[PDF] DERIVEES I) Calcul de la fonction dérivée II) Application de la

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Dérivées 1/2 DERIVEES I) Calcul de la fonction dérivée

1) Dérivées des fonctions usuelles

Dérivée de

fonctions usuelles Type de fonction Fonction dérivable sur Fonction dérivée constante xka

R xa0 identité xxa

R xa1 affine xaxba+

R xaa puissance xxna, n³1 R xnxna-1 inverse x xa1 R* xxa-1

2 inverse de puissance xxn

a1, n³1 R* x nxn a-+1 racine carrée xxa ]0 ;+¥[ x xa1

2 logarithme népérien xxlna

]0 ;+¥[ x xa1 exponentielle xexa R x exa

2) Théorèmes usuels : u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors .

Opération la fonction somme de u et v u + v est dérivable sur I ; ()uvuv+¢=¢+¢ la fonction produit de u et v uv est dérivable sur I ; ()uvuvuv¢=¢+¢ la fonction produit de u par un réel ku, où kÎR est dérivable sur I ; ()kuku¢=¢ si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction quotient de u par v u v est dérivable sur I ; ()u vuvuvv¢=¢-¢ 2 la fonction composée de u par v uvo est dérivable sur I ()()uvuuvoo¢ la fonction carré de u u² est dérivable sur I ; uuu¢´=¢2)(2 si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction inverse de v 1 v est dérivable sur I ; ()1 2 vvv¢=-¢ la fonction puissance de u un où n³1 est dérivable sur I ; 1)(-´¢=¢nnuunu si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction racine carrée de u u est dérivable sur I ; ()u uu2¢=¢ si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction logarithme de u uln est dérivable sur I ; ()u uu¢=

¢ln

la fonction exponentielle de u ue est dérivable sur I ; ()uueue´¢=¢ II) Application de la fonction dérivée f ' : variations et extremum de f. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et ¢f sa dérivée.

Théorème :

· Si la dérivée ¢f est strictement positive sur I (sauf en quelques points isolés où elle s'annule), alors f est strictement

croissante sur I.

· Si la dérivée ¢f est strictement négative sur I (sauf en quelques points isolés où elle s'annule), alors f est strictement

décroissante sur I. · Si la dérivée ¢f est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Dérivées 2/2 Méthode : dans les exercices, l'étude justifiée du signe de la fonction dérivée ¢f donne le sens de variation de la

fonction f. Théorème : Soit x0 un réel de I (distinct des extrémités de I).

Si la dérivée ¢f s'annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum (local) de f sur I.

III) Tangentes à une courbe

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, x0 un nombre réel de I et C f la courbe représentative de la fonction f. Alors le nombre dérivé )(0xf¢ est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d'abscisse x0. Remarques : 1) Déterminer une équation de la tangente à C f au point d'abscisse x

0 revient à chercher une équation de la droite passant par le point de

coordonnées ())(,00xfx et de coefficient directeur )(0xf¢.

2) On peut rappeler la formule donnant l'équation de la tangente :

()()()000xfxxxfy+-¢=.

IV) Résolution d'équation

Théorème :Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b]. Si ¢f est strictement positive sur ]a ; b[ alors :

· f est strictement croissante sur [a ; b] ;

· Pour tout réel k appartenant à l'intervalle image [f(a) ; f(b)], l'équation f(x) = k admet une solution et une seule a dans [a ; b]. Rappel : f est croissante sur [a ; b] signifie que pour tous réels x et x' de [a ; b] tels que x £ x', on a f(x) £ f(x'). Théorème :Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b]. Si ¢f est strictement négative sur ]a ; b[ alors : · f est strictement décroissante sur [a ; b] ; · Pour tout réel k appartenant à l'intervalle image [f(b) ; f(a)], l'équation f(x) = k admet une solution et une seule a dans [a ; b]. Rappel : f est décroissante sur [a ; b] signifie que pour tous réels x et x' de [a ; b] tels que x £ x', on a f(x) ³ f(x').

Remarques : 1) On a besoin d'utiliser ces théorèmes, lorsque l'on ne peut pas résoudre algébriquement l'équation

considérée : le théorème assure l'existence d'une solution unique a dont on recherche ensuite une valeur approchée à

l'aide de la calculatrice.

2) Considérons un exercice dans lequel on a besoin d'utiliser un des deux théorèmes précédents ; par

exemple, " montrer que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique dans l'intervalle [-1 ; 10] ».

¬ On montre que ¢f est strictement positive sur ]-1 ; 10[ et on en déduit que f est strictement croissante sur [-1 ; 10] ; Á En montrant par calcul que f(-1) < 2 < f(10), on montre que 2 appartient bien à l'intervalle image [f(-1) ; f(10)] et on en déduit que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique dans l'intervalle [-1 ; 10]. OC f x 0f( x0) ()K+¢=xxfy0 Oa bf(b) f(a)y = ka C f

Oabf(a)

f(b)y = ka C f -1 f(-1)f(10)

2Î[f(-1) ;f(10)]a10C

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