[PDF] Chapitre 13 Géométrie dans lespace

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Chapitre 13Géométrie dans l"espaceSommaire

13.1 Incidence et parallélisme dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

13.1.1 Règles d"incidence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

13.1.2 Postions relatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

13.1.3 Parallélisme dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13.2 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

13.2.1 Incidence et parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

13.2.2 Sections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

13.1 Incidence et parallélisme dans l"espace

13.1.1 Règlesd"incidence

Règle 13.1.Par deux points distincts de l"espace A et B, il passe une unique droite, notée(AB).

Règle 13.2.Par trois points non alignés de l"espace A, B etC, il passe un unique plan, noté(ABC).

Règle 13.3.Si deux points distincts A et B de l"espace appartiennent à unplanP, alors la droite

(AB)est contenue dans le planP, c"est-à-dire que tout point M appartenant à la droite(AB) appartient aussi au planP.

Règle13.4.Dans chaque plan de l"espace, on peutappliquer tous les théorèmesde géométrieplane

(PYTHAGORE,THALÈS, etc.). 133

13.1 Incidence et parallélisme dans l"espaceSeconde

13.1.2 Postions relatives

Positionsrelativesde deux droites

Règle 13.5.Deux droites de l"espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires.

Coplanaires (dans un même plan)

Non coplanaires

detd?sécantesdetd?parallèles d d?×A dd?d d? d d? detd?ont un point d"intersubsection

A.detd?sont

strictement parallèles.detd?sont confonduesAucun plan necontient à la foisdetd?. d∩d?=∅

Remarques.

• Contrairementau plan,deux droitesde l"espace n"ayant pas de pointen communne sont pas forcément parallèles. • Des droites strictement parallèles sont des droitescoplanaires et qui n"ont aucun point en commun. • On peut définir un plan de plusieursmanières : -par la donnée de trois points; -par la donné de deux droites sécantes; -par la donnée de deux droites strictement parallèles; -par la donnée d"une droite et d"un point n"appartenantpar à cette droite.

Positionsrelativesd"une droite etd"un plan

Règle 13.6.Une droite et un plan de l"espace sont soit sécants, soit parallèles.

Sécants

Parallèles

×B dP dP dP detPont un point d"intersubsectionB.detPsont strictement parallèles.dest contenuedansP d∩P={B} d∩P=∅d∩P=d Remarque.Une droitedet un planPsont parallèles s"ils ne sont pas sécants. On note alorsd?P ouP?d. 134
http://perpendiculaires.free.fr/ Seconde13.1 Incidence et parallélisme dans l"espace

Positionsrelativesde deux plans

Règle 13.7.Deux plans de l"espace sont soit sécants, soit parallèles.

Sécants

Parallèles

d PP ?PP P P

PetP?ont une droite

d"intersubsectiond.PetP?sont strictement parallèles.PetP?sont confondus

P∩P?=d

P∩P?=∅P∩P?=P=P?

Remarque.Deux plansPetP?sont parallèles lorsqu"ils ne sont pas sécants. On noteP?P?.

Remarques.

• Pourdémontrerquetroispointssontalignés,ilsuffitdemontrerquelestroispointsappartiennent à deux plans sécants : comme l"intersubsection de deux planssécants est une droite, cela implique que les points sont tous les trois sur cette droite. • Pourtrouverladroited"intersubsectiondedeuxplans,ilsuffitdetrouverdeuxpointsdistincts qui appartiennentaux deux plans: la droite d"intersubsectionest alors celle qui passe par ces contenue dans l"un des plans, l"autre dans l"autre plan.

13.1.3 Parallélisme dans l"espace

Parallélisme entre droites

Propriété 13.1.Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.

Si d?d?et d??d??alors d?d??

Propriété 13.2.Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l"une, coupe l"autre.

Parallélisme entre plans

Propriété 13.3.Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux.

SiP?P?etP??P??alorsP?P??

Propriété 13.4.Si deux droites sécantes d et d?d"un planPsont parallèles à deux droites sécantes

ΔetΔ?d"un planQ, alorsPetQsont parallèles. d d? PQ

David ROBERT135

13.1 Incidence et parallélisme dans l"espaceSeconde

Propriété 13.5.Si deux plansPetP?sont parallèles, alors tout plan sécant àPest aussi sécant à

P ?et leurs droites d"intersubsection d et d?sont parallèles. PQd d?

Parallélisme entre droite et plan

Propriété13.6.Si deuxplansPetP?sont parallèles etsi une droite d est parallèle àP, alors d est

parallèle àP?.

Si d?PetP?P?alors d?P?

d P P

Propriété 13.7.Si deux droites d etΔsont parallèles, et si d est contenue dans un planP, alorsΔ

est parallèle àP. d ΔP

136http://perpendiculaires.free.fr/

Seconde13.1 Incidence et parallélisme dans l"espace

Propriété13.8.Si deuxplansPetP?sontsécants selon unedroiteΔetsid estune droite parallèle

àPetP?alors d etΔsont parallèles.

P?

PΔd

Théorème 13.9(Théorème du toit).Si :

• d et d ?sont parallèles; •Pest un plan qui contient d etP?est un plan qui contient d?; •PetP?sont sécants selon une droiteΔ alorsΔest parallèle à d et à d?. P?P d d?

David ROBERT137

13.2 ExercicesSeconde

13.2 Exercices

13.2.1 Incidence et parallélisme

EXERCICE13.1.

SABCDest une pyramide à base carrée.Iest un point du segment [BC], distinct deBetC.

1. Montrer que les plans (SAI) et (SCD) sont sécants.

2. Construireleur intersubsection.

B CD AS I

EXERCICE13.2.

ABCDEFGHest un parallélépipède rectangle.Iest un point de [AE] distinct deAet deE.

1. Démontrer queA,C,GetIsont coplanaires.

2. Démontrer queladroite(GI)n"est pascontenuedans

le plan (ABCD).

3. ConstruireJ, intersubsection de la droite (GI) et du

plan (ABCD).H G FE D CAB? I

EXERCICE13.3.

ABCDest un tétraèdre.Iest un point de [BC] distinct deBet deC.Jest un point de [AD] distinct deAet deD. Dans les cas suivants, démontrer que les plans sont sécants et déterminer leur intersubsection.

1. (DI J) et (BCD).

2. (DI J) et (ABD).

3. (DI J) et (ABC).

A BCD J I

EXERCICE13.4.

ABCDest untétraèdre.Iest unpoint de [DA] distinct deDet deA.Jest un point de la faceBCDtel que la droite (I J) n"est pas parallèle au plan (ABC). Construirel"intersubsectiondeladroite(I J)etduplan(ABC).

Indication : on pourra commencer par construire

l"intersubsection des plans(DI J)et(ABC). A BCD I J

EXERCICE13.5.

SABCest un tétraèdre.I,JetKsont des points de, respectivement, [SA], [SB] et [SC].

1. ConstruireE, intersubsection de (BC) et (JK),F,

intersubsection de (AC) et (IK),G, intersubsection de (AB) et (I J).

2. Démontrer queFest un point commun aux plans

(ABC) et (I JK).

3. Prouver que les pointsE,FetGsont alignés.

A BCS I J× K

138http://perpendiculaires.free.fr/

Seconde13.2 Exercices

EXERCICE13.6.

SABCDest une pyramide à base carrée.Iest le milieu de [AS] etL est le milieu de [BS]. Démontrer que les droites (IL) et (CD) sont parallèles. A BC DS

EXERCICE13.7.

ABCDEFGHest un cube.Mest un point de l"arête [AB]. Le plan (GEM) coupe la droite (BC) enN. Démontrer que les droites (MN) et (EG) sont parallèles. ABCDE FH GMN

EXERCICE13.8.

SABCDest une pyramide de sommetSà base trapézoïdale avec (AB)?(CD).Mest un point de l"arête [SC]. Le plan (ABM) coupe la droite (SD) enN. Démontrer que les droites (MN) et (DC) sont parallèles. A BC DS M N

EXERCICE13.9.

SABCDest une pyramide de sommetSdont la baseABCD

est un parallélogramme. Démontrer que les plans (SAB) et (SDC) se coupent selon la parallèle à (AB) passant parS. A B CDS

EXERCICE13.10.

ABCDEFGHest un parallélépipèderectangle.

1. Le quadrilatèreBEHCest un rectangle. Que

peut-on en déduire pour les droites (EB) et (HC)?

2. De façon analogue, que peut-on dire des

droites (AH) et (BG)?

3. En déduire alors la position relative des plans

(ACH) et (EBG)? ABC D E FG H

EXERCICE13.11.

ABCDEFest un prisme droit à base triangulaire.I, LetKsont les points des arêtes [AB], [AC] et [DE] tels que :AI=2

3AB;AK=23ACetEL=13ED.

Démontrer que le plan (IKL) est parallèle au plan (BCF). A BC D EF L I K

David ROBERT139

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