[PDF] Memento diagonalisation Pour montrer qu:une matrice

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Memento diagonalisation

par Pierre Veuillez fendomorphisme associé àMdans une base. La matrice dépend de la base !

Lien entrefet sa matrice

Pour trouverM;calculer les images parfdes vecteurs deB, puis leurs coordonnéesdansB: Quand on a la formule def;écrire, pour tout vecteuru;les coordonnées def(u)sous la forme

MatriceUoùUsont les coordonnées deu.

On prouve ainsi quefest l"application linéaire associée àMatricedonc qu"elle est linéaire.

Quand on a la matriceMdef;on a les coordonnées def(u)parMUoùUcontient les coordonnées deu: Quand on a la matrice defdans une baseBet dans une baseC;on en déduitla relation : mat

B(f) = matB(C)matC(f)matC(B)

(Il est rare que l"on utilise cette relation pour trouver la matrice def)

Pour montrer queest valeur propre

Dé...nition :chercher ou donner directementu6= 0tel quef(u) =uou(fId)(u) = 0ou encore u2ker(fId) chercher et trouverUcolonne non nulle telle queMU=Uou(MI)U= 0 Montrer quefIdn"est pas bijective ou montrer queMIn"est pas inversible

Pour montrer quen"est pas valeur propre

Sif(u) =ualorsu= 0

MIest inversible

la somme des dimensions des sous espaces propres est supérieure à la taille de la matrice. une relation polynomiale.

Pour trouver les valeurs propres

Utiliser unerelation polynomialepour trouver les valeurs propres possiblespuis testerces valeurs. Pouruun vecteur - ouUune colonne - résoudref(u) =uou encore(fId)(u) = 0et si on trouve des solutions autres queu= 0alorsest valeur propre.

Donner des vecteurs propres associé à des valeurs propres, et prouver qu"il n"y en a pas d"autres

(dimension) Déterminer les valeurs depour lesquelles la matriceMIn"est pas inversible, en appliquant la

méthode de Gauss, pour obtenir une matrice triangulaire qui sera inversible si et seulement si aucun

terme de la diagonale n"est nul. Sila matrice esttriangulaire, les valeurs propres sont les termes de sa diagonale.

Synthèse algèbrepage 1/2

Pour montrer qu"une matrice est diagonalisable

Mest symétrique (mais ne donne ni les valeurs propres ni la matrice de passage) EcrireM=PDP1(à partir d"une relation entre matrices) trouver une base de vecteurs propres defou de colonnes propres pourM: il su¢ t (non nécessaire) queMaitnvaleurs propres distinctes

montrer que la somme des dimensions des sous espaces propres est égale à la taille de la matrice. (la

concaténation des bases des sous espaces propres forme alors une base de l"espace) Pour montrer qu"une matrice n"est pas diagonalisable S"il n"y a qu"une valeur proprepossible (relation polynomiale), raisonnementpar l"absurde:

M=PIP1=I

Déterminer les sous espaces propres et la somme des dimensions n"est pas la taille de la matrice.

Pour montrer qu"une matrice est inversible

ou quefest bijectif (isomorphisme) : ilfaut queles dimensions des espaces de départ et d"arrivée soient

les mêmes. factoriserI=MNetNM=I(Cela s"obtient souvent à partir de lafactorisation deIdans une relation polynomiale) montrer que la famille de ses colonnes est libre + taille. Remarquer queMest une matrice de passage (matrice des coordonnées des vecteurs d"une base dans une autre base) montrer queker(f) =f0gou que0n"est pas valeur propre. Gauss ouMX=Y()X=NY(par résolution du système)

Pour montrer que l"on a une base

libre et génératrice. Dé...nition :e1;:::;en2Eet pour toutu2Eil existe des uniques1:::tels queu=1e1++nen (les coordonnées) libre + cardinal ou (plus rarement) génératrice + cardinal.

concaténation de familles libres de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes + cardinal

vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes + cardinal

échelonnée + cardinal

bases canoniques.

Pour trouver une base

Quand l"ensemble est donné sous forme paramètré, écrireVect(:::)puis prouver que la famille est

libre. En résolvant un système puis en paramètrant les solutions

base de l"image : déterminer la dimensionnde l"image grâce à la dimension du noyau puis prendre

l"image denvecteurs (des vecteurs de la base) images qui, avec un peu de chance, formeront une famille libre.

Synthèse algèbrepage 2/2

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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