Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites

MONOTONIE DUNE SUITE

De telles suites ne sont pas monotones. Pour être monotone une suite doit étre croissante ou décroissante au moins à partir d'un certain rang. Je donne ici

Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n

5) Étudier les variations de la suite (un). Page 2. Première S3. IE5 comportement des suites. S2 2016-2017. 2.

LES SUITES

Variations monotonie d'une suite. Définition 1.1.2. Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ?. : un ? un+1 ;.

SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

Remarque : Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone. RÉSUMÉ. (un) une suite géométrique. - de raison q. - de premier terme u0.

Convergence des suites numériques

Le réel m est alors appelé un minorant de la suite (un). Page 2. 2/12. 14. Convergence des suites numériques.

Chapitre 11 - Monotonie dune suite et limite

strictement décroissante). 2. Vocabulaire : une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Traiter les exercices 5559 page 67. Indication : pour

Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1

De manière analogue on définit une suite strictement croissante

Chapitre 1 Suites réelles et complexes

Une méthode naturelle est de construire une suite (un) dont on sait calculer les termes et qui converge vers ?. Alors par définition de la convergence

Convergence de suites Suites récurrentes

1) Etudier la convergence de la suite de terme général un = Comment montrer qu'une suite récurrente est monotone?

LIMITE DUNE SUITE

Définition (Convergence/divergence) Soit (un)n? une suite réelle. On dit que (un)n? est convergente ou qu'elle converge si elle possède une limite FINIE. On

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43

2MSPM - JtJ 2023 Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

4.1 Quelques définitions

Définitions :

• Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : u n+1 u n ou: • Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal

à son précédent : u

n+1 u n ou: • Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante. • De manière analogue, on définit une suite strictement croissante, strictement décroissante ou strictement monotone lorsque l'inégalité qui lie ses termes est stricte. • Une suite est constante si tous ses termes sont égaux.

Exemples :

a) La suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... est une suite croissante. b) La suite 1, 1 2 1 3 1 4 , ... est une suite strictement décroissante. c) Observer la croissance de la suite u n = n4 , n IN Cette suite n'est ni croissante ni décroissante. On dira cependant que cette suite est strictement croissante à partir de son terme de rang 4. d) La croissance ou la décroissance d'une suite (u n ) peut être déterminée par l'étude du signe de u n+1 - u n

La suite (u

n ) donnée par u n = n 2 - n + 3 est strictement croissante, car pour tout n IN u n+1 u n

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 44

2MSPM - JtJ 2023 e) La suite (u n ) donnée par u 1 =1 u n+1 =u n 3 2 pour n1 est décroissante, car u n+1 u n

Exemples :

Exercice 4.1 :

Les suites (u

n ) suivantes sont-elles croissantes ? décroissantes ? a) u n =1 1 n , nIN b) u n =1+ (1) n n , nIN c) u n 3 n 2 n+1 , nIN d) u n =cos n 2 , nIN e) u 0 =3 u n+1 =u n 2 3 , n0

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 45

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Définitions :

• Une suite (u n ) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que chaque terme de la suite est inférieur ou égal à ce nombre. Dans ce cas, le nombre M est appelé un majorant de la suite. • La borne supérieure de la suite est le plus petit majorant de cette suite. • Une suite (u n ) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que chaque terme de la suite est supérieur ou égal à ce nombre. Dans ce cas, le nombre m est appelé un minorant de la suite. • La borne inférieure de la suite est le plus grand minorant de cette suite. • Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

La suite: 1 ; 1,1 ; 1,11 ; 1,111 ; 1,1111 ; ... est une suite strictement croissante qui n'atteindra jamais la valeur 2. Elle est dite majorée par 2. Trouver d'autres majorants de cette suite et quel pourrait être le plus petit de tous les majorants ?

Théorème :

Toute suite majorée possède un plus petit majorant. De même, toute suite minorée admet un plus grand minorant.

Preuve :

Nous admettons ce théorème sans démonstration. Vous le démontrerez qu'une fois votre maturité en poche.

Exercice 4.2 :

Reprendre les suites de l'exercice précédent ; sont-elles majorées ? minorées ? Indiquer les éventuelles bornes.

Indication : esquisser rapidement ces suites.

Exercice 4.3 :

Soit u

n la suite définie pour tout entier n > 0 par : u 1 = 0,1 ; u 2 = 0,11 etc... u n = 0,1...1 (n chiffres 1) a) Montrer que cette suite est strictement croissante. b) Cette suite semble-t-elle converger vers une valeur ? c) Montrer que u n peut s'écrire comme une somme de termes qui forment eux-mêmes une suite géométrique. d) Trouver le terme général de la suite u n e) Déterminer la borne supérieure de cette suite. f) Qu'en est-il de la suite 1 ; 1,1 ; 1,11 ; ...

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 46

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Exercice 4.4 : On considère la suite u

n nIN* définie par u n 2n7 3n+2 a) Montrer que (u n ) est strictement croissante. b) Démontrer que cette suite admet -1 pour minorant. c) Quelle est la borne inférieure de la suite ?

Exercice 4.5 :

Démontrer que 1/2 est un minorant de la suite

n 2 n 2 +1 nIN*

Exercice 4.6 :

On considère la suite u

n nIN* définie par : u 1 =2 u n+1 =2u n , n1 a) Écrire les quatre premiers termes de cette suite, puis les exprimer en puissance de 2. b) Déterminer puis démontrer par récurrence le terme général de la suite u n nIN* c) Exprimer u n+1 u n en fonction de n. d) En déduire que cette suite est croissante et majorée.

Exercice 4.7 :

On considère la suite s

n nIN de terme général : s n n n 2 +1 +n n 2 +2 +...+n n 2 +n a) Calculer s 1 , s 2 , s 3 et s 4 b) Déterminer le plus petit terme figurant dans la somme définissant s n c) Déterminer le plus grand terme figurant dans la somme définissant s n d) En déduire l'encadrement suivant : n n+1 s n n 2 n 2 +1

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 47

2MSPM - JtJ 2023

4.2 "Convergence" d'une suite vers + ou -:

Exemple d'introduction : Considérons la suite h n = 5n.

Existe-t-il une valeur que h

n ne puisse dépasser ? Disons un milliard pour se fixer les idées.

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 48

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Définition :

Une suite (u

n ) est dite "convergente" vers + si et seulement si, pour tout réel positif A, il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur ou égal à N, on a u n > A. En reprenant l'exemple précédent et en appliquant la définition précédente : Quelle que soit la hauteur A de la "barre", à partir d'un certain indice N, on est sûr que les termes de la suite seront toujours au- dessus de A. Remarquons que la valeur de N dépend de la hauteur

A que l'on veut dépasser.

Traduite en langage symbolique, la définition précédente devient :

Définition :

lim n+ u n AIR , NIN tel que nN u n >A

On considère la suite u

n nIN* définie par u n =2n 2 n+1

Calculer le plus petit entier naturel N tel que :

nN uquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43

4.1 Quelques définitions

Définitions :

à son précédent : u

Exemples :

La suite (u

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 44

Exemples :

Exercice 4.1 :

Les suites (u

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 45

Définitions :

Exemples :

Théorème :

Preuve :

Exercice 4.2 :

Indication : esquisser rapidement ces suites.

Exercice 4.3 :

Soit u

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 46

Exercice 4.4 : On considère la suite u

Exercice 4.5 :

Démontrer que 1/2 est un minorant de la suite

Exercice 4.6 :

On considère la suite u

Exercice 4.7 :

On considère la suite s

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 47

4.2 "Convergence" d'une suite vers + ou -:

Existe-t-il une valeur que h

CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 48

Définition :

Une suite (u

A que l'on veut dépasser.

Définition :

On considère la suite u

Calculer le plus petit entier naturel N tel que :