmation linéaireViet Hung Nguyen
Hung.Nguyen@lip6.fr
UPEC - Master ScTIC0
La programmation linéaire
Forme canonique d"un programme linéaire denvariables non-négatives andmcontraintes : maxcx(1) s.c.(2)Axb(3)
x0(4) oùcT2Rn(cTestctransposé,cest donc un vecteur ligne),x2Rn,b2Rmet A2Rmn. (02Rnest un vecteur dont tous les composantes sont nulles). (1)est la fonction objectif. (3)sont les contraintes.UPEC - Master ScTIC1
On peut transformer n"importe quel programme linéaire sous forme canonique : Toute égalitésax=best remplacée par deux inégalitésaxbetaxb. Multiplier par un scalaire négatif pour inverser le sens des inégalités et le sens de l"optimisation (maximisation vs minimisation) si nécessaire. Remplacer les variablesxilibre de signe par la différence des deux variables non-négativesx1ix2i.UPEC - Master ScTIC2
Exemple
max4x1+5x2 s.c.2x1+x28
x1+2x27
x 23x
10;x20
On ac=4 5,b=2
487 33
5 etA=2 42 1
1 2 0 13 5
UPEC - Master ScTIC3
Forme standard
maxcx s.c. Ax=b x0 On peut toujours transformer la forme canonique en forme standard en ajoutant des variables d"écart.UPEC - Master ScTIC4
Forme canonique
maxcx s.c. Axb x0Forme standard maxcx s.c.Ax+Ie=b
x0;e0 oùe=2 4e 1... e n3 52Rnest le vecteur dont les composantes sont les variables
d"écart.Exemple.
UPEC - Master ScTIC5
Forme canonique
max4x1+5x2 s.c.2x1+x28
x1+2x27
x 23x
10;x20Forme standard
max4x1+5x2 s.c.2x1+x2+e1=8
x1+2x2+e2=7
x2+e3=3
x1;x2;e1;e2;e30
On va travailler par la suite sur la forme standard. De plus, on va supposer que l"origine 02Rnest toujours une solution pour la forme canonique du problème.UPEC - Master ScTIC6
Forme standard : base et solution de base
Pour une question simplification de notations, on re-écrit la forme standard comme suit: maxcx s.c. Ax=b x0 oùc2Rn,x2Rn,b2RmetA2Rmn. SoitJ=f1;:::;ngl"ensemble des indices des colonnes deA. Pour tout sous-ensembleBJ, soitN=JnB et soientABetANrespectivement les sous matrices deAconsistant en les colonnes indexées parBet parN.UPEC - Master ScTIC7
Forme standard : base et solution de base (cont.)
Définition.Best unebasesiABest carrée (i.e.2mathbbRmm) and régulière (i.e.A1Bexiste). On associe à la baseBle vecteur¯x2Rnqui se décompose en¯xB= A1Bbet¯xN=0. On appelle¯xsolution de baseB. De plus, si¯x0alors
¯xest unesolution de base réalisable. Dans ce cas, on dit queBestune base réalisable.Dans la décomposition¯x=¯xB
¯xN
, les composantes de¯xBsont appelées les variables de baseet celles de¯xNsont appeléesles variables hors base.UPEC - Master ScTIC8
Ré-expression des contraintes principales (hormis lescontraintes de non-négativité) par rapport à une baseÉtant donnée une base réalisableB, on peut récrireAx=benABANxB
x N =bouABxB+ANxN=b.Multiplier ce système parA1B, on obtient
xB+A1BANxN=A1Bb
ou encore xB=A1BbA1BANxN;
UPEC - Master ScTIC9
Coûts réduits ou profits marginaux
Utilisons cette expression pour exprimer la fonction objectif par uniquement les variables hors basexN: cx=cBcNxB x N =cBxB+cNxN=cB(A1BbA1BANxN)+cNxN =cBA1Bb+(cNcBA1BAN)xN SoitP2Rm=cBA1B, les composantes dePsont appeléeles multiplicateurs du simplexe. Soit¯cT2Rnoù¯cB=0et¯cN=cNPTAN. On appelle¯c, le vecteur des coût réduits(si l"objectif est une minimisation) ouprofits marginaux(si l"objectif est une maximisation).UPEC - Master ScTIC10
Tableau du simplexe associé à une base
Étant donné une baseB, on associe àBle tableau suivant:J BA1BA¯
b¯cPboù¯b=A1Bb.
Ce tableau nous renseigne les informations suivantes à propos deB:Est ce queBest réalisable ? (A1Bb0?)
Est ce queBest optimale ? (¯c0si maximisation et¯c0si minimisation). La solution de basexassociée àBestxB=¯bandxN=0. Elle est réalisable siBest réalisable et elle est optimale siBest optimale.UPEC - Master ScTIC11
Changement de base
On peut améliorer la solution actuelle si elle n"est pas optimale en faisant un changement de base. La procédure est la suivante. Choisir une variable hors basexjoùj2Ntel que¯cj>0si on est en maximisation et¯cj<0si on est en minimisation. La variablexjest appeléela variable entrante.Soity=A1BAjla colonnejdu tableau. On calcule
i= argmin(¯bky k:k2Bt:q:yk>0)La variablexiest appeléela variable sortante.
UPEC - Master ScTIC12
On obtient une nouvelle baseB= (Bn fig)[ fjg. On effectue une opération de pivot sur l"élément à la la ligneiet colonnejpour obtenir le tableau associé à la nouvelle base.UPEC - Master ScTIC13
Opération de pivot sur le tableau du simplexe
J BA1BA¯
b¯cPbOn suppose quenpremière colonnes du tableau est indexées parJ. La dernière colonne qui est en fait¯bprend l"indicen+1. Lesmpremières lignes du tableau sont indexées parB. La dernière ligne qui se compose de¯cetPbprend égalementl"indicen+1.L"opération de pivot sur l"élément à la ligneiet à la colonnej(i.e. le pivot)
est comme suit.On divise la ligneipar le pivot.
Tous les éléments de la colonnejà l"exception du pivot deviennent 0. Pour tout autre élément à une lignehet à une colonnek, la nouvelleUPEC - Master ScTIC14
valeurt0hkest calculée par la formule suivante. t0hk=thkthjtikt
ij;UPEC - Master ScTIC15
Méthode du simplex du tableau
Initialisation.
Construire le tab leauassocié à la base f orméepar les variables d"écart.Pas 1.
Si la base est optimale (i.e .¯c0pour maximisation et¯c0pour minimisation) alors STOP.Pas 2.
Choisir une v ariableentrante xjtel que¯cj0pour maximisation ou¯cj0pour minimisation. Si la colonnejdu tableau contient que les éléments non-positifs (sauf la dernière ligne) alors STOP le problème est non-borné.Pas 3.
Déterminer une v ariablesor tantexi.
UPEC - Master ScTIC16
Pas 4.Eff ectuerl"opération de piv otsur l"élément à la ligne iet à la colonnej. Retour au Pas 1.UPEC - Master ScTIC17
Exercice.
On souhaite tirer le meilleur rendement d"un avion transporteur qui rapporte 3K euros par tonne de fret transportée dans la cabine et 1K euros par tonne de fret transportée dans la soute, sachant que la capacité de la soute est de 20 tonnes et celle de la cabine est de 10 tonnes, que pour des raisons de sécurité, la charge maximale que peut accepter l"avion est de 28 tonnes et enfin que, pour des raisons d"équilibrage, le fret de la cabine amputé d"une tonne ne doit pas excéder les deux tiers du fret de la soute. 1. Modéliser ce pr oblèmecomme un pr ogrammelinéaire sous f orme canonique. 2. Eff ectuerune résolution graphique et en déduire le rendement optimal par vol.UPEC - Master ScTIC18
3.Mettre le pr ogrammede la Question 1 sous f ormestandar det le
résoudre par la méthode du simplexe tableau.UPEC - Master ScTIC19
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