Fiche Méthode 14 : Diagonaliser une matrice dire si elle est
1. Montrer sans calcul
fic00056.pdf
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1. 3. Donner en le justifiant mais
Diagonalisation
Montrer que si f : E → E est un endomorphisme vérifiant f 2 = f (c'est-à La matrice. A est une matrice diagonale (donc diagonalisable !). Exemple 17. La ...
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
— Montrer qu'une matrice de Mn(R) est inversible si et seulement si
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
L'endomorphisme u est-il diagonalisable sur les corps R ou Q? —. §7 Exercices. Exercice 12.— Montrer que la matrice suivante n'est pas diagonalisable :.
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Nous allons montrer que toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé
Untitled
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans IR et les espaces Montrer qu'il existe une unique matrice RS (IR) symétrique positive telle que H ...
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Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres Démontrer que A est diagonalisable et trouver une matrice P telle que P−1AP soit ...
Valeurs propres vecteurs propres
Soit T une matrice triangulaire non diagonale
Fiche Méthode 14 : Diagonaliser une matrice dire si elle est
1. Montrer sans calcul
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des Montrer qu'une matrice de Mn(R) est inversible si et seulement si
Cours Diagonalisation
Montrer que (u v) est une base de R2 et déterminer la matrice de f dans cette base. En déduire une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que. (
Memento diagonalisation
Pour montrer qu:une matrice est diagonalisable. " M est symétrique (mais ne donne ni les valeurs propres ni la matrice de passage). " Ecrire M $ PDP.
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Démontrer que A est diagonalisable et trouver une matrice P telle que P?1AP soit diagonale. Correction ?. [002566]. Exercice 5. Soit. A =.
résumé GL2(Z) COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2
Ici A est diagonalisable
Préparation à lAgrégation Interne
15 juil. 2010 Montrer qu'une matrice nilpotente est diagonalisable ssi elle est nulle. Exercice 22 (Entraînement). Montrer que pour n = 2.
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Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant
Amphi 5 : Diagonalisation des matrices symétriques réelles
7 oct. 2019 Donné un endomorphisme f : E ?? E. Est-ce qu'il existe une base B de E telle que M(f B) soit une matrice diagonale ?
Valeurs propres vecteurs propres
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/diag.pdf
Fiche Méthode 14 :
Diagonaliser une matrice, dire si elle est diagonalisable...Cette fiche doit être lue après (ou en parallèle de) les Fiches Méthodes 12 et 13, qui portent sur
les valeurs propres et les vecteurs propres. Les exemples sont normalement les mêmes avec la même
numérotation (d"où le désordre apparent sur la présente fiche), mais la résolution ne correspond plus
nécessairement à l"énoncé d"origine.On notera dans la suiteEle sous-espace propre associé à la valeur propre, c"est-à-dire, selon le
contexte : •E=Ker(fidE) =f~xjf(~x) =~xg; •E=Ker(AI) =fXjAX=Xg;1 Les résultats théoriques
Rappelons les principaux critères sur la diagonalisabilité d"une matrice : 1. Une matrice Aest diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l"ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée Ad"ordrenadmetnvaleurs propres différentes, alorsAest diagonalisable. 3. Si une matrice carrée Aest symétrique, alorsAest diagonalisable. 4.(À redémon trerà c haquefois) Si une matrice Anon multiple de l"identité n"a qu"une valeur
propre, alorsAn"est pas diagonalisable. Enfin, soulignons queAest diagonalisable si et seulement si il existe une matrice diagonaleDet une matrice inversible telle queA=PDP1. Dans ce cas, les coefficients diagonaux deDsont les valeurs propres deA(comptées autant de fois que la dimension du sous-espace propre correspondant), et la colonne dePcorrespondant à la colonne deDcomprenant une valeur propredonnée doit contenir un vecteur propre associé à la valeur propre!Dans les sujets, on demande généralement une matricePremplissant des conditions particulières.
Faites attention!
2 Les exemples des sujets
Exemple 1 : trois valeurs propres distinctes(D"après Écricome 2009)Ici,A=0
@1 1 1 0 2 20 0 31
A et les valeurs propres sont1;2et3. Ainsi,Aest d"ordre3et a3valeurs propres distinctes :Aest diagonalisable. De plus, commeE1=Vect0 @0 @1 0 01 A1 A ,E2=Vect0 @0 @1 1 01 A1 A etE3=Vect0 @0 @3 4 21A1 A , on a, en posantP=0 @1 1 3 0 1 4
0 0 21
A etD=0 @1 0 0 0 2 00 0 31
A ,A=PDP1. 1/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Exemple 2 : matrice symétrique, quatre valeurs propres(D"après ÉM Lyon 2013)On considère la matriceA:=0
BB@0 0 0 2
0 0 1 0
0 1 0 0
2 0 0 01
CCA2 M4(R).
1.Est-ce que Aest diagonalisable dansM4(R)?
2. Déterminer une matrice diagonale D2 M4(R), à coefficients diagonaux rangés dans l"ordrecroissant, et une matrice inversibleP2 M4(R), à coefficients diagonaux tous égaux à1, telles
queA=PDP1.Solution :
1. On remarque que la première colonne de Aet sa première ligne sont identiques, et qu"il en est d même pour les suivantes. Autrement dit, tA=A:Aest symétrique. Ainsi, d"après le cours,Aest diagonalisable.
2. On a vu (cf fic hesprécéden tes)que les v aleursp ropresde Asont2;1;1et2. Ainsi, comme les coefficients diagonaux deDsont les valeurs propres deAet qu"ils doivent être classés par ordre croissant,D=0 BB@2 0 0 0
01 0 0
0 0 1 0
0 0 0 21
C CA. On en déduit que la première colonne dePdoit être un vecteur propre deAassocié à la valeur propre2, que la deuxième colonne dePest un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1, la troisième en est un associé à1et la quatrième associée à2. •CommeE2=8 >:0 B B@t 0 0 t1 CCA;t2R9
>;et qu"il faut un vecteur deE2de la forme0 B B@1 1 CCAcarP
doit avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la première colonne dePest0 B B@1 0 0 11 CCA(il faut
prendret=1, on n"a pas le choix). •CommeE1=8 >:0 B B@0 z z 01 CCA;z2R9
>;et qu"il faut un vecteur deE1de la forme0 B B@ 1 1 CCAcarP
doit avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la deuxième colonne dePest0 B B@0 1 1 01 CCA(il faut
prendrez=1, on n"a pas le choix). •CommeE1=8 >:0 B B@0 z z 01 CCA;z2R9
>;et qu"il faut un vecteur deE1de la forme0 B B@ 1 1 CCAcarPdoit
2/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la troisième colonne dePest0 B B@0 1 1 01 CCA(il faut prendre
z= 1, on n"a pas le choix). •CommeE2=8 >:0 B B@x 0 0 x1 CCA;x2R9
>;et qu"il faut un vecteur deE2de la forme0 B B@ 11 CCAcarPdoit
avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la quatrième colonne dePest0 B B@1 0 0 11 CCA(il faut prendre
x= 1, on n"a pas le choix).Finalement, en posantP=0
BB@1 0 0 1
0 1 1 0
01 1 0
1 0 0 11
CCA, etD=0
BB@2 0 0 0
01 0 0
0 0 1 0
0 0 0 21
CCA, la formule de
changement de base donneA=PDP1etP;Dremplissent les conditions demandées. Exemple 3 : matrice n"ayant qu"une valeur propre(D"après Écricome 2010) SoitEun espace vectoriel etB:= (e1;e2;e3)une base deE. Pour tout réela, on considère l"endo- morphismefadeEdont la matrice dans la baseBest donnée parMa:=0 @a+ 2(2a+ 1)a 1 0 00 1 01
A Lorsquea= 1, l"endomorphismefaest-il diagonalisable? Solution :On sait (cf fiche 17 et corrigé du sujet) queest valeur propre defasi et seulement si est racine deQ(x) =x3(a+2)x2+(2a+1)xa=x33x2+3x1(cara= 1). OrQ(x) = (x1)3 (développez pour vous en convaincre). Donc, quanda= 1, la seule valeur propre defaest1. Dans cecas, on "sait" d"après le cours quefane va pas être diagonalisable (cf. la remarque dans la première
section de cette fiche. Il faut toujours redémontrer le résultat comme suit). Supposons quefasoit diagonalisable. Alors il existe une base deEformée de vecteur propres defa.Dans cette base, la matrice defaestD=0
@1 0 0 0 1 00 0 11
A =Icar la seule valeur propre defaest1. De plus, en appelantPla matrice de passage deBà cette nouvelle base, la formule de changement de base donneM1=PDP1. OrM1=0 @33 1 1 0 00 1 01
A etPDP1=PIP1=PP1=I6=M1. On a donc une contradiction :M1n"est pas diagonalisable. 3/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Exemple 4 : matrice symétrique avec un sous-espace propre de dimension 2(D"après ÉMLyon 2007)
On considère la matrice carrée d"ordre3:A=12 0 @0 1 1 1 0 11 1 01
A 1.Mon trer,sans calcul, que Aest diagonalisable.
2. Déterminer une matrice diagon aleDet une matrice inversible et symétriqueP, de première ligne1 1 1et de deuxième ligne11 0telles queA=PDP1.Solution :
1. On remarque que la première colonne de Aet sa première ligne sont identiques, et qu"il en est d même pour les suivantes. Autrement dit, tA=A:Aest symétrique. Ainsi, d"après le cours,Aest diagonalisable.
2. La question est inhabituellemen tp osée!On n" auramême pas b esoind" utiliserla rec herchede valeurs propres et de vecteurs propres de la fiche 18 (mais on peut le faire! Je vais faire les deux!) Solution 1 :D"après l"énoncé, comme on connaît les deux premières lignes dePet qu"on sait quePdoit être symétrique, on sait déjà quePest de la forme0 @1 1 1 11 0 1 0b1 A , oùaest à déterminer. Comme de plusDdoit être diagonale, on sait que les vecteurs colonnes dePsont vecteurs propres deA. •On aA0 @1 1 11 A =0 @1 1 11 A , ce qui montre que0 @1 1 11 A est vecteur propre deApour la valeur propre1. La première colonne deDsera donc0
@1 0 01 A •On aA0 @1 1 01 A =0 @12 12 01 A , ce qui montre que0 @1 1 01 A est vecteur propre deApour la valeur propre12 . La deuxième colonne deDsera donc0 @0 12 01 A •Enfin,A0 @1 0 a1 A =0 @a2 12 +a2 12 1 A . Comme on veut que ce vecteur soit colinéaire à0 @1 0 a1 A (pour que ce soit un vecteur propre deA), il faut12 +a2 = 0donca=1. Ainsi,A0 @1 0 11 A =0 @12 0 12 1 A 12 0 @1 0 11 A , ce qui montre que la troisième colonne dePest0 @1 0 11 A , et de plus le calcul montre que ce vecteur propre est vecteur propre pour la valeur propre12 , donc la troisième colonne deDest0 @0 0 121A 4/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 •Attention, ce n"est pas fini! Il reste à prouver queP:=0 @1 1 1 11 0 1 011 A est inversible, ce qui prouvera que la famille de trois vecteurs colonnes forme une base, et comme elle est constituée de vecteurs propres deA, on aura une base constituée de vecteurs propres. La formule de chan- gement de base donne alorsA=PDP1oùD=0 @1 0 0 012 0quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15
[PDF] montrer qu'une matrice est nilpotente
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