Mathématiques D08S
14 déc. 2013 b) Soit A une matrice nilpotente. Montrer que e(A) est inversible et calculer son inverse. On remarque que si A est nilpotente ?A aussi.
Mathématiques 2 PSI
2 avr. 2019 nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. Q 17. Démontrer que si est une matrice nilpotente d'indice
Préparation à lAgrégation Interne
15 juil. 2010 Montrer qu'une matrice nilpotente est diagonalisable ssi elle est nulle. Exercice 22 (Entraînement). Montrer que pour n = 2.
Réduction
Montrer qu'il existe un couple d'endomorphismes (dn) et un seul tel que d est diagonalisable
Chapitre 8 — alg`ebre linéaire — exercices corrigés page 1
Montrer que An est la matrice nulle. b. (***) Réciproquement montrer que toute matrice nilpotente de Mn(K) est semblable `a une matrice triangulaire.
PSI MATHÉMATIQUES DS1bis
3 oct. 2020 Quelles sont les matrices de MnpCq à la fois nilpotentes et diagonalisables ? 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si et seulement si
MPSI 2 : DL 08
Q 2 Soit une matrice A = ((aij)) ? T dont les coefficients diagonaux aii sont tous nuls. a. Montrer que A est nilpotente d'indice inférieur ou égal `a n. b.
Colle semaine 12 MP*
8 janv. 2021 Montrer qu'une matrice est nilpotente ssi elle est trigonalisable avec ... 1) Montrer que si un endomorphisme est nilpotent alors il existe ...
? ? ? ? ? ? ?
Montrer que si Q est positif sur R alors P l'est aussi. PSI 774 (Mines 774.) Soit M ? M3(C) une matrice nilpotente et p ? N son indice de nilpotence.
M P S I 2
5 févr. 2021 Il n'y a qu'une matrice nilpotente d'ordre 1 (par définition : M1 = 0nn)
Samedi 3 Octobre 2020
Durée : 4 heuresPSI MATHÉMATIQUES
DS1bisSi, au cours de l"épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d"énoncé, vous le signalez sur votre
copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à
prendre.L"usage de calculatrice est interditAVERTISSEMENT
Laprésentation, la lisibilité, l"orthographe, la qualité de larédaction,la clartéet la précisiondes raisonnements entreront pour unepart importantedansl"ap-préciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non-justifiésne seront pas pris en compte.
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DS1bis
Questions de cours
1. Soit λPK. Donner la définition deλvaleur propre deAPMnpKq. 2. Énoncer le théorème de Ca yley-Hamiltonp ourAPMnpKq. 3.Énoncer la condition nécessaire et suffisan tep ourque APMnpKqsoit diagonalisable utilisant les
polynômes annulateurs.Problème
La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes
nilpotents et aborde l"étude de cas particuliers qui seront généralisés dans la partie II.
Notations et rappelsDans tout le sujet,ndésigne un entier naturel non nul etEunC-espace vectoriel de
dimensionn. SiMPMnpCq, on noteMTla transposée deM. SiMest une matrice deMnpCq, on définit la suite des puissances deMparM0Inet, pour tout entier naturelk, par la relationMk1M Mk. De même, siuest un endomorphisme deE, on définit la suite des puissances deuparu0IdEet, pour tout entier naturelk, par la relationuk1uuk. Une matriceMest ditenilpotentes"il existe un entier naturel k¥1tel queMk0. Dans ce cas, le plus petit entier naturelk¥1tel queMk0s"appelle l"indice de nilpotencedeM. SoitBune base deE, un endomorphisme deEest nilpotent d"indicepsi sa matrice dans Best nilpotente d"indicep.On poseJ1 p0qet, pour un entierα¥2,Jα 0 0 1 000 1 0
PMαpCq.
SiAPMnpCqetBPMmpCq, on note diagpA,Bq, la matrice diagonale par blocs diagpA,Bq A0 0BPMnmpCq
Plus généralement, siA1PMn1pCq,A2PMn2pCq,,AkPMnkpCq, on note diagpA1,A2,...,Akq A 1000A2...
......0 00AkPMn1n2nkpCq
Premiers résultats
1. Que p eut-ondire d"un endomorphisme nilp otentd"indice 1? Réduction d"une matrice deM2pCqnilpotente d"indice2 On suppose quen2. Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indicep¥2. 2. Mon trerqu "ilexiste un v ecteurxdeEtel queup1pxq 0. 3.V érifierque la famille ukpxq
4.Mon trerqu eKer puq Impuq.
5. Construire une base de Edans laquelle la matrice deuest égale àJ2. 6.En déduire que les matrices nilp otentesde M2pCqsont exactement les matrices de trace et déterminant
nuls.PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 2/5DS1bis
Réduction d"une matrice deMnpCqnilpotente d"indice2 On suppose quen¥3. Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indice2et de rangr. 7. 8.On supp oseque Im puq Kerpuq. Montrer qu"il existe des vecteurse1,e2,...,erdeEtels que la famillee1,upe1q,e2,upe2q,...,er,uperqest une base deE.
9.Donner la matrice de udans cette base.
10. On supp oseIm puq Kerpuq. Montrer qu"il existe des vecteurse1,e2,...,erdeEet des vecteurs v1,v2,...,vn2rappartenant à Kerpuqtels quee1,upe1q,e2,upe2q,...,er,uperq,v1,v2,...,vn2rest
une base deE. 11.Quelle est la matrice de udans cette base?
Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs d"une matrice nilpo- tente Dans cette partie,Adésigne une matrice deMnpCq. 12. Mon trerqu e,si Aest nilpotente, alors0est l"unique valeur propre deA. 13. Quelles son tles matrices d eMnpCqà la fois nilpotentes et diagonalisables? 14.Mon trerqu"une matrice est nilp otentesi, et seulemen tsi, son p olynômecaractéristique est égal à Xn.
15.Mon trerla récipro quede la question 12.
16. Mon trerqu "unematrice triangulaire de MnpCqà diagonale nulle est nilpotente et qu"une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. 17. Démon trerque, si Aest une matrice nilpotente d"indicep, alors tout polynôme deCrXsmultiple de X pest un polynôme annulateur deA. On suppose quePest un polynôme annulateur deAnilpotente. 18.Démon trerque 0est racine deP.
19. On note mla multiplicité de0dansP, ce qui permet d"écrirePXmQoùQest un polynôme de CrXstel queQp0q 0. Démontrer queQpAqest inversible puis quePest un multiple deXpdans CrXs.Racines carrées de matrices nilpotentes
Pour une matriceVPMnpCqdonnée, on dit qu"une matriceRPMnpCqest une racine carrée deVsiR2V. On se propose d"étudier l"existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines
matrices nilpotentes. On noteA 1 37 2 614 1 37 etul"endomorphisme deC3canoniquement associé àA. 20.Calculer la tr aceet le rang de A. En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique deA.
Montrer queAest nilpotente et donner son indice de nilpotence. 21.Démon trerque Aest semblable à la matrice diagpJ2,J1q. Donner la valeur d"une matricePinversible
telle queAP diagpJ2,J1qP1.On cherche à déterminer l"ensemble des matricesRPM3pCqtelles queR2A. On noteρl"endomorphisme
canoniquement associé àR. 22.Démon trerque Im puqet Kerpuqsont stables parρet queρest nilpotent. 23.
En dédu irel"ensem bledes racines carrées de A. Indication : on pourra considérerR1P1RP. On se propose dans cette question d"étudier l"équation matricielleR2J3. 24.
Soit Rune solution de cette équation. Donner les valeurs deR4etR6, puis l"ensemble des solutions de l"équation.PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 3/5
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En général, soitVPMnpCqune matrice nilpotente d"indicep. On se propose d"étudier l"équation
R 2V. 25.Mon trerque, si 2p1¡n, alors il n"existe aucune solution. 26.
P ourtoute v aleurde l"en tiern¥3, exhiber une matriceVPMnpCq, nilpotente d"indicep¥2et admettant au moins une racine carrée.
Deuxième partie
On cherche dans cette partie à généraliser les résultats des sous-parties I.A et I.B.Réduction des matrices nilpotentes
On supposen¥2. Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indicep¥2. 27.Démon trerque Im puqest stable paruet que l"endomorphisme induit parusur Impuqest nilpotent.
Préciser son indice de nilpotence.
28.P ourtout v ecteurxnon nul deE, on noteCupxql"espace vectoriel engendré par lesukpxq kPN; démontrer queCupxqest stable paruet qu"il existe un plus petit entierspxq ¥1tel queuspxqpxq 0. 29.
Démon trerque x,upxq,...,uspxq1pxqest une base deCupxqet donner la matrice, dans cette base, de l"endomorphisme induit parusurCupxq. 30.
Démon trerpar récurrence sur pqu"il existe des vecteursx1,...,xtdeEtels queEtà i1C upxiq.
Indication : on pourra appliquer l"hypothèse de récurrence à l"endomorphisme induit parusur Impuq.
31.Donner la matrice de udans une base adaptée à la décompositionEtà i1C upxiq.
Partitions d"entiers
On appelle partition de l"entierntoute suite finiepα1,...,αkq P pNqktelle que1¥ ¥αketα1 αkn.
On noteΓnl"ensemble des partitions de l"entiern. Ainsi,Γ1 tp1qu,Γ2 tp2q,p1,1qu,Γ3 tp3q,p2,1q,p1,1,1qu.
Soituun endomorphisme deEnilpotent d"indicepet de rangr. 32.Mon trerqu"il existe une partiti onσ pα1,...,αkqdenet une baseBdeEdans laquelle la matrice deuest égale à la matriceNσdiagpJα1,...,Jαkq. 33.
Soit αun entier naturel non nul. Calculer le rang deJjαpour tout entier naturelj. En déduire queJα
est nilpotente et préciser son indice de nilpotence. 34.En dédu irela v aleurde α1.
35.P ourjPN, on noteΛj tiPJ1,kK|αi¥ju. Démontrer que rgpNjσq ¸ iPΛjpαijq. 36.
Démon trerqu e,p ourtout jPN, l"entierdjrgpuj1qrgpujqest égal au nombre de blocsJαidont la tailleαiest supérieure ou égale àj. 37.
Donner la v aleurde l"en tierk, nombre de blocsJαiintervenant dansNσ. 38.
P ourtout en tierjcompris entre1etn, exprimer le nombre de blocsJαide taille exactement égale à
j. 39.On supp osequ"il existe un epartition σ1de l"entiernet une baseB1deEtelles que la matrice deu dansB1soit égale àNσ1. Montrer queσσ1. 40.
Quel est le cardinal maximal d"un ensem blede matrices nilp otentes,toutes de même taille n, telles
qu"il n"y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables?PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 4/5
DS1bis
Applications
41.Soien tAla matrice
01 221
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 11 1 0
etul"endomorphisme canoniquement associé àA. Dé- terminer la partitionσde l"entier5associée àuet donner la matriceNσ. 42.À l"aide du résultat de la question 31, démon trerque si MPMnpCqest nilpotente, alorsM,2Met M
Tsont semblables.
43.À l"aide du résultat de la question 15, démon trerque si Met2Msont semblables, alorsMest nilpotente. Un algorithme de calcul du nombre de partitions den
PourjPN, on noteYn,jl"ensemble des partitions dendont le premier termeα1est inférieur ou égal à
jetyn,jle cardinal deYn,j; on posey0,01. 44.45.
Démon trerque cette égalité est vraie p ourjn. 46.
P ourj n, vérifier queyn,jyn,j1ynj,j. Conclure. 47.
48.
Écrire une fonction Python qui prend en argu mentun en tiern¥1et qui renvoieyn,n. 49.
Comparer c hezv ousce ré sultatà celui d ela question 40. PSI 20-21 Lycée de L"Essouriau - Les Ulis 5/5
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer qu'une suite convergente est stationnaire
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