[PDF] 1) Suites monotones suites adjacentes.

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Exposé 56 : Suites monotones, suites adjacentes.Approximation d"un nombre reel,developpement decimal.(+calculatrice).

Pre requis :

- generalité sur les suites (CV,DV,...) - Suites definies par reccurence - Partie entiere d"un nombre reel x noté E(x) ou [x] - Toute partie non vide et majorée de ? admet une borne superieur.

1) Suites monotones, suites adjacentes.

a) Suites monotones

Definition :

- Une suite ( )nude nombres reels est dite croissante (resp. decroissante) si pour tout entier n, ( )nuest dite monotone si elle est croissante ou decroissante Remarque : il se peut qu"une suite ne soit pas monotone ( ) ( 1)n nu= -

Etude pratique de la monotonie.

etude du sugne de la difference 1n nu u+- Si ( )nuest non nul pour tout n, et si ( )nugarde un signe constant à partir d"un certain rang N, on etudie le rapport 1n n u u Si ( )nu est une suite definie à l"aide d"une fonction f par 1( )n nu f u+=avec : , ( )f I f I I→ ??, alors on etudie les variations de f. o Si f est croissante , ( )nuest monotone, sinon non(par contre dans ce cas

2( )nu et 2 1( )nu+le sont.

(preuve en utilisant la croissance de f) Theoreme : Toute suite monotone et bornée est convergente.(croissante et majorée ou decroissante et minorée).

Preuve :

Dans le cas d"une suite

( )nu croissante (sinon si ( )nu decroissante on prend ( )n nv u= - qui est croissante.)

Supposons la suite majorée. Alors

{ , }nu n??est une partie non vide et majorée de ?donc admet une borne superrieur notée l. l etant le plus petit des majorants de { , }nu n??, on a par definition :

La suite etant croissante, on en deduit que :

, ,, ,p n nn n p l u u l n n p u l

C"est-à-dire :

limnnu l Remarque : la suite converge vers la borne superieure (resp. inferieure) de ses valeurs.

Une suite croissante non majorée diverge.

Exemple/

b) Suites adjacentes Definition : soient ( )nu et( )nvdeux suites, elles sont dites adjacentes si ( )nuest croissante ( )nvest decroissante lim( ) 0n nnv u Theoreme : deux suites adjacentes sont convergentes et ont meme limite.

Preuve : on pose

( )nw=( )nu-( )nv qui est decroissante et qui converge vers 0 Donc 0 0 ,n n n n n u v u u v v

Les suites

( )nu et( )nv sont donc monotones et bornées donc convergentes.

Et donc

lim( ) lim( ) lim( ) 0n n n nn n nv u v u

2) Applications

a) Theoreme des valeurs intermediaires. Theoreme : Soit I un intervalle de ?, Soit :f I→?une application continue. Soit a et b appartenant à I avec aPreuve : Soit

0u a= et 0v b=

Pour tout n, on pose :

si 1 1( ) , ,2 2 n n n n si 1 1( ) , ,2 2 n n n n n n nu v u vf w u u v+ ++ +> = = ( )nuest croissante et ( )nv est decroissante et on a

2n nnb au v-- = donc lim( ) 0n nnv u

→∞- =, donc limnnu l→∞=,limnnv l→∞=

Par construction, on a :

On a donc f(c) = w.

b) Approxiamtion d"un nombre reel par les nombres decimaux Theoreme : pour tout nombre reel x et tout entier n, les suites ( )nv et( )nudefinies par

10 (10 )

10 n n n n n nu E x v u

Sont adjacentes et ont pour limite x

Definition :

( )nu(resp. ( )nv) est appelée approximation decimale par defaut (resp. par exces)

10n- pres de x.

c) Developpement decimal Definition : Soit x??. L"écriture 0 1 2, ... ...nx d d d d= avec 0d=E(x),

11, (10 ) 10 (10 )i i

ii d E x E x-? ≥ = - est appelée developpement décimale illimité de x.

Rq : le developpement decimale n"est pas unique.

1,00000000000000...=0,999999999999999999

Approximation d"un reel par son dvp decimal.

Soit x un reel tel que

0 1 2, ... ...nx d d d d=, on pose

0

1( ) ,( )10 10

n k n n n k n i du v u Alors ces deux suites sont adjacentes et converge vers x.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47