[PDF] Chapitre 11 : Géométrie dans lespace

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Chapitre 11 : Chapitre 11 :

Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace (partie 1 : Sections, vecteurs et droites de l'espace)(partie 1 : Sections, vecteurs et droites de l'espace)

I) Positions relatives de droites et de plans, sections

Définition

Un plan est défini à partir de 3 points non alignés (ou deux vecteurs non colinéaires) Propriétés (relations entre droites et plans)

1) Deux droites de l'espace sont : sécantes, parallèles ou non-coplanaires (pas dans le même plan)

2) Dans l'espace, une droite peut-être sécante, parallèle ou contenue dans un plan.

3) Deux plans de l'espace sont parallèles ou sécants (suivant une droite)

Propriétés

1) Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan

2) Toute droite parallèle à 2 plans sécants est parallèle à la droite d'intersection de ces 2 plans.

3) Si deux droites sécantes d'un plan P sont parallèles à un autre plan P', alors P et P' sont parallèles

4) Si un plan qui coupe deux plans parallèles, alors les droites d'intersections sont parallèles

Exemple (déterminer l'intersection de deux plans à partir du cube)

Dans le cube ABCDEFGH.

1) Déterminer l'intersection des plans (HGB) et (EFC).

2) Déterminer l'intersection des plans (EBG) et (ACF)

1) Après avoir représenté ces plans à l'aide du cube,

on constate que leur intersection est la droite (IJ) avec I centre du carré BCGF et J centre du carré ADHE.

2) Après avoir représenté ces deux plans à l'aide du cube,

on détermine les deux points d'intersections de ces deux plans qui sont M et N avec M centre du carré ABFE et N centre du carré BCGF. L'intersection des plans (EBG) et (ACF) est donc la droite (MN) Exemple (déterminer deux plans dont l'intersection est une droite donnée) Soit ABCDEFGH un cube avec I centre du carré EFHG et J centre du carré ABFE. On cherche deux plans dont l'intersection est la droite (IJ). Les plans (EGB) et (AFH) sont sécants en I et en J.

Donc leur intersection est la droite (IJ)

Exemple (déterminer l'intersection de deux plans à partir d'une pyramide) Soit SABCD une pyramide à base carrée de centre O.

1) Déterminer l'intersection des plans (SBD) et (SAC)

2) Déterminer l'intersection des plans (SBC) et (SAD)

1) Cherchons la droite d'intersection des plans (SBD) et (SAC)

Le point S appartient au deux plans, donc il appartient à la droite d'intersection. Il nous reste à trouver un deuxième point appartenant à cette droite. Le point O est l'intersection des droites (AC) et (BD), donc O appartient aux deux plans (SBD) et (SAC). Ainsi, la droite d'intersection des plans (SBD) et (SAC) est la droite (OS)

2) Le point S appartient aux deux plans (SBC) et (SAD).

On cherche un deuxième point commun à ces deux plans.

On trace la parallèle à (SC) passant par B, et la parallèle à (BC) passant par C, on obtient M.

Le quadrilatère MSCB est un parallèlogramme.

La droite (MS) est parallèle à la droite (BC) qui est parallèle à la droite (AD). De plus,

MS=BC=AD. Ainsi, (MS) est parallèle à (AD) et MS=AD, donc MSAD est un parallèlogramme. Le point M appartient donc au plan (SBC) et au plan (SAD).

La droite d'intersection est donc (SM).

Définition

La section d'un cube par un plan P est l'intersection de chaque face du cube (avec ce plan.

Remarques

- La section revient à chercher la trace que laisse le plan sur chaque face du cube. - On ne peut pas relier deux points du cube s'ils ne sont pas sur une même face - Il est possible que le plan ne coupe pas toutes les faces - Lorsqu'on a obtenu un polygone, la section est "terminée ».

Exemple (section d'un cube par un plan)

Soient ABCDEFGH un cube et I et J milieux respectifs de [AB] et [GC] Déterminer la section du cube par le plan (IJH)

Trace du plan (IJK) sur la face DCGH

On trace le segment [JH]

Trace du plan (IJK) sur la face ABFE

On ne peut pas relier I et H car ils ne sont pas sur la même face du cube. Le plan (IJK) coupe les deux plans parallèles (ABF) et (DCG) en deux droites parallèles : on trace la parallèle à (JH) passant par I : on obtient le point M

On trace le segment [IM]

Trace du plan (IJK) sur la face BCGF

Le plan (IJK) coupe les deux plans parallèles (ADH) et (BCG) en deux droites parallèles : on trace la parallèle à (MH) passant par J : on obtient le point N

On trace le segment [JN]

Trace du plan (IJK) sur la face ABCD

On trace le segment [IN]

Section du cube par le plan (IJH)

Polygone (pentagone) INJHM

Exemples (section d'un cube par un plan)

(I, J et K placés aux tiers)

Thalès dans le triangle EBG :

(JK)//(EB), (IJ)//(BG) et (IK)//(EG) Exemple (section d'un cube par un plan : en utilisant un point en dehors du cube) Soient ABCDEFGH un cube et I, J et K les milieux respectifs de [AE], [AB] et [BC] Déterminer la section du cube par le plan (IJK)

Trace du plan (IJK) sur la face ABFE

On trace le segment [IJ]

Trace du plan (IJK) sur la face ABCD

On trace le segment [JK]

Trace du plan (IJK) sur la face BCGF

Le point K appartient au plan (IJK) et à la face BCFG. Cherchons un deuxième point appartenant au plan (IJK) et à la face BCGF Pour cela, nous devons prolonger une droite " rouge » et une droite de la face BCGF : Les droites (IJ) et (FB) se coupent en un point M qui appartient donc aux plans (IJK) et (BCG) La droite (MK) appartient aux plans (IJK) et (BCG) et coupe le segment [CG] en un point L

On trace le segment [KL]

Trace du plan (IJK) sur la face CGHD

Le plan (IJK) coupe les deux plans parallèles

(ABF) et (DCG) en deux droites parallèles : On trace la parallèle à (IJ) passant par L : on obtient N

Trace du plan (IJK) sur la face EFGH

Le plan (IJK) coupe les deux plans parallèles

(ABC) et (EFG) en deux droites parallèles : On trace la parallèle à (JK) passant par N : on obtient O

Trace du plan (IJK) sur la face ADHE

On trace le segment [IO]

Section du cube par le plan (IJK)

Polygone (hexagone) IJKLNO

Exemples (section d'un cube par un plan : en utilisant un point en dehors du cube) (I, J et K placés au tiers) (I et J au tiers, K au milieu)

Exemple (Section d'une pyramide par un plan)

Soit SABCD une pyramide à base carré.

Soient I, J et K milieux respectifs de [SB], [BC] et [SD] Déterminer la section de la pyramide par le plan (IJK)

Trace du plan (IJK) sur la face SBC

On trace le segment [IJ]

Trace du plan (IJK) sur la face SCD

La droite (IJ) est parallèle à la droite (SC) : théorème de Thales dans le triangle SBC.

Soit M le milieu de [CD]. La droite (MK) est aussi parallèle à la droite (SC): Thalès dans SCD.

Les droites (IJ) et (MK) sont donc parallèles car toutes deux parallèles à la droite (SC) La droite (MK) fait donc partie du plan (IJK) : On trace le segment [MK]

Trace du plan (IJK) sur la face SAD

Nous avons déjà le point K sur la face SAD. Cherchons un autre point :

Les droites (JM) et (AD) se coupent au point L.

Le point L appartient à la droite (JM) donc au plan (IJK) et appartient à (AD) donc au plan (SAD)

Ainsi, la droite (LK) appartient aux deux plans (IJK) et (SAD) et elle coupe [SA] en N.

On trace le segment [KN]

Trace du plan (IJK) sur la face SAB

On trace le segment [IN]

Section de la pyramide par le plan (IJK)

Polygone (pentagone) IJMKN

I I ) Vecteurs de l'espace

Exemple (Vecteurs de l'espace)

Soit ABCDEFGH un cube

1) Déterminer le point M tel que : ⃗AM=⃗AB+⃗DHM=F

⃗AM=⃗BC+⃗DC+⃗CEM=E ⃗EM=⃗HB+⃗AH+⃗CDM=H

2) Déterminer la droite passant par :

Le point A et dirigée par ⃗BG(AH)

Le point B et dirigée par

⃗EH(BC) Le point C et dirigée par ⃗GF+⃗BA(CA)

3) Déterminer le plan passant par :

Le point A et dirigée par ⃗BC et DC(ABC)

Le point A et dirigée par

⃗FG et ⃗DH(ADH) Le point E et dirigée par ⃗FC et ⃗CD(EFC) Le point A et dirigée par ⃗GB et ⃗FE(ABG)

Proposition (droite de l'espace)

Soit A un point de l'espace et

⃗u un vecteur non nul.

L'ensemble des points M de l'espace tel que

⃗AM=x⃗u est la droite passant par A et dirigée par ⃗u( x∈ℝ)

Proposition (plan de l'espace)

Soit A un point de l'espace et

⃗u et ⃗v deux vecteurs non colinaires de l'espace

L'ensemble des points M tels que ⃗AM=x⃗u+y⃗v est le plan passant par A et dirigée par ⃗u et ⃗v

(x et y réels)

Remarque

Deux points sont toujours " colinéaires » (sur une même droite), mais pas forcément trois

Trois points sont toujours " coplanaires » (sur un même plan), mais pas forcément quatre Trois vecteurs sont coplanaires si on peut les " inclure » dans un plan

Définition (vecteurs coplanaires)

Soient ⃗u, ⃗v et ⃗w trois vecteurs de l'espace.

Soit O un point de l'espace et A, B et C tel que ⃗u=⃗OA, ⃗v=⃗OB et ⃗w=⃗OC

On dit que les vecteurs

⃗u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires si les 4 points O, A, B et C sont coplanaires (sur un même plan)

Exemple (Vecteurs coplanaires)

1) A partir du cube, déterminer des vecteurs coplanaires :

⃗AB, ⃗AC et ⃗AD ⃗BC, ⃗AE et ⃗DE ⃗AG, ⃗AB et ⃗BG2) A partir du cube, déterminer des vecteurs non coplanaires : ⃗AB, ⃗BC et ⃗FB ⃗AE, ⃗BE et ⃗GF Proposition (caractérisation des vecteurs coplanaires)

Soient

⃗u et ⃗v deux vecteurs non colinaires

Les vecteurs

⃗u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que :

⃗w=x⃗u+y⃗vExemple (Vecteurs coplanaires)

Les vecteurs

⃗AB, ⃗BC et ⃗EG sont coplanaires car ⃗EG=⃗AB+⃗BC

Remarque

Si trois vecteurs sont non coplanaires, aucun des trois ne peut s'écrire en fonction des deux autres

Exemple (alignement dans un cube)

ABCDEFGH un cube, J milieu de [HG] et I tel que ⃗BI=2

3⃗BH

Montrer que les points A, I et J sont alignés

Les points A, I et J sont dans le parallélogramme (rectangle) ABGH A, I et J alignés ⇔ ⃗AJ colinaire à ⃗AI

D'une part⃗AI=⃗AB+⃗BI

D'autre part

⃗AJ=⃗AB+⃗BH+⃗HJ ⃗AJ=⃗AB+3

2⃗BI+1

2⃗AB⃗AJ=3

2⃗AB+3

2⃗BI

⃗AJ=3

2⃗AJAinsi, les vecteurs

⃗AJ et ⃗AI sont colinaires, donc les points A, I et J sont alignés.

Exemple (alignement dans une pyramide)

SABCD une pyramide à base carrée de centre O,

I et J tels que ⃗OI=1

4⃗OS et ⃗DJ=2

5⃗DS

Montrer que les points B, I et J sont alignés.

Les points B, I et J appartiennent au triangle (isocèle) SBD La droite (SO) est la médiane de ce triangle car O est le milieu des diagonales du carré ABCD B, I et J alignés ⇔ ⃗BI colinaire à ⃗BJ

D'une part ⃗BI=⃗BO+⃗OI

D'autre part⃗BJ=⃗BD+⃗DJ

⃗BJ=2⃗BO+2

5⃗DS

⃗BJ=2⃗BO+2

5⃗DO+2

5⃗OS

⃗BJ=2⃗BO-2

5⃗BO+2

5 (4⃗OI)⃗BJ=8

5⃗BO+8

5⃗OI

⃗BJ=8

5⃗BI

Ainsi, les vecteurs ⃗BJ et

⃗BI sont alignés, donc les points B, I et J sont alignés.

II I ) Repère de l'espace

Proposition (Vecteurs non coplanaires)

Soient ⃗u, ⃗v et ⃗w trois vecteurs non coplanaires de l'espace.

Tout vecteur ⃗t de l'espace peut s'écrire sous forme unique ⃗t=x⃗u+y⃗v+z⃗w

avec x, y et z trois réels.

Définition (repère de l'espace)

Soient O un point de l'espace et ⃗i,

⃗j et ⃗k trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tels que : ⃗OM=x⃗i+y⃗j+z⃗k (x,y,z) sont les coordonnées du point M dans le repère (O,⃗i,⃗j;⃗k)x : abscisse de My : ordonnée de Mz : cote de M

Exemple (coordonnées dans un cube)

On se place dans le repère

(A;⃗AD;⃗AB;⃗AE)Déterminer les coordonnées de chaque point : A (0;0;0)B(0;1;0)C(1;1;0)D(1;0;0)E (0;0;1)F(0;1;1)G(1;1;1)H(1;0;1)Propriétés (coordonnées)

L'espace est muni d'un repère

(O;⃗i;⃗j;⃗k)Soient A (xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points de l'espace.

Coordonnées du vecteur ⃗AB : ⃗AB

(xB-xA yB-yA zB-zA)Milieu I du segment [AB] : I (xA+xB

2;yA+yB

2;zA+zB

2)Centre de gravité G du triangle ABC :

G(xA+xB+xC

3;yA+yB+yC

3;zA+zB+zC

3)Exemple (Vérifier si 2 vecteurs de l'espace sont colinéaires)

Déterminer si les vecteurs suivants sont colinéaires :

1) ⃗u

(1 2

5) et ⃗v(3

6

15)oui car ⃗v=3⃗u

2) ⃗u

(4 1

0) et ⃗v(12

3 -1)non car 12=3×4, 3=3×1 mais -1≠3×0 Exemple (Vérifier si 3 points de l'espace sont alignés)

Déterminer si les points A, B et C sont alignés. Sinon, proposer un autre point C' aligné avec A et B

1) A(1;2;3), B(5;1;2), C(13;-1;0)A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs

⃗AB et ⃗AC sont colinéaires. ⃗AB (4 -1 -1), ⃗AC(12 -3 -3). Or ⃗AC=3⃗AB, ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés 2) A(1;2;3), B(4;2;-1), C(6;-1;2)A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires. ⃗AB(3 0 -4), ⃗AC(5 -3 -1). Les vecteurs ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires.

Déterminons un point

C' aligné avec A et B.

Pour cela, il suffit d'appliquer le vecteur

⃗AB(3 0 -4) à partir du point B(4;2;-1). on obtient le point C' (4+3;2+0;-1-4)=C'(7;2;-5)Exemple (Vérifier si deux droites de l'espace sont parallèles)

Soient A

(1;3;2), B(4;1;6), C(-1;2;4) et D(14;-8;24). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

Il suffit de vérifier si les vecteurs

⃗AB et ⃗CD sont colinéaires. ⃗AB (3 -2

4), ⃗CD(15

-10

20). Or ⃗CD=5⃗AB, donc ⃗AB et ⃗CD sont colinéaires.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles

Exemple (Vérifier si 4 points de l'espace forment un parallélogramme)

Déterminer si ABCD est un parallélogramme. Sinon proposer un autre point D' afin qu'il le soit.

1) A(4;-1;3), B(-2;5;1), C(-6;13;-1) et D(0;7;1)ABCD est un parallélogramme si et seulement si

⃗AB=⃗DCOr ⃗AB(-6 6 -2) et ⃗DC(-6 6 -2). Comme ⃗AB=⃗DC, alors ABCD est un parallélogramme 2)

A(1;3;2), B(4;1;6), C(-1;2;4) et D(14;-8;24).

⃗AB (3 -2 4), ⃗DC(-15 10 -20). Les vecteurs ne sont pas égaux (bien qu'ils soient colinéaires).

Donc ABCD n'est pas un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées de D'

(x;y;z) afin que ABCD' soit un parallélogramme ABCD' est un parallélogramme si et seulement si ⃗AB=⃗D'C

Or ⃗AB=⃗D'C

⇔⃗AB(3 -2

4) = ⃗D'C(-1-x

2-y

4-z)⇔{3=-1-x

-2=2-y 4=4-z ⇔ x=-4, y=4, z=0Le point recherché est D' (-4;4;0) Exemple (Vérifier si 3 vecteurs de l'espace sont coplanaires) Déterminer si les vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires

1) ⃗u

(1 2

5), ⃗v(-1

5

3), ⃗w(3

-1

7)⃗u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que ⃗w=x⃗u+y⃗vOr

⃗w=x⃗u+y⃗v ⇔ (3 -1

7) = (x

2x

5x)+(-y

5y

3y) ⇔ {3=x-y

-1=2x+5y

7=5x+3y

A l'aide des deux premières lignes on obtient : y=x-3, donc -1=2x+5(x-3) ⇔ -1=7x-15 ⇔ 7x=14 ⇔ x=2Donc

y=x-3=2-3=-1 donc y=-1On vérifie que les valeurs de x et de y sont solutions de la 3e ligne : 7=5×2+3×

(-1)=7

Ainsi,

x=2 et y=-1, donc on a ⃗w=2⃗u-⃗v. Les vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires

2) ⃗u

(1 3

2), ⃗v(2

-1

3), ⃗w(4

-2

1)⃗u, ⃗v et ⃗w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que ⃗w=x⃗u+y⃗vOr

⃗w=x⃗u+y⃗v ⇔ {4=x+2y -2=3x-y

1=2x+3y

A l'aide des deux premières lignes, on a :

x=4-2y ⇔ -2=3(4-2y)-y = -2=12-7y ⇔ 7y=14 ⇔ y=2Donc x=4-2y=4-2×2=0 ainsi x=0Vérifions si les valeurs de x et de y sont solutions de la 3e ligne :

2×0+3×2=6≠1Ainsi, il n'existe pas de valeurs de x et de y telles que

⃗w=x⃗u+y⃗vDonc les vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w ne sont pas coplanaires Exemple (Vérifier si 4 points de l'espace sont coplanaires)

Pour vérifier si 4 points A, B, C et D sont coplanaires, il suffit de vérifier si 3 vecteurs formés

parmis les 4 points sont coplanaires, par exemple s'il existe deux réels x et y tels que : ⃗AB=x⃗AC+y⃗AD (voir exemple précédent)

IV) Représentation paramétrique d'une droite et d'un planOn se place dans un repère (O;⃗i,⃗j,⃗k) de l'espace

Propriété (représentation paramétrique d'une droite)

Un point M

(x,y,z) appartient à la droite passant par le point A(xA;yA;zA) et dirigée par le vecteur ⃗u (a b c) si et seulement si il existe un réel t tel que : {x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct

Démonstration

Remarque

Une représentation paramétrique est test pour savoir si un point appartient ou non à une droite.

Exemple (représentation paramétrique d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur) Donner une représentation paramétrique de la droite D :

1) passant par

A(1;2;4) et dirigée par ⃗u(-1

5

10)D : {x=1-t

y=2+5t z=4+10t

2) passant par A

(0;-1;2) et dirigée par ⃗u(2 0

4)D : {x=2t

y=-1 z=2+4t3) passant par

A(1;2;4) et parallèle à D' : {x=3+t

y=-1+5t z=8-14t ⃗u(1 5

14)D : {x=1+t

y=2+5t z=4-14t

4) passant par

A(1;2;4) et B(4;-1;2) ⃗u(3

-3 -2)D : {x=1+3t y=2-3t z=4+2t Exemple (vecteur directeur à partir de la représentation paramétrique d'une droite) Pour chaque droite D, donner un vecteur directeur et un point appartenant à cette droite :

1) D :

{x=3+4t y=1-5t z=1+2tA (3;1;1) et ⃗u(4 -5

2)2) D :

{x=2 y=tquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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