Exercice 1 :
Justifier. 4) Démontrer que les points D E
NOMBRES COMPLEXES
4)Montrer que les points et ne sont pas alignés. 5) Déterminer le barycentre de {(
LEÇON N? 31 : Théorème de langle inscrit. Cocyclicité. Applications.
Dans la suite A et B sont deux points distincts de P
TD n?3 : Complexes
11 oct. 2012 Montrer que si z ? iR son image se situe sur la parabole d'équation cartésienne x = ... 4. En déduire que quatres points cocycliques A
Théorème de langle inscrit. Cocyclicité. Applications.
Des points sont dits cocycliques s'il existe un cercle qui les contient tous. Théorème 3 : Soit A B
Distance de deux points dans un repère orthonormal
Comme les axes sont perpendiculaires ( repère orthonormal ) le triangle ABC est rectangle en C. SAVOIR DEMONTRER QUE DES POINTS SONT COCYCLIQUES*.
Nombres complexes et géométrie
est réel. Exercice 3. Montrer que quatre points distincts A B
9Chapitre - Angles orientés de vecteurs dans le plan orienté
4) Colinéarité - Orthogonalité Des points appartenant à un même cercle sont cocycliques ! ... 2) Montrer que les points A ; B ; C ; H sont cocycliques ...
Préparation Olympique Française de Mathématiques 2017-2018
côté de (EF) les points A
STAGE OLYMPIQUE JUNIOR DE CACHAN 2021
1. Montrer que les points AE
TD n°3 : Complexes
PTSI B Lycée Eiffel
11 octobre 2012
Problème 1
On considère dans ce problème l"applicationf:C!Cdéfinie parf(z) = 2z(1z).1. Déterminer les points du plan complexe invariants par l"applicationf.
2. Déterminer les antécédents parfde4, ainsi que ceux de2 + 2i.
3. Déterminer les nombres complexes ayant une image réelle parf. Déterminer l"image de l"axe
réel parf.4. Déterminer une condition pour que deux nombres complexesz1etz2aient la même image par
f. Interpréter ce résultat géométriquement.5. Quels sont les nombres complexes ayant au moins un antécédent parf? Et ceux en ayant
exactement un?6. Montrer que siz2iR, son image se situe sur la parabole d"équation cartésiennex=y22
7. On cherche désormais à expliciter l"image parfdu cercle trigonométriqueU.
(a) Soitz=ei, avec2[0;]. Calculer le module et l"argument def(z). (b) Placer dans le plan complexe les points correspondant àf(ei)pour= 0,=6 ,=3 =2 ,=23 ,=56 et=. Tracer à partir de ces points une allure de l"image du demi-cercle trigonométrique supérieur.(c) Montrer que l"on peut obtenir l"image du demi-cercle inférieur à partir de la précédente
en effectuant une transformation géométrique simple. En déduire l"allure def(U).Problème 2
On définit dans ce problème le birapport de quatre nombres complexesa,b,cetdcomme le nombre[a;b;c;d] =(ab)(cd)(cb)(ad). On dira que quatre points (ou leurs affixes complexes) sont cocycliques s"ils appartiennent à un même cercle ou s"ils sont alignés.1. À quoi correspond, géométriquement,argabcb
? En déduire une condition simple pour que trois points soient alignés.2. Montrer que, sia,b,cetdsont alignés, alors[a;b;c;d]2R.
3. Montrer que, sia,b,cetdappartiennent à un même cercle de centre!(z)et de rayonr,
[a;b;c;d]2R(on pourra noter,, etles arguments des nombresaz,bz,czet dz).4. En déduire que quatres points cocycliquesA,B,CetDdans le plan vérifient\ABC\ADC[].
5. On suppose quea,betcsont réels. Montrer que, si[a;b;c;d]2R, alorsd2R.
6. On pose pour les dernières questionsf(z) =i1 +z1z. Montrer quez2U,f(z)2R.
7. Montrer que,[f(a);f(b);f(c);f(d)] = [a;b;c;d](quand cela a un sens).
8. Montrer que, sia,betcsont des nombres complexes de module1(distincts de1), et si
[a;b;c;d]2R, alorsd2U. que se passe-t-il si l"un des quatres nombres est égal à1? On peut en fait plus généralement démontrer que si[a;b;c;d]2R, les pointsa,b,cetdsont nécessairement cocycliques. 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que 4 points sont coplanaires
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