[PDF] Théorème du maximum et théorème du minimum

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Théorème du maximum

et théorème du minimum

Note :Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu"attend cet enseignant lors de l"oral de maturité.

Ce résumé n"est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.

DéfinitionSoitfune fonction définie sur un certain intervalleI. fadmet un maximum relatif au point d"abscissex0s"il existe un voisinage dex0 inclus dansIpour lequel pour toutxdans ce voisinagef(x)f(x0). fadmet un minimum relatif au point d"abscissex0s"il existe un voisinage dex0 inclus dansIpour lequel pour toutxdans ce voisinagef(x)f(x0). Théorème du maximumSoitfune fonction dérivable sur un intervalle]a;b[et continue sur[a;b]. Sifpossède un maximum relatif au point d"abscissex02]a;b[

Alorsf0(x0) = 0.

Théorème du minimumSoitfune fonction dérivable sur un intervalle]a;b[et continue sur[a;b]. Sifpossède un minimum relatif au point d"abscissex02]a;b[

Alorsf0(x0) = 0.

Illustration des théorèmes

: Lorsque le point de tangence est un extremum de la fonction, la tangente en ce point à une pente nulle.f abMin(x0;f(x0))Max(x1;f(x1)) Démonstration du théorème du maximum: On sait par hypothèse quefest dérivable au pointx0, c"est-à-dire que le nombref0(x0) = limx!x0f(x)f(x0)xx0existe.

On sait d"autre part que si une limite en un point existe, alors les limites à gauche et à droite de

ce point existent, sont égales entre elles et égales à la limite, donc lim x!x

0f(x)f(x0)xx0= lim

x!x+

0f(x)f(x0)xx0= limx!x0f(x)f(x0)xx0:

Si la fonctionfpossède un maximum relatif enx0, alors dans un voisinage de ce point on doit avoirf(x)f(x0), c"est-à-diref(x)f(x0)0et ceci pour tous les points de ce voisinage.

Six < x0, c"est-à-direxx0<0,

f(x)f(x0)xx0est positif0<00 et il suit quelim x!x

0f(x)f(x0)xx00.

Six > x0, c"est-à-direxx0>0,

f(x)f(x0)xx0est négatif0>00 et il suit quelim x!x+

0f(x)f(x0)xx00.

Mais comme ces deux limites doivent être égales, elles ne peuvent qu"être égales à0. D"où

lim x!x

0f(x)f(x0)xx0= 0 = lim

x!x+

0f(x)f(x0)xx0et finalementlimx!x0f(x)f(x0)xx0= 0,

ce qui montre quef0(x0) = 0. La réciproque des théorèmes du maximum et du minimum est fausse : Il faut com- prendre par "réciproque" que si une fonction dérivable admet un point d"abscisse en lequel la dérivée est nulle, alors ce point n"est pas nécessairement ni un maximum, ni un minimum. En

effet, soitfla fonction définie parf(x) =x3. Cette fonction est dérivable surR. Sa dérivéef0

est définie parf0(x) = 3x2. Elle s"annule enx0= 0mais pour touta >0il existe unx12]a;a[ et unx22]a;a[tels quef(x1)< f(x0)(fn"admet pas de maximum en0etf(x2)> f(x0)(f n"admet pas de minimum en0). Donc on af0(0) = 0mais le point(0;0)n"est ni un maximum, ni un minimum.0aa y=x3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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