SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie Démontrer que 2 x ? 5 ... On peut retenir que f admet un maximum (ou un.
VARIATIONS DUNE FONCTION
On dit que 625 est le maximum de la fonction . une fonction admet un maximum en
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
la courbe représentative de la fonction f admet une tangente au point (x0f(x0))
CHAPITRE 5 : Les fonctions
ou de minimum. On se reportera aux exercices. -5- Comment montrer qu'une fonction admet un extremum ? Propriété 1 : Soit une fonction définie sur.
Poly fonctions R dans R Tout les methodes
Comment montrer qu'une fonction f n'admet pas de maximum / minimum / extremum sur un intervalle I ?185. Comment établir un encadrement avec une expression
Optimisation
admet un maximum global et un minimum global sur B(0 2). Remarque 6.2.8 Pour montrer qu'une fonction f n'admet pas de maximum sur un domaine D
LA DÉRIVÉE SECONDE
Les points stationnaires critiques
Théorème du maximum et théorème du minimum
Définition Soit f une fonction définie sur un certain intervalle I. f admet un maximum relatif au point d'abscisse x0 s'il existe un voisinage de x0.
Extrema des fonctions de deux variables.
4 févr. 2020 Le minimum et le maximum de f sont des bornes de f. Définition 2 (Extrema gobal). Soit f une fonction définie sur P C R. • On dit que f admet un ...
Fonctions holomorphes
Exercice 1.2 Montrer que la fonction z ?? z est C-dérivable sur C de dérivée (1) Si
3.1 Fonctions d´erivables
Dans tout ce chapitre,d´esigne un intervalle non vide deR. D´efinition 3.1.1.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest d´erivable en0si la limite lim0(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee deen0, on la note(0). Bien sˆur, il revient au mˆeme de regarder la limite lim0()(0)
0Rappelons l"interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee : siest d´erivable en0, alors
la courbe repr´esentative de la fonctionadmet une tangente au point (0(0)), de coefficient directeur(0).En fait, la fonction(0+)(0)
dont on consid`ere ici la limite en 0, n"est pasd´efinie en ce point. Dans ce cas, l"existence de la limite ´equivaut `a l"´egalit´e des limites `a
gauche et `a droite. C"est pourquoi on introduit les d´eriv´ees `a gauche et `a droite. D´efinition 3.1.2.Soit:Rune fonction, et soit0. 27(1) On dit queest d´erivable `a gauche en0si la limite lim
00(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee de`a gauche en0, on la note (0). (2) On d´efinit de mˆeme la d´eriv´ee `a droite, que l"on note(0).Proposition 3.1.3.Soit: []Rune fonction.
(1)Soit0][. Alorsest d´erivable en0si et seulement siest d´erivable `a droite et `a gauche en0et(0) =(0). (2)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a droite en. (3)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a gauche en. Les notions de d´eriv´ee `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per- mettent cependant de v´erifier qu"une fonction est (ou n"est pas)d´erivable en un point. Proposition 3.1.4.Siest d´erivable en0, alorsest continue en0. D´emonstration.Supposonsd´erivable en0, alors la limite lim0=0()(0)
0 existe, et est finie. En multipliant par la fonction (0), qui tend vers 0, on en d´eduit que lim0=0()(0) = 0
c"est-`a-dire lim0=0() =(0)
ce qui montre queest continue en0. La r´eciproque est fausse. Par exemple, la fonction: est continue en 0, mais n"est pas d´erivable en ce point. En effet,(0) =1 et(0) = 1. Proposition 3.1.5.Soit:Rune fonction, et soit0. Alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee(0), si et seulement si il existe une fonctiontelle quelim0() = 0,
satisfaisant (0+) =(0) +(0) +() pour touttel que0+. 28D´emonstration.. Supposonsd´erivable en0. Alors il suffit de d´efinir () =(0+)(0) (0) pour= 0, et(0) = 0.. Supposons qu"il existe une fonctiontelle que lim0() = 0, satisfaisant (0+) =(0) ++() pour un certain r´eel. On peut ´ecrire : (0+)(0) Quandtend vers 0, le membre de droite tend vers. Doncest d´erivable en0et (0) =. Cons´equences imm´ediates de cette proposition : - siest d´erivable en0, et siest un r´eel, alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee (0). - une fonction constante est partout d´erivable, de d´eriv´eenulle. - une fonction affine:+est partout d´erivable, et(0) =pour tout0.
Voici deux exemples bien connus.
Exemples.a) Soit1 un entier, nous allons d´eriver la fonction:. Soit0 un r´eel fix´e, alors d"apr`es la formule du binˆome de Newton nous avons, pour tout, (0+) = (0+)=? =0? 0 =0+(10) +2? =2? 20? et le dernier terme est une fonction de la forme(). Ainsi,est d´erivable en0, et (0) =10. b) Soit la fonction:1 , et soit0= 0. Alors, pour toutnous avons (0+)(0) =10+10=0(0+)
d"o`u lim0(0+)(0)
=120Doncest d´erivable en0, et(0) =1
20. 29C"est Blaise Pascal qui, au d´ebut du 17esi`ecle, a le premier men´e des ´etudes sur la notion de tangente `a une courbe.
D`es la seconde moiti´e du 17
esi`ecle, le domaine math´ematique de l"analyse num´erique connaˆıt une avanc´ee prodigieuse grˆace aux travaux de Newtonet de Leibniz en mati`ere de calcul diff´erentiel et int´egral. Le marquis de l"Hˆopital participe aussi, `a la fin du 17 esi`ecle, `a ´etoffer cette nouvelle th´eorie, notamment en utilisant la d´eriv´ee pour calculerune limite dans le cas de formesind´etermin´ees particuli`eres (c"est la r`egle de L"Hˆopital, ´enonc´ee `a la fin du chapitre).
Finalement, d"Alembert introduit la d´efinition rigoureuse dunombre d´eriv´e en tant que limite du taux d"accroissement - sous une forme semblable `a celle qui est enseign´ee de nos jours. Cependant, `a l"´epoque de d"Alembert, c"est la notion de limite qui pose probl`eme. C"est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19esi`ecle que le concept de d´eriv´ee sera enti`erement formalis´e.C"est Lagrange (fin du 18
esi`ecle) qui a introduit la notation(0) pour d´esigner la d´eriv´ee deen0. Leibniz notait (0) et Newton (0). Ces trois notations sont encore usit´ees de nos jours.3.2 Op´erations sur les d´eriv´ees
Commen¸cons par les op´erations alg´ebriques sur les d´eriv´ees. Th´eor`eme 3.2.1.Soient:Rdeux fonctions, et soit0. On suppose que etsont d´erivables en0. Alors (1)+est d´erivable en0, et (+)(0) =(0) +(0) (2)est d´erivable en0, et ()(0) =(0)(0) +(0)(0) (3)si(0)= 0, alors est d´erivable en0, et (0) =(0)(0)(0)(0)(0)2D´emonstration.(1) Il suffit d"´ecrire
(() +())((0) +(0))0=()(0)0+()(0)0
30et de passer `a la limite quand0. (2) Il suffit d"´ecrire ()()(0)(0)
0=()(0)0() +(0)()(0)0
et de passer `a la limite quand0, en se servant de la continuit´e deen0. (3) Nous avons 1 ()1(0)0=1()(0)()(0)0
Par passage `a la limite, on en d´eduit que la fonction 1 est d´erivable en0, de d´eriv´ee ?1 (0) =(0)(0)2On applique alors le point (1) qui donne
(0) =(0)1(0)+(0)? (0)(0)2? d"o`u le r´esultat.Cons´equences de ce th´eor`eme :
- une fonction polynˆome est d´erivable surR, et sa d´eriv´ee est un polynˆome. - une fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est d´erivable sur son ensemble de d´efinition, et sa d´eriv´ee est une fonction rationnelle. En effet, nous avons vu que les fonctions de la formesont d´erivables sur toutR. On en d´eduit que les monˆomessont d´erivables, puis que les sommes demonˆomes, c"est-`a-dire les polynˆomes, sont d´erivables surR. Le r´esultat pour les fonctions
rationnelles en d´ecoule, par d´erivation d"un quotient. Apr`es les op´erations alg´ebriques, passons `a la composition des fonctions. Th´eor`eme 3.2.2(D´erivation des fonctions compos´ees).Soient:Ret:R deux fonctions telles que(), et soit0. Siest d´erivable en0, et siest d´erivable en(0), alorsest d´erivable en0et ()(0) =((0))(0) D´emonstration.Il existe des fonctions1et2telles que lim01() = 0 = lim02()
satisfaisant, pour tout, (0+) =(0) +(0) +1() 31et, pour tout, ((0) +) =((0)) +((0)) +2()
Prenons en particulier
=((0) +1())Alors nous avons
((0+)) =((0) +) =((0)) +((0)) +2() =((0)) +((0) +1())((0)) +((0) +1())2(((0) +1())) =((0)) +(0)((0)) +3() o`u l"on a pos´e3() =1()((0)) + ((0) +1())2(((0) +1()))
Il est clair que lim
03() = 0, d"o`u le r´esultat.
On voudrait `a pr´esent calculer les d´eriv´ees des fonctions usuelles. Montrer que lesfonctions trigonom´etriques sin et cos sont d´erivables (et calculer leurs d´eriv´ees) n"est pas
´evident, et d´epend des d´efinitions que l"on donne pour ces fonctions. Pour log et exp, c"est plus facile... si on d´efinit log comme l"unique primitive de1 sur ]0+[ qui s"annule en 1. Mais encore faut-il montrer qu"une telle primitive existe : ce sera un r´esultat important du chapitre consacr´e `a l"int´egration. La fonction exp est ensuite d´efinie comme la r´eciproque de la fonction log, et pour la d´eriver on se sert du r´esultat suivant. Th´eor`eme 3.2.3(D´erivation des fonctions r´eciproques).Soit:Rune fonction continue strictement monotone. Alors : (1)L"ensemble:=()est un intervalle, dont les bornes sont les limites deaux bornes de. La fonctionr´ealise une bijection entreet. (2)La bijection r´eciproque1:est continue strictement monotone, de mˆeme sens de variations que. (3)Siest d´erivable en un point0, et si(0)= 0, alors1est d´erivable au point0=(0)et (1)(0) =1 (0)=1(1(0)) D´emonstration.(1) et (2) : c"est le th´eor`eme de la bijection (voir le chapitre 2). (3). Supposonsd´erivable en0. Soit0=(0) et soit, on s"int´eresse `a la quantit´e1()1(0)
0 32Posons=1(), alors cette quantit´e s"´ecrit
0 ()(0)Comme1est continue en0, nous avons :
lim01() =1(0) =0
Par composition des limites, on en d´eduit que
lim 01()1(0)
0= lim00()(0)=1(0)
d"o`u le r´esultat. Exemple.Supposons que la fonction1sur ]0+[ admette une primitive, not´ee log, qui s"annule en 1. Soit exp :R]0+[ l"application r´eciproque de log. Alors exp est d´erivable en tout point0R, et satisfait exp (0) =1 log(exp(0))=11 exp(0)= exp(0)3.3 D´eriv´ee et extr´ema locaux
Soit:Ret soit0. On dit queadmet unmaximum localen0s"il existe un voisinagede0tel que l"on ait ()(0) On dit queadmet unminimum localen0siadmet un maximum local en0. Enfin, on dit queadmet unextremum localsiadmet un maximum local ou un minimum local. Proposition 3.3.1.Soit:Rd´erivable, et soit0un point int´erieur `a. Si admet un extremum local en0, alors(0) = 0. D´emonstration.Quitte `a remplacerpar, on peut supposer queadmet un maximum local en0. Il existe donc un voisinagede0tel que l"on aitquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer qu'une fonction est convexe
[PDF] montrer qu'une fonction est majorée
[PDF] montrer qu'une matrice est diagonalisable
[PDF] montrer quune matrice est inversible et calculer son inverse
[PDF] montrer qu'une matrice est nilpotente
[PDF] montrer qu'une relation d'ordre est totale
[PDF] montrer qu'une suite convergente est stationnaire
[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique
[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique méthode
[PDF] montrer qu'une suite est croissante exemple
[PDF] montrer qu'une suite est de cauchy exercice corrigé
[PDF] montrer qu'une suite est géométrique de raison
[PDF] montrer qu'une suite est géométrique exemple
[PDF] montrer qu'une suite est geometrique ts