[PDF] LES SUITES (Partie 2) M + 2 et. m = 2.

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LES SUITES (Partie 2)

I. Limites et comparaison

1) Théorèmes de comparaison

Théorème 1 :

Soit (u

n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang, í µ

et lim =+∞ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (u n ) pousse la suite (v n ) vers +∞ à partir d'un certain rang.

Démonstration au programme :

Soit un nombre réel a.

- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1

On a donc pour tout í µâ‰¥í µ

6 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 2 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), on a : í µ<í µ

On en déduit que l'intervalle

contient tous les termes de la suite (v n ) à partir du rang max(í µ 6

Et donc lim

Théorème 2 :

Soit (u

n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang, í µ

et lim =-∞ alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaison

Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4

Déterminer la limite suivante : lim

-1 -1 ≥-1 donc í µ -1 -1

Or lim

-1=+∞ donc par comparaison lim -1

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit (u

n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang, í µ

et lim =lim =í µ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (u n ) et (w n ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (v n ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.

Démonstration :

Soit un intervalle ouvert I contenant L.

- lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1 3 - lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 2 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 3 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), l'intervalle I contient tous les termes de la suite (v n

Et donc lim

Méthode : Déterminer une limite par encadrement

Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw

Déterminer la limite suivante : lim

1+

BCDí±¢

1 siní µ 1

Or : lim

1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes lim siní µ =0

Et donc lim

1+

BCDí±¢

=1.

II. Suites majorées, minorées, bornées

1) Définitions :

Définitions : - La suite (u

n ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n ϵℕ, í µ - La suite (u n ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier nϵℕ, í µ - La suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

- Les suites de terme général cosí µ ou -1 sont bornées. - La suite de terme général n 2 est minorée par 0. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée

Vidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E

On considère la suite (u

n ) définie pour tout entier naturel n par í µ í±¢*6 6 +2 et O =2. Démontrer par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3. 4 • Initialisation : O =2<3

La propriété est donc vraie pour n = 0.

• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : í µ Q <3. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : í µ Q*6 <3.

On a : í µ

Q <3 donc 6 6

×3 et donc

6 +2< 6

×3+2.

Soit : í µ

Q*6 <3 • Conclusion :

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe

de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : í µ <3.

2) Convergence des suites monotones

Propriété : Soit (u

n ) une suite croissante définie sur ℕ.

Si lim

=í µ alors la suite (u n ) est majorée par L.

Démonstration par l'absurde :

Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un rang p, tel que í µ T - L'intervalle ouvert Ví µ-1;í µ T

W contient L.

Or, par hypothèse, lim

=í µ. Donc l'intervalle Ví µ-1;í µ T

W contient tous les termes

de la suite (u n ) à partir d'un certain rang (1). - Comme (u n ) est croissante : í µ T pour í µ>í µ.

Donc si í µ>í µ, alors í µ

∉Ví µ-1;í µ T W (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵℕ, tel que í µ T

Et donc la suite (u

n ) est majorée par L.

Théorème de convergence monotone :

- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. - Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. - Admis -

Remarque :

Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite. Dans l'exemple ci-dessous, la suite décroissante est minorée par 2. Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone

Vidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo

On considère la suite (u

n ) définie pour tout entier naturel n par í µ í±¢*6 6 +2 et O =2.

Démontrer que la suite (u

n ) est convergente et calculer sa limite. - On a démontré dans le paragraphe I. que la suite (u n ) est croissante. On a démontré dans la méthode précédente que la suite (u n ) est majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que la suite (u n ) est convergente. - On pose :lim í±¢*6 =lim

Or í µ

í±¢*6 6 +2, donc lim í±¢*6 =lim 1 3 +2= 1 3 í µ+2 par produit et somme de limites. Une limite étant unique, on en déduit que í µ= 1 3 í µ+2, soit L = 3.

La suite (u

n ) converge donc vers 3.

Corollaire :

1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞.

2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞.

Démonstration au programme du 1) :

Soit un réel a.

Comme (u

n ) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que í µ T

La suite (u

n ) est croissante donc pour tout í µ>í µ, on a : í µ T

Donc pour tout í µ>í µ, on a : í µ

6 Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle

On en déduit que lim

III. Comportement à l'infini d'une suite géométrique

1) Rappel

Définition : Une suite (u

n ) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : í µ í±¢*6

Le nombre q est appelé raison de la suite.

Exemple : La suite (u

n ) définie par í µ í±¢*6 =-3í µ et í µ O =5 est une suite géométrique de raison -3 et de premier terme 5.

Propriété : (u

n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0

Pour tout entier naturel n, on a : í µ

O Exemple : Pour la suite précédente, on a pour tout n : í µ =5× -3

2) Limites

q lim

Pas de limite

0 1 +∞

Démonstration au programme dans le cas q > 1 :

Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a :

1+í µ

≥1+í µí µ (inégalité de Bernoulli), démontrée dans le chapitre " LES SUITES (Partie 1) Paragraphe I. ». On suppose que í µ>1, alors on peut poser í µ=í µ+1 avec í µ>0.

1+í µ

≥1+í µí µ.

Or lim

1+í µí µ=+∞ car í µ>0.

Donc d'après le théorème de comparaison : lim

Exemple :

La suite de terme général -5×4

a pour limite -∞ car lim 4

3) Somme des termes d'une suite géométrique

Propriété : n est un entier naturel non nul et q un réel différent de 1 alors on a :

1+í µ+í µ

1-í µ

í±¢*6

1-í µ

7 Méthode : Utiliser la limite d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/XTftGHfnYMw

Déterminer les limites suivantes :

í µ)lim -2 3 í µ)lim 2 -3 í µ)lim 1+ 1 2 1 2 a 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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