[PDF] Produit scalaire dans lEspace Si deux droites sont perpendiculaires à

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Produit scalaire

dans l"Espace

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Orthogonalité dans l"espace

2

1.1 Droites orthogonales

2

1.2 Droites perpendiculaires à un plan

2

2 Produit scalaire du plan3

2.1 Différentes expressions du produit scalaire

3

2.2 Règles de calcul sur le produit scalaire

3

2.3 Produit scalaire et orthogonalité

3

3 Produit scalaire de l"Espace

3

3.1 Extension de la définition à l"Espace

3

3.2 Expression analytique du produit scalaire

4

4 Orthogonalité dans l"Espace

4

4.1 Vecteurs orthogonaux

4

4.2 Vecteur normal à un plan - Applications

5

5 Équation cartésienne d"un plan

6

5.1 Équation cartésienne d"un plan dans un repère orthonormé

6

5.2 Intersection d"une droite et d"un plan

7

5.3 Intersection de deux plans

8

Table des figures

1 Définition de l"orthogonalité

2

2 Théorème de la porte

2

3 Droite perpendiculaire à un plan

5 ?

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1

1 ORTHOGONALITÉ DANS L"ESPACE

1 Orthogonalité dans l"espace

1.1 Droites orthogonalesDéfinition :Dans l"Espace, on dit que deux droites sontorthogonales s"il existe un p ointItels queles

parallèles à ces droites

passan tpar Isoientp erpendiculaires.Remarque :Attention!Dans l"Esp ace,des droites orthogonales ne son tpas nécessairemen tcoplanaires et

n"ont donc pas nécessairement de point d"intersection. Il faut bien faire la distinction entre des droites

orthogonales et des droites perpendiculaires (qui ont, elles un point d"intersection).Propriété : (admise)Si deux droites sontparallèles , alors toute droiteorthogonale à l"une est ortho-

gonale à l"autre .1.2 Droites perpendiculaires à un plan

Activité :Perpendicularité ou orthogonalité? (sur feuille polycopiée)Définition :SoitAle point d"intersection d"une droiteΔet d"un planP.

On dit que la droiteΔestp erpendiculaireau plan Psi elle estp erpendiculaireà toute sles droites du

planPpassantpar A(voir figure1 ).Figure1 - Définition de l"orthogonalitéThéorème : (admis)(aussi appelé " théorème de la porte »)

Si une droiteΔestp erpendiculaireen Aàdeux droites sécan tesd"un plan P, alors elle est perpendi-

culaire à ce plan (voir figure 2 ).Figure2 - Théorème de la porte Remarque :On a aussi les deux résultats suivants : Si deux droites son t p erpendiculairesà un même plan , alors elles sont parallèles Si deux plans son t p erpendiculairesà une même droite , ils sont parallèles 2

3 PRODUIT SCALAIRE DE L"ESPACE

Exercices :7, 8 page 272; 36 page 379 et 40 page 2801- 14 page 274; 37 page 279; 40, 42, 43 page 280;

55, 57 page 284 et 60, 62 page 285

2- 51 page 2833- 52, 54 page 2834

2 Rappels sur le produit scalaire du plan

2.1 Différentes expressions du produit scalaire

-Forme triangulaire:-→u .-→v=12 ?-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2?

-Expression trigonométrique: Si-→uet-→vsont deux vecteurs non nuls alors-→u .-→v=?-→u?.?-→v?.cos(-→u ,-→v)

-Expression dans un repère orthonormé: Si-→u?x y? et-→v?x? y alors-→u .-→v=xx?+yy?

2.2 Règles de calcul sur le produit scalaire

-Commutativité:-→u .-→v=-→v .-→u -Bilinéarité:

1.(-→u+-→v).-→w=-→u .-→w+-→v .-→wet-→u .(-→v+-→w) =-→u .-→v+-→u .-→w

2.(k-→u).-→v=k×(-→u .-→v)et-→u.(k-→v) =k×(-→u .-→v)

-Carré scalaire:-→u2=-→u .-→u=?-→u?2 -Identités remarquables:

1.?-→u+-→v?2= (-→u+-→v)2=-→u2+ 2-→u .-→v+-→v2=?-→u?2+ 2-→u .-→v+?-→v?2

2.?-→u--→v?2= (-→u--→v)2=-→u2-2-→u .-→v+-→v2=?-→u?2-2-→u .-→v+?-→v?2

3.(-→u+-→v).(-→u--→v) =-→u2--→v2=?-→u?2- ?-→v?2

2.3 Produit scalaire et orthogonalité

Les v ecteurs

-→uet-→vsontorthogonaux si et seulemen tsi -→u .-→v= 0. Soit (O;-→ı;-→?)un repère orthonormé avec-→u?x y? et-→v?x? y -→uet-→vsontorthogonaux si et seulemen tsi xx?+yy?= 0.

Exercices :1, 2, 3, 4, 5 page 3195[TransMath]

3 Produit scalaire de l"Espace

3.1 Extension de la définition à l"EspaceDéfinition :Soient-→uet-→vdeux vecteurs de l"Espace.

Il existe trois pointsA,BetCtels que-→u=--→ABet-→v=-→AC. Il existe toujours un planPcontenant

A,BetC.

On appelle

pro duits calaire des v ecteurs-→uet-→vde l"Espace le produit scalaire des vecteurs--→ABet-→AC dans le planP.Remarques :1.On a alors : -→u .-→v=12 ?-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2?

Cette égalité est bienindépendantedu planPchoisi.1. Orthogonalité de droites et de plans.

2. Calculs de distances, aires et volumes.

3. QCM.

4. Type BAC.

5. Vrai/Faux.

3

3.2 Expression analytique du produit scalaire 4 ORTHOGONALITÉ DANS L"ESPACE

2.

Quitte à se placer dans le plan P, les différentes expressions du produit scalaire (sauf l"expression

dans un repère du plan) du 2 resten tv alables. 3.

Les règles de calcul s urle pro duitscalaire (bilinéarité, carré scalaire, iden titésremarquables) resten t

les mêmes que dans le plan. Exercices :44, 45, 47 page 3386- 43 page 3387[TransMath]

3.2 Expression analytique du produit scalairePropriété :On se place dans un repère?

O;-→ı;-→?;-→k?

orthonormé de l"Espace.

Soient

-→u( (x y z) et-→v( (x? y z . Alors : u .-→v=xx?+yy?+zz?Démonstration :

On a :

u .-→v=12 ?-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2? 12 (x+x?)2+ (y+y?)2+ (z+z?)2-?x2+y2+z2?-?x?2+y?2+z?2?? 12 ?x2+ 2xx?+x?2+y2+ 2yy?+y?2+z2+ 2zz?+z?2-x2-y2-z2-x?2-y?2-z?2? 12 [2xx?+ 2yy?+ 2zz?] =xx?+yy?+zz?

Remarque :On retrouve en particulier les deux résultats suivants, valables dans unrep èreorthon orméde

l"Espace : Si -→u( (x y z) alors-→u2=??u?2=x2+y2+z2.

Si A(xA;yA;zA)etB(xB;yB;zB)alors :

AB=???--→AB???=?--→

AB2=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2

Exercices :1, 2 page 325 et 41 page 3388- 28 page 3329[TransMath]

4 Orthogonalité dans l"Espace

4.1 Vecteurs orthogonauxDéfinition :

-→uet-→vsont deux vecteursnon n ulsde l"Espace. SoientA,BetCtrois points tels que-→u=--→ABet-→v=-→AC.

On dit que-→uet-→vsontorthogonaux si les droites (AB)et(AC)sontp erpendiculaires.Remarque :On conviendra que le vecteur nul-→0est orthogonal à tous les autres vecteurs de l"Espace.Propriété :

-→uet-→vsont deux vecteurs de l"Espace.-→uet-→vsontorthogonaux si et seulemen tsi -→u .-→v= 0.

En particulier, si

-→u( (x y z) et-→v( (x? y z dans un repère?

O;-→ı;-→?;-→k?

orthonormé de l"Espace :

uet-→vsontorthogonaux si et seulemen tsi xx?+yy?+zz?= 0.6. Calculs de produits scalaires dans l"Espace.

7. Utilisation des règles de calcul du produit scalaire.

8. Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé.

9. Valeur maximale d"un angle.

4

4 ORTHOGONALITÉ DANS L"ESPACE 4.2 Vecteur normal à un plan - Applications

Remarque :Ce n"est qu"une utilisation de la forme trigonométrique du produit scalaire dans un planP

contenant les pointsA,BetCtels que-→u=--→ABet-→v=-→AC.

Exercices :49, 50, 52, 53 page 33910[TransMath]

4.2 Vecteur normal à un plan - ApplicationsDéfinition :On dit que le vecteur-→nnon nul estnormal au plan Psi sa direction est orthogonale au

planP.Remarque :Tout vecteur non nulcolinéaire à ?nest aussi un vecteur normal au planP.

On admettra que tout plan admet des vecteurs normaux. On va maintenant pouvoir prouver le théorème

de la porte, vue dans le 1.2 .Théorème :(aussi appelé " théorème de la porte »)

Si une droiteΔestp erpendiculaireen Aàdeux droites sécan tesd"un plan P, alors elle estp erpendi-

culaire à toutes les droites de ce plan (v oirfigure 3 ).Figure3 - Droite perpendiculaire à un plan

Démonstration(exigible) :

On note?nun vecteur directeur deΔet-→u1,-→u2des vecteurs directeurs respectifs des droitesd1

etd2. CommeΔest perpendiculaire àd1et àd2, on a?n.-→u1= 0et?n.-→u2= 0. Commed1etd2sont sécantes, les vecteurs-→u1et-→u2ne sont pas colinéaires. Soitd?une droite du planP, de vecteur directeur-→w.

Les vecteurs-→w,-→u1et-→u2sont donc coplanaires et comme-→u1et-→u2ne sont pas colinéaires, il existe

deux nombresaetbtels que-→w=a-→u1+b-→u2.

On a alors :

-→n.(a-→u1) +n.(b-→u2)

=a-→n.-→u1+b-→n.-→u2= 0Corollaire :Pour montrer qu"un vecteur-→nnon nul estnormal à un plan P, il suffit de montrer qu"il

est orthogonal

deux v ecteursdu plan Pnon colinéaires.Remarques :-P ourmon trerqu"une droite (AB)est perpendiculaire à un planP, il suffit de montrer

que--→ABest un vecteur normal au planP. P ourmon trerque deux plans PetP?sont perpendiculaires, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.10. Vecteurs orthogonaux. 5

5 ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UN PLAN

P ourmon trerque deux plans PetP?sont parallèles, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux sont colinéaires.Propriété :Caractérisation d"un plan SoitPun plan de vecteur normal-→npassant par un pointA. Mappartient au planPsi et seulement si--→AM.-→n= 0.Démonstration:

SiM? P, alors(AM)est une droite dePdonc--→AMet?nsont orthogonaux. On a alors--→AM.-→n= 0.

Réciproquement, si--→AM.-→n= 0, on noteHle projeté orthogonal deAsurP. On a donc

Par suite, on a

--→HM.-→n= 0. De plus, commeHest le projeté orthogonal deMsurP, les vecteurs--→HMet-→nsont colinéaires.

On a donc--→HM.-→n=±HM× ??n?. Comme??n? ?= 0, on aHM= 0. Les pointsHetMsont donc confondus. Le pointMest donc dans le planP. Exercices :3, 4, 5 page 32611- 54, 55, 56 page 33912- 96 page 34613[TransMath]

5 Équation cartésienne d"un plan - Applications

5.1 Équation cartésienne d"un plan dans un repère orthonorméPropriété :Équation cartésienne d"un plan

On se place dans un repère?

O;-→ı;-→?;-→k?

orthonormé de l"Espace. 1.

T outplan Pdev ecteurnormal -→n(

(a b c) admet une

équation cartés ienne

de la forme ax+by+ c z+d= 0oùd?R. 2. Récipro quement,l"en semblede sp ointsM(x;y;z)vérifiant l"équationax+by+cz+d= 0avec a,b,cnon tous nulsest un plan d ev ecteurnormal -→n( (a b c) .Démonstration : SoitPun plan passant parA(xA;yA;zA)et de vecteur normal-→n( (a b c)

M(x;y;z)? P? ?--→AM.-→n= 0

??a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) = 0 ??ax+by+cz-axA-byA-czA= 0 ce qui est bien de la forme voulue en posantd=-axA-byA-czA. Réciproquement, soitM(x;y;z)vérifiantax+by+cz+d= 0.

On peut supposer quea?= 0. Le pointA?-da

; 0; 0?vérifie alors aussiax+by+cz+d= 014. On pose -→n( (a b c)

AM.-→n=a?

x+da +by+cz=ax+by+cz+d= 011. Vecteur normal à un plan.

12. Droite perpendiculaire à un plan.

13. Tétraèdre trirectangle

14. Sia= 0, il est aisé de trouver un autre pointAvérifiant la relation car soitb?= 0, soitc?= 0.

6

5 ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UN PLAN 5.2 Intersection d"une droite et d"un plan

Par suite :M(x;y;z)vérifiantax+by+cz+d= 0équivaut à--→AM.-→n= 0, c"est-a-dire àMap-

partenant au plan passant parAet de vecteur normal-→n.

Remarques :1.P ourtrouv erl"équ ationcartés ienned "unplan (dans un rep èreorthonormé) don ton

connaît un pointAet un vecteur normal-→n, il suffit donc d"exprimer l"égalité--→AM.-→n= 0à l"aide des

coordonnées deAet de-→n. 2. En particulier, l"équation du plan (xOy)estz= 0, celle du plan(xOz)esty= 0et celle du plan (yOz)estx= 0.

Exercices :7, 8, 9, 10 page 327; 57, 58, 59, 60page 339 et 65, 69 page 34015- 11, 13 page 328 et 64, 67,

68 page 340

16- 29 page 332 et 92 page 34517- 100 page 34718[TransMath]

5.2 Intersection d"une droite et d"un plan

Les résultats concernant les positions relatives d"une droite et d"un plan de l"Espace sont résumés dans le

tableau 1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur-→uetPun plan de vecteur normal-→n. Si -→n.-→u?= 0alorsPetDsont sécants un un point. Si -→n.-→u= 0et siAest un pointquelconquedeD:

Si A? Palors la droiteDest incluse dans le planP;

Si A /? Palors la droiteDest strictement parallèle au planP.

%Exercice résolu :Déterminer l"intersection éventuelle du planPd"équation2x-y+ 3z-2 = 0et de

la droiteDde représentation paramétrique : ?x=-2 +t y= 1 +t z= 2tt?RUn vecteur normal dePest-→n( (2 -1 3) et un vecteur directeur deDest-→u( (1 1 2)

n.-→u= 2×1 + (-1)×1 + 3×2 = 7?= 0doncPetDsont bien sécants un un point. Ce point vérifie :

???x=-2 +t y= 1 +t z= 2t

2x-y+ 3z-2 = 0

On a donc :

2(-2 +t)-(1 +t) + 3×2t-2 = 0

-4 + 2t-1-t+ 6t-2 = 0 7t= 7 t= 1 et, par suite : ?x=-2 + 1 =-1 y= 1 + 1 = 2 z= 2×1 = 2 Le point d"intersection dePetDestA(-1; 2; 2).15. Détermination d"équations de plans.

16. Plan défini par trois points.

17. Plans perpendiculaires.

18. Distance d"un point à un plan.

7

5.3 Intersection de deux plans RÉFÉRENCES

Exercices :15, 16, 17, 18 page 329; 71, 72, 73 et 74, 76 page 341 page 34019- 93, 95 page 34520[TransMath]

5.3 Intersection de deux plans

Les résultats concernant les positions relatives de deux plans de l"Espace sont résumés dans le tableau

2 Remarque :Pun plan de vecteur normal-→netP?un plan de vecteur normal-→n?. Si -→net-→n?sont colinéaires et siAetun point quelconquedeP:

Si A? P?, les plansPetP?sont confondus;

Si A /? P?, les plansPetP?sont strictement parallèles. Si -→net-→n?ne sont pas colinéaires, les plansPetP?sont sécants suivant une droiteD. %Exercice résolu :SoitPle plan d"équation2x-y-2z-1 = 0etP?le plan d"équation-x+4y+z-3 = 0. Étudier l"intersection éventuelle des plansPetP?.Un vecteur normal àPest-→n( (2 -1 -2) et un vecteur normal àP?est-→n?( (-1 4 1)

Les vecteurs

-→net-→n?ne sont pas colinéaires donc plansPetP?sont sécants suivant une droiteD. Pour déter-

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