[PDF] Correction : montrer quune suite est ou nest pas géométrique

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Correction : montrer qu"une suite est ou n"est pas géométrique www.bossetesmaths.com ?Exercice 1 (Montrer qu"une suite n"est pas géométrique) Pour montrer que la suite (un) n"est pasgéométrique, on calcule les 3 premiers termes. a)Pour toutn?N,u n=6n-2n2+1. u

0=6×0-2×02+1=1

u

2=12-8+1=5

u 1 u0=51=5 etu2u1=55=1. 5?=1 doncu1u0?=u2u1donc la suite (un) n"est pas géométrique. b)Pour toutn?N,u n=1+3?n. u

0=1+3?

u 1 u0=41=4 etu2u1=1+3? 2

4≈1,3.

4?=1,3 doncu1

u0?=u2u1donc la suite (un) n"est pas géométrique. c)Pour toutn?N?,u n=4-2n. u 1=4-2 u 2 u1=32etu3u2=10 3

3=103×13=109.

3

2?=109doncu2u1?=u3u2donc la suite (un) n"est pas géométrique.

d) ?u 0=2 u n+1=u2n+3 pour toutn?N. u 0=2 u 1 u0=72=3,5 etu2u1=527≈7,4. 7

2?=527doncu1u0?=u2u1donc la suite (un) n"est pas géométrique.

?Exercice 2 (Montrer qu"une suite est géométrique) Pour montrer que la suite (un) estgéométrique, on calculeun+1 unpour tout entiernet on constate que le résultat obtenu est constant (cette constante est la raisonde la suite). a)Pour toutn?N,u n=-4×5n.

Soitn?N.u

n+1 un=-4×5 n+1 -4×5n=-4×5 n×5 -4×5n=5 donc la suite (un) est géométrique de raison 5.

Premier terme

:u0=-4×50=-4×1= -4. b)Pour toutn?N,u n=2n+1×3.

Soitn?N.u

n+1 un=2 n+2×3

2n+1×3=2

n+2

2n+1=2

n+1×2

2n+1=2 donc la suite (un) est géométrique de raison 2.

Premier terme

:u0=20+1×3=21×3=2×3=6.

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c)Pour toutn?N,un=43n.

Soitn?N.u

n+1 un=43n+1 4 3n =43n+1×3 n

4=43n×3×3

n

4=13donc la suite (un) est géométrique de raison13.

Premier terme

:u0=430=41=4. d) ?u 0=-1 u n+1=2un

5pour toutn?N.

Soitn?N. D"après la relation de récurrence, on au n+1=2un

5=25undoncun+1

un=25 donc la suite (u n) est géométrique de raison25.

Premier terme

:u0=-1. ?Exercice 3 (Avec une suite auxiliaire - type bac ES) a)On considère la suite (un) définie par :?u 0=-4 u n+1=1,5un+9 pour toutn?N.

On introduit la suite (v

n) définie pour toutn?Npar :vn=un+18.

Soitn?N.v

n+1=un+1+18=1,5un+9+18=1,5un+27=1,5? un+271,5? =1,5(un+18)=1,5vn donc la suite (vn) est géométrique de raison 1,5.

Premier terme

:v0=u0+18=-4+18=14. b)On considère la suite (w n) définie par :???w 0=2 w n+1=13wn-2 pour toutn?N.

On introduit la suite (v

n) définie pour toutn?Npar :vn=wn+3.

Soitn?N.v

n+1=wn+1+3=13wn-2+3=13wn+1=13(wn+3)=13vn donc la suite (vn) est géométrique de raison13.

Premier terme

:v0=w0+3=2+3=5. ?Exercice 4 (Avec une suite auxiliaire - type bac S)

1) a)*u1=21+u0=21+3=24=12.

*u2=2

1+u1=21+12=

2 2 2+12= 2 3

2=2×2

3=43. b)* (u n) arithmétique? u

1-u0=1

2-3=12-62=-52;u2-u1=43-12=86-36=56.

5

2?=56doncu1-u0?=u2-u1donc la suite (un) n"est pas arithmétique.

* (u n) géométrique? u 1 u0=1 2

3=12×13=16;u2u1=4

3 1 2= 4

3×21=83.

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1

6?=83doncu1u0?=u2u1donc la suite (un) n"est pas géométrique.

2)v n=un-1 un+2pour tout entier natureln. a)v0=u0-1 u0+2=3-13+2=25. b)Soitn?N.v n+1=un+1-1 un+1+2=2

1+un-1+un

1+un 2

1+un+2(1+un)

1+un =21+un-1+un 1+un 2

1+un+2+2un

1+un =2-(1+u n) 1+un

2+2+2un

1+un =2-1-u n 1+un 4+2un 1+un vn+1=1-u n 1+un 4+2un 1+un =1-un

1+un×1+un

4+2un=1-un

4+2un=-(un-1)

2(un+2)=-12u

n-1 un+2=-12vn.

Donc la suite (v

n) est géométrique de raisonq=-12. c)Soitn?N. D"après précédemment, on av n=v0×qn=25×? -12? n

Comme-1<-1

2<1, alors limn→+∞?

-12? n =0 et, par multiplication par25, on obtient limn→+∞vn=0. d)On av n=un-1 ??2vn+1=un(1-vn)??un=2vn+1 1-vn.

Comme lim

n→+∞vn=0, alors limn→+∞(2vn+1)=2×0+1=0+1=1 et limn→+∞(1-vn)=1-0=1.

Par quotient, on obtient lim

n→+∞un=1.

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