[PDF] Convergence de suites Suites récurrentes

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Convergence de suites

Exercice 1Les suites dont on donne ci-dessous le terme general sont-elles convergentes? a) cosn+ 3nlnn+ 2nb)p4n2+ 5n+ 62nc)enpn d)sinne ne)nX k=0e kf)3n2n3 n+ 2n g) sinnn h) 2n(1)nn2 Exercice 21) Etudier la convergence de la suite de terme generalun=nX k=11k(k+ 1).

2) On considere la suite de terme generalsn=nX

k=11k 2. i) Montrer que (sn) est croissante. ii) Montrer que pour8n2,sn1 +un1, et en deduire que (sn) est majoree. iii) Que dire de la convergence de (sn)?

Suites recurrentes

I. POSITION DU PROBLEME

SoientIun intervalle deR, etf:I!Rune fonction. Supposons que l'intervalleI est stable parf, c'est-a-dire quef(I)I. Dans les exemples simples,fsera une fonction continue surI. On se donne un elementu02I, et l'on veut etudier la suite (un) denie par u

0et la relation de recurrenceun+1=f(un).

L'hypothese de stabilite de l'intervalleIparfest essentielle, car sinon la suite (un) ne serait pas denie. Tous les termes de la suite (un) appartiennent donc a l'intervalleI. Etudier une suite, c'est savoir si elle est divergente ou convergente, et dans ce cas etudier sa limite. Un moyen d'etude consiste a analyser le sens de variation de la suite (un) et a chercher si elle est majoree ou minoree. Nous savons en eet que toute suite croissante et majoree est convergente, et que toute suite decroissance minoree est convergente egalement.

II. LES TROIS CAS DE FIGURE

Dans ce qui suit, nous allons nous poser trois questions : { Comment montrer qu'une suite recurrente est majoree ou minoree? { Comment montrer qu'une suite recurrente est monotone? { Que peut-on dire de la limite eventuelle d'une suite recurrente? A. Comment montrer qu'une suite recurrente est majoree ou minoree? Supposons pour simplier les idees quefest continue surR(doncI=R). Si nous voulons montrer que la suite (un) est majoree, nous devons montrer qu'il existeM2Rtel que pour 1 tout entiern,unM. Pour cela, il sut quef(] 1;M])] 1;M], et l'on peut alors montrer par recurrence surnqueunM. La conditionf(] 1;M])] 1;M] signie que l'intervalle ]1;M] est stable parf. Si la fonctionfn'est pas denie surRtout entier mais sur un intervalleIstrictement contenu dansR, il faut alors remplacer ] 1;M] par ] 1;M]\I. Si de m^eme nous voulons montrer que la suite (un) est minoree, nous devons montrer qu'il existem2Rtel que pour tout entiern,unN. Pour cela, il sut quef([N;1[)[N;1[, et l'on peut alors montrer par recurrence surnqueunN. La conditionf([N;1[)[N;1[ signie que l'intervalle [N;1[ est stable parf. Si la fonctionfn'est pas denie surRtout entier mais sur un intervalleIstrictement contenu dansR, il faut alors remplacer [N;1[ par [N;1[\I. B. Comment montrer qu'une suite recurrente est monotone?

1. Directement

Considerons la suite recurrente denie par la donnee deu02Ret la relation de recurrence u n+1=un+u2npour tout entier natureln. On a alorsun+1un=u2n0, et donc cette suite est croissante!

2. En utilisant la proposition suivante

Proposition 1.SoientIun intervalle deR, etf:I!Rune fonction continue. Supposons que l'intervalleIest stable parf. Notons(un)la suite denie par la donnee deu02Iet la relation de recurrenceun+1=f(un). Si la fonctionfest strictement croissante surI, alors la suite(un)est monotone. Siu1u0>0, elle est strictement croissante. Siu1u0<0, elle est strictement decroissante. Enn, siu1=u0, elle est constante egale au0. Preuve 1.Sifest strictement croissante, et siu0< u1, verions par recurrence surn que pour toutnentier naturel nous avonsun< un+1. La propriete est vraie au rang 0. Supposons qu'elle est egalement vraie au rangn. On a doncun< un+1. La stricte croissance defimplique alorsf(un)< f(un+1), c'est-a-direun+1< un+2, de sorte que la propriete est vraie au rangn+ 1. Attention, sifest strictement decroissante, la suite (un) n'est pas monotone. En eet, si la suite (un) etait par exemple strictement croissante, on aurait pour tout entier naturel n,un< un+1. La stricte decroissance defimpliquerait alorsf(un)> f(un+1), c'est-a-dire u n+1> un+2, ce qui est absurde. On pourrait verier de m^eme que (un) ne peut pas ^etre decroissante. On dispose neanmoins le resultat suivant. Proposition 2.SoientIun intervalle deR, etf:I!Rune fonction continue. Supposons que l'intervalleIest stable parf. Notons(un)la suite denie par la donnee deu02Iet la relation de recurrenceun+1=f(un). Si la fonctionfest strictement decroissante surI, alors les deux suite(vn)et(wn) denies respectivement parvn=u2netwn=u2n+1sont monotones. 2 Siu2u0>0, la suite(vn)est strictement croissante. Siu2u0<0, elle est strictement decroissante. Enn, siu2=u0, elle est constante egale au0. Siu3u1>0, la suite(wn)est strictement croissante. Siu3u1<0, elle est strictement decroissante. Enn, siu3=u1, elle est constante egale au1. De plus si la suite(vn)est croissante, alors la suite(wn)est decroissante, et de m^eme, si la suite(vn)est decroissante, alors la suite(wn)est croissante. C. Que peut-on dire de la limite eventuelle d'une suite recurrente? Dans ce paragraphe, il est capital de preciser que l'intervalleIsur lequelfest denie est ferme! Nous avons alors la proposition suivante. Proposition 3.SoientIun intervalle ferme deR, etf:I!Rune fonction continue. Supposons que l'intervalleIest stable parf. Notons(un)la suite denie par la donnee de u

02Iet la relation de recurrenceun+1=f(un).

Dans ces conditions, si la suite(un)converge versL, alors on aL=f(L). On dit queL est un point xe def. Preuve 2.On a par denitionun+1=f(un). De plus,un2Ipar reccurence surn, et L2IpuisqueIest ferme. La fonctionfetant continue surI, on alimn!+1f(un) =f(L). D'autre part,un+1tend versLlorsquentend vers+1. Par unicite de la limite d'une suite convergente, on a doncL=f(L).

III. SYNTHESE

Lors de l'etude de suites recurrentes, il est interessant de determiner, { les points xes defs'ils existent, { les intervalles stables bornes a droite (comme par exemple ] 1;M]) ou a gauche (comme par exemple [N;1[), { les intervalles stables parfsur lesquelsfest strictement croissante ou strictement decroissante (mais c'est plus complique dans ce dernier cas). Le moyen le plus simple pour y parvenir est d'etudier la fonctionfet le tableau de ses variations. Si la fonction est decroissante, on pourra s'aider de sa courbe representative.

IV. EXERCICES

Exercice 1Etudier la suite (un) denie par la donnee deu02Ret la relation de recurrenceun+1= u2n+un. Exercice 2Etudier la suite (un) denie par la donnee deu02Ret la relation de recurrenceun+1=13 (u3n+ 1). Exercice 3Etudier la suite (un) denie par la donnee deu02Ret la relation de recurrenceun+1= 3 pu

2n+q, oupetqsont deux reels appartenants a l'intervalle ]0;1[ et veriantp+q= 1.

Exercice 4Etudier la suite (un) denie par la donnee deu02]0;1[ et la relation de recurrence u n+1=p1un. 4

Devoir maison : suites

I. Suites arithmetiques :un=u0+nr

Exercice 1Parmi les suites suivantes, determiner celles qui sont arithmetiques : a)un=2n+ 5 b)un=n33n2+ 2 c)un= (n+ 1)2n2 d)un= 7 + 2n e)un+1=un+n1 etu0= 3 Exercice 2Montrer que la sommeSndes termes d'une suite arithmetique dei= 0 ai=nest donnee par S n=n+ 12 (u0+un): Exercice 3Soit (un) une suite arithmetique de premier termeu0= 5. On sait queu0+u1+u2++u10=

253. Calculeru20.

II. Suites geometriques :un=u0qn

Exercice 1Representer graphiquement les suites geometriques dont le premier termeu0et la raisonq sont : a)u0= 1=2 etq= 2 b)u0= 1=2 etq=2 c)u0= 8 etq= 1=2 c)u0= 8 etq=1=2 Exercice 2Soit (ui) une suite geometrique de premier termeu0et de raisonq.

1) Calculer

S n=nX i=0u i=nX i=0u 0qi pourq6= 1 puis pourq= 1.

2) Que dire de limn!1Sn?

III. Convergence d'une suite

Dans cet exercice, nous allons revoir dierents resultats lies a l'etude de la convergence de suites : { une suite non bornee n'est jamais convergente (a), { une suite bornee n'est pas necessairement convergente (c), { la limite d'une suite est apparentee a la limite d'une fonction, { une suite a termes positifs est croissante si et seulement si8n; un+1=un1 (b), 5 { une suite croissante et majoree converge (b), { une suite absolument convergente n'est pas neecessairement convergente (c), { une suite absolument convergente vers 0 converge vers 0 gr^ace au theoreme d'encadre- ment (d). Pour voir cela sur des exemples simples, on peut etudier la convergence des suites sui- vantes : a)un=n b)un=nn+ 1 c)un= (1)n+1 d)35 ;425 ;5125 ;6625 ;73125

IV. Suites adjacentes

Exercice 1Soient (un) et (vn) deux suites denies par u n= 1 +11

222+12

232+13

242++1(n1)2n2;etvn=un+13n3;8n2:

Montrer qu'elles sont adjacentes.

Exercice 2M^eme question avec les suites

u n= 1 +12 2+13 2+14 2++1n

2;etvn=un+1n

;8n1:

V. Suites recurrentes

Nous allons essayer de faire ensemble, de maniere guidee, le premier exercice de la page

3. Pour cela, il sut de suivre rigoureusement les indications du cours.

Exercice 1On demande d'etudier la suite (un) denie par la donnee deu02Ret la relation de recur- renceun+1=u2n+un. Cette relation de recurrence est de la formeun+1=f(un), et la fonction en question estf(x) =x2+x.

1) Etudions la fonctionf. Son domaine de denition estR. De plus,8x2R,

f

0(x) =2x+ 1:

On en deduit quef0(x) = 0,x= 1=2, etf(1=2) = 1=4. Finalement, on a limx!1f(x) = +1 et lim x!1f(x) =1. Ceci nous permet de tracer le tableau des variations def. Super.

2) Maintenant, etudions les points xes eventuels def. Nous savons en eet que si la suite

6 (un) converge, ce cera obligatoirement vers un point xe def. Les points xes sont les va- leursLtelles quef(L) =L,L=L2+L. Cette equation n'admet qu'une seule solution, qui estL= 0.

3) Revenons a notre suite. Quel est son sens de variation? Tres simplement, on trouve que

u n+1un=u2n0; ce qui nous montre que (un) est decroissante. Nous savons donc a present que la suite (un) est decroissante. Il peut lui arriver deux choses : soit elle converge, et ce sera necessairement vers 0; ou alors elle diverge. A votre avis comment cela va se decider? Selon la valeur de u

0bien sur! En eet, nous n'avons toujours rien dit sur le premier terme de la suite. Nous

devons distinguer quatre cas. i) Siu02]1;0[, comme ]1;0[ est un intervalle stable parf, c'est-a-diref(]1;0[) ]1;0[, on peut montrer par recurrence que8n2N,un2]1;0[. Mais comme (un) est decroissante, cela implique que (un) diverge vers1. ii) Siu0= 0, alors la suite (un) est constante, egale a 0. On a donc limn!+1un= 0. iii) Siu02]0;1=2], commef(]0;1=2]) = ]0;1=4]]0;1=2] d'apres le tableau des variations def, on peut montrer par recurrence que8n2N,un2]0;1=2]. Cela prouve que (un) est minoree (par 0). Mais comme (un) est egalement decroissante, alors (un) converge! Comme la suite ne peut que converger vers un point xe def, on a limn!+1un= 0. iv) Siu02]1=2;+1[, cela devient un peu plus complique. En eet, l'intervalle ]1=2;+1[ n'est pas stable parf, car on af(]1=2;+1[) = ] 1;1=4[. Cependant, comme on sait que f(u0) =u1, on au12] 1;1=4[, ce qui nous ramnene donc aux cas i) ou iii), a partir du termeu1. On peut donc poser la question suivante : pour quelles valeurs deu02]1=2;+1[ a-t-onu12] 1;0[ ouu12]0;1=4[? C'est facile, ecrivonsu1<0 : u

1<0,f(u0)<0, u20+u0<0,u0(1u0)<0,u0>1:

Donc siu0>1, on aurau1<0, et l'on se retrouve dans le cas i), c'est-a-dire limn!+1un=1. Si en revanche on au02]1=2;1], alors limn!+1un= 0.

VI. Suites recurrentes (encore)

La methode que nous venons de voir dans la partie V est une methode generale qui per- met d'etudier n'importe quelle suite recurrente d'ordre 1, en distinguant selon les dierentes valeurs deu0comme nous l'avons fait. Cependant, il arrive dans certains exercices que la methode utilisee soit dierente (par exemple si la fonctionfest trop compliquee). On va alors vous guider en plusieurs etapes. C'est le cas des excercices suivants. Exercice 1Soit (un) la suite denie par la relation de recurrenceun+1=2 + 3un4 +unet le premier terme 7 u 0=14

1) Calculeru1,u2,u3, etc. S'agit-il d'une suite arithmetique ou geometrique?

2) Montrer que siun+1= 1, alorsun= 1. En deduire que8n2N,un6= 1.

3) Montrer que la suite (vn) denie parvn=2 +un1unest une suite geometrique.

4) Exprimervnen fonction den, puis en deduire une expression deunen fonction den.

5) La suite (un) est-elle convergente?

Exercice 2Soit (un) la suite denie par la relation de recurrenceun+1=2un2 + 7unet le premier terme u 0=12

1) Calculeru1,u2,u3, etc. S'agit-il d'une suite arithmetique ou geometrique?

2) Montrer que siun+1= 0, alorsun= 0. En deduire que8n2N,un6= 0.

3) Montrer que la suite (vn) denie parvn=2unu

nest une suite arithmetique.

4) Exprimervnen fonction den, puis en deduire une expression deunen fonction den.

5) La suite (un) est-elle convergente?

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