[PDF] Les suites un+1. = un ?5 pour

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Les suites

I Notion de suite

Définition :Suitenumérique

Unesuite, notéeuest une fonction définie sur l"ensemble des entiers naturelsN. Leterme d"indicenou derangn, notéu(n) ouunest l"image d"un nombre entier naturelnparu.

Exemple 1 :Suite desnombres impairs

Voici la suite des nombres impairs :u0= 1;u1=3;u2=5;u3=7... Le terme d"indice 0 de la suiteuest 1, celui d"indice 1 est 3...

II Modes de générationd"une suite

Définition :Suitedéfinie de façon explicite

Définir une suite par uneformule explicite, c"est exprimer chaque terme de la suite en fonction den.

Remarque :Cela signifie que l"on peut calculer un terme de la suite sans connaître les termes précédents.

Exemple 2 :Étudier une suite de façon explicite

Calculer, puis représenter les dix premiers termes de la suite (un) définie parun=1npourn≥1.Correction :

On remarque que cette suite n"est pas définie pourn=0. Pour calculer le deuxième terme,u2, on effectue le calcul :u2=1

2=0,5...

012345678910

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 nun 11,00 20,50 30,33
40,25
50,20
60,17
70,14
80,13
90,11

100,10

Définition :Suitedéfinie par une relation de récurrence

Définir une suite par unerelation de récurrence, c"est donner le premier terme de la suite et une mé-

thode de calcul deun+1en fonction du terme précédentun.

1Les suites

Remarque :

On ne peut alors calculer un terme que si l"on connaît le précédent, il faut calculer de proche en proche

tous les termes à partir du premier. Exemple 3 :Étudier une suite définie par récurrence Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnparu0=2,un+1=3un+6.

Calculer les premiers termes de cette suite.

Correction :

On a déjàU0=2. On peut ensuite calculeru1:u1=3×u0+6=3×2+6=12

Pouru2:u2=3×u1+6=3×12+6=42

Pouru3:u3=3×u2+6=3×42+6=132...

Remarque :

Une relation de récurrence peut aussi faire intervenir plusieurs des termes précédents, par exemple la

célèbresuite de Fibonacci:un+1=un+un-1. Pour définir la suite, la donnée du premier terme ne suffit pas,il faut en donner plusieurs.

Ici par exempleu0=1 etu1=1.

III Les suitesarithmétiques

Définition :Suitearithmétique

On dit qu"unesuite(un)est arithmétique, s"il existe un réelrtel que pour tout entier naturel, on a

u n+1=un+r. Le réelrest appelé laraisonde la suite arithmétique(un).

Remarque :

Une suite arithmétiqueest définie par une relation de récurrence; on ajoute toujoursle même nombre.

Pour la définir, il faut donner son premier terme et sa raison.

Exemple 4 :Une suite arithmétique

La suite définie par?u

3=4 u n+1=un-5pourn≥3 est une suite arithmétiquede raison-5.

Remarque :

Pourmontrer qu"une suite est arithmétique:

?On calcule la différenceun+1-un. ?On montre que cette différence est constante. Exemple 5 :Démontrer qu"une suite est arithmétique Montrer que la suite (un) définie surNparun=2+3nest arithmétique.

Correction :

2Les suites

Pour toutndansN:

u n+1-un=2+3(n+1)-(2+3n) =2+3n+3-2-3n =3 Donc (un) est une suite arithmétiquede raison 3. Propriétés :Forme explicited"une suitearithmétique ?Si (un) est une suite arithmétiquede raisonr, alors pour tout entier natureln, on a : u n=u0+nr. ?Si (un) est une suite arithmétiquede raisonr, alors pour tous les entiers naturelsnetk, on a : u n=uk+(n-k)r. Exemple 6 :Déterminer la forme explicite d"une suite arithmétique

1)Soit la suite arithmétique(un) de premier termeu0=3 et de raison-4. Déterminer sa forme explicite.

2)Soit la suite arithmétique(vn) de raison 5 et telle quev10=7. Déterminer sa forme explicite.

Correction :

1)

Pour tout entier natureln,un=u0+nr=3-4n.

2)Pour tout entier natureln,vn=v10+(n-10)r=7+5(n-10)=7+5n-50=5n-43.

IV Les suitesgéométriques

Définition :Suitegéométrique

On dit qu"unesuite(un)est géométriques"il existe un réelqnon nul tel que pour tout entier natureln,

on aun+1=un×q=qun. Le réelqest appelé laraisonde la suite géométrique(un).

Remarque :

Une suite géométriqueest définie par récurrence; on multiplietoujours par le même nombre.

Pour définir une suite géométrique, il faut donner son premier terme et sa raison.

Exemple 7 :de suitegéométrique

La suite des puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32...) est géométriquede raison 2. On peut définir cette suite parun+1=2×unpourn?Netu0=1.

Remarque :

Pourmontrer qu"une suite est géométrique:

?On calcule le quotientun+1 un?On montre que ce quotient est constant.

3Les suites

Théorème :Forme explicite d"une suite géométrique ?Si (un) est une suite géométriquede raisonq, alors pour tout entier naturelnon a : u n=u0qn. ?Si (un) est une suite géométriquede raisonq, alors pour tous entiers naturelsnetkon a : u n=ukqn-k. Exemple 8 :Déterminer la forme explicite d"une suite géométrique

1)Soit la suite géométrique(un) de premier termeu0=1 et de raison 2. Déterminer sa forme explicite.

2)Soit la suite géométrique(vn) telle quev4=21 et de raison 3. Déterminer sa forme explicite.

Correction :

1) un=1×2n=2n(Cela correspond à la suite des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16...)

2)vn=v4×qn-4=21×3n-4

V Sens de variations d"une suite

Définition :Suitecroissante, décroissante, monotone ?On dit qu"une suiteuestcroissantesi pour tout entier natureln,un+1≥un. ?On dit qu"une suiteuestmonotonesi elle est croissante ou décroissante.

Remarques :

?On définit de même une suite strictement monotoneen utilisant des inégalités strictes. ?Une suite peut être monotone à partir d"un terme (d"un certain rang).

Exemples 9 :Variations desuites

?La suiteudéfinie pour tout entier naturelnparun=(-1)nn"est ni croissante ni décroissante. Les termes d"indice pair sont égaux à 1 et les termes d"indiceimpair sont égaux à-1.

01234567

-1 1

?La suiteudéfinie pour tout entier naturelnparun=n2-6n+9 est croissante à partir de l"indice 3.

012345678910111213

10 20 30
40
50
60
70
80
90
100

4Les suites

Propriété :Casd"une suitearithmétique

Soit la suiteuarithmétiquede raisonrnon nulle et de premier termeu0. Elle modélise uneévolutionlinéaire. Lesvariationsabsolue sont constantes, égales àr. ?Sirest négatif, alors la suiteuest décroissante. ?Sirest positif, alors la suiteuest croissante. r>0

01234567

2 4 6 8 10 uestcroissanter<0

012345678-5

5 10 15 20 25
30
uestdécroissanter=0

01234567

1 2 3 4 5 uestconstante

Propriété :Casd"une suitegéométrique

Soit la suiteugéométrique de raisonqet de premier termeu0.

Elle modélise uneévolutionexponentielle. Lesvariationsrelativessont constantes, égales àq-1.

?Siu0>0 et 00 etq>1, alors la suiteuest croissante. ?Siu0<0 et 01, alors la suiteuest décroissante. u

0>0 etq>1

0123456

5 10 15 20 25
30
uestcroissanteu

0>0 et 0

0123456

5 10 15 20 25
30
uestdécroissanteq=1

0123456

1 2 3 4 5 6 uestconstante

Exemples 10 :

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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