REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est.
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. P 15 Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. - Admis -. Méthode : Démontrer que
COMMENT DEMONTRER……………………
Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment. On sait que I appartient au segment [AB] et Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
Premi`ere S-méthode Table des mati`eres 1 Déterminer si deux
Chapitre : Produit scalaire vecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires. Table des mati`eres. 1 Déterminer si deux droites sont perpendiculaires.
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v ku 1 Montrer que deux droites sont perpendiculaires.
1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
Definition : - deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les vecteursu et v sont orthogonaux.
Produit scalaire dans lEspace
Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles. P et P sont perpendiculaires
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
les vecteurs ? ? et '? sont deux à deux orthogonaux
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. II. Vecteur normal à un plan. 1) Définition et propriétés est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Pre requis :
- produit scalaire - vecteur directeur d"une droite, vecteur normal à un planCadre :
E espace affine euclidien d"esp. Vectoriel associé E??.1) Droites orthogonales
a) Vecteurs orthogonaux Definition : deux vecteursu?et v? sont orthogonaux si et seulement si . 0uv=? ? b) Droites orthogonalesDefinition :
- deux droites D et D" de vecteur directeurs u?et v? non nul sont orthogonales si les vecteurs u?et v? sont orthogonaux. - Si de plus elles sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"une est orthogonale à l"autre Remarque : dans le plan, deux droites orthogonales à une même troisième sont paralleles, mais pas dans l"espace (prendre les axes du repere orthgononal.)Proposition : Soit
Pun plan, A P? et une droite D P?. Il existe une unique droite D"de P passant par A et perpendiculaires à D.2) Orthogonalité d"une droite et d"un plan
Remarque : existence d"une droite perpendiculaire à un plan.P un plan
?sous espace de dimension 2, P possède un vecteur normal qui dirige toute droite orthogonale D... a revoir a) Definition Definition : Soit D une droite de E et P un plan de E. D est orthogonale à P si D est orthogonale à toute droite de P Autrement dit : D et P sont orthogonaux lorsque pour toutes bases (v?,w??)vectorielles de P?? on a : u?.v?=0 et u?.w?? = 0 avec u?vecteur directeur de D. Remarque : pour qu"une droite soit perpendiculaires à un plan, il suffit qu"elle soit perpendiculaires à deux droites secantes de ce plan b) Proprietes Soient deux droites D et D" distinctes et deux plan P et P" distincts.Propriétés :
- Si D et D" sont paralleles, alors tout plan orthogonal à l"une est orthogonal à l"autre. - Si P et P" sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"un est orthogonale à l"autrePreuve :
- Soit u? (resp. "u??) vecteur directeur unitaire de D (resp.D"). Alors "u u= ±? ??. Si P est dirigé par ( v?,w??) alors . 0 . 0 ". 0 ". 0 "P D u v et u w
P D u v et u w P D
Si// " "P P P P? =?? ???, on pose (v?,w??) une base de vecteur unitaire. Soit D une droite perpendiculaire à P alors . 0 . 0 "P D uv et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ?? " . 0 . 0P D u v et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ??Corollaire :
Si deux droites distinctes sont orthogonales à un même plan, alors elles sont paralleles. Si deux plans distincts sont orthogonaux à une même droite alors ils sont paralleles Si un plan P et une droite D?P sont orthogonaux à une même droite alors D et P sont paralleles. Proposition : Il existe une unique droite D passant par un point A de E donné et orthogonale à un plan P donné.3) Plans perpendiculaires
Proposition : L"intersection de deux plans non parallèles et distincts est une droite. Preuve : par les equations de plan ou par les dimensions Definition : Deux plans P et P" de E sont dits perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.Propriété : Un plan P est perpendiculaire à un plan P" si et seulement si il contient une droite
D orthogonale à P"
Preuve passer par les bases vectorielles
Proposition : Si deux droites secants non confondus sont perpendiculaires à un même plan P, alors l"intersection D des deux plans est orthogonale à P. Proposition : S P et P" sont non confondus, perpendiculaires d"intersection D, tout plan P"" orthogonal à D coupe P et P" en deux droites orthogonales4) Application
a) Projection orthogonales sur un plan Soit P un plan de E. l"application qui a tout point M de E associe le pied de la perpendiculaire à P passant par M est appelée projection orthogonale sur P. b) Le plan mediateur d"un segment Soient A et B deux point distincts de E. l"ensemble P des points de E équidistants de A et de B est le plan orthogonal à (AB) passant par le milieu I de [A,B]. P est appelé le plan mediateur de [AB]. c) Theroeme des 3 perpendiculaires Theoreme : P un plan et A,B,C un triangle rectangle en B dans P. Soit D?E, D?P tel que ADB soit en triangle rectangle en A. Alors CBD est un triangle rectangle en BAutrement dit :
[]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AD AB et AB BC BD BC? ? ? ? Exercice : montrer que les hauteurs issues de A et B d"un tetraede ABCD sont concourantes si et seulement si (AB) et (CD) sont orthogonalesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que deux droites sont sécantes terminale s
[PDF] montrer que deux droites sont sécantes vecteurs
[PDF] Montrer que deux segments sont de même longueur
[PDF] montrer que deux systèmes agricoles s'opposent au brésil
[PDF] montrer que deux vecteurs sont colinéaires dans lespace
[PDF] Montrer que droite droite sont concourantes
[PDF] Montrer que f(x) =
[PDF] montrer que ga+gb+gc = 0
[PDF] Montrer que l'ecologie est un retoure en arriere ! Besoin d'aide Svp :D
[PDF] montrer que l'émancipation des femmes passe par l'éducation qui leur est donné dans leur famille et ? l'école
[PDF] Montrer que l'incipit de Voyage Au Bout De La Nuit fait l'objet d'une mise en forme poétique
[PDF] montrer que l'inégale développement de l'Inde est aussi spatial
[PDF] montrer que l'activité sportive contribue ? la lutte contre l obésité
[PDF] montrer que l'eau est un bien economique
