VECTEURS DE LESPACE
Propriété : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace u ne sont pas colinéaires donc A;u ... Démontrer que les points E J et C sont alignés.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un des plans sont respectivement
Vecteurs et repérage dans lespace
II) Vecteurs colinéaires vecteurs coplanaires. 1) Vecteurs colinéaires. Définition : Deux vecteurs de l'espace u et v sont colinéaires s'il existe deux
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Démonstration : ... Démontrer que le vecteur.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un des plans sont respectivement
mathsbdp.fr Vecteurs droites et plans de lespace
Définition : Dans l'espace deux droites sont dites coplanaires si elles appartiennent à un il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de.
Vecteurs droites et plans de lespace
2 Droites de l'espace. 2.1 Colinéarité alignement
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. ce qui montre 1. ... u et v sont colinéaires si et seulement si DetS( u v)=0.
Terminale S - Produit scalaire dans lespace
Si ?? et ?? sont deux vecteurs non nuls de l'espace on a alors : montrer qu'il est orthogonal à deux vecteurs du plan non colinéaires.
Géométrie de lespace
Soient u et v deux vecteurs de l'espace. On appelle produit vectoriel de u et v et on note u ? v le vecteur : — 0 si u et v sont colinéaires.
α,β,?R ̢
̢̢(?ı,??,?k)?u̢̢
?u=x?ı+y??+z?kx,y,z?Rx,yz ?u (?ı,??,?k) (?ı,??,?k) ??ı?=????=??k?= 1 (?ı,??,?k) ̢̢ R3
?u,?v, ?w ̢M? M3(R)
x,y,z?RM x y z )=x?u+y?v+z?w (?u,?v, ?w) ?? ?Y?R3?! x y z )Y=x?u+y?v+z?w ?? ?Y?R3?!X?R3Y=MX ??M?GL3(R) ?? ?X?R3MX= 0?X= 0 ??x?u+y?v+z?w=?0?x=y=z= 0 ??(?ı,?v, ?w) ?u= (1 2 -1 ),?v= (-1 1 0 )?w= (1 1 1 X= (1 1 0 ) (?u,?v, ?w) ?u,?v, ?w ̢ B= (?ı,??,?k) ?u,?v, ?w M= MatB(?u,?v, ?w)P (?u,?v, ?w)(?ı,??,?k) P?Gl3(R) ̢ ̢
X= x y z )(?u,?v, ?w)X?=P-1X X=PX?R ̢ ̢ (?ı,??,?k) ̢ O M
(x,y,z) --→OM=x?ı+y??+z?k M R (?ı,??,?k)AB --→AB
̢A+--→AB=B --→AB=B-A
̢ ?u A+?u ̢ ̢ B ?u=--→AB=
B-AAB ̢ I I-A=B-I
AB ̢
xA yA zA xB yB zB ) (O,?ı,??,?k) AB d(A,B) =AB=?--→AB?=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2 ?u ̢ (x y z ) ?u ??u?=?x2+y2+z2A,B,C ̢ ?u,?v
AC6AB+BC??u+?v?6??u?+??v? A,B,C
?u?v[linewidth=0.01,labels=none]->(0,0)(-0.5,-0.5)(4.9,3.9) [linewidth=0.02, CurveType=polygon,PosAngle=-135,90,0](1,1)A(2,3)B(4,3)C [PointName=xA,xB,yA,yB,,PointSymbol=none,PosAngle=-90,-90,180,180,0](1,0)xA(2,0)xB(0,1)yA(0,3)yB(2,1)I[linewidth= 0.01,linestyle=dashed]xAA[linewidth= 0.01,linestyle=dashed]yAI[linewidth= 0.01,linestyle=dashed]xBB[linewidth= 0.01,linestyle=dashed]yBB[linewidth= 0.01,RightAngleSize= 0.2]BIA
?u?v ̢ ?u?v (?u|?v) (?u|?v) = ??u???v?cos(?u,?v)?u?=?0?v?=?0 0. ??u?2= (?u|?u) (O,?ı,??,?k) ?u?v ?u??v??(?u|?v) = 0. ?R3×R3→R (?u,?v)?→(?u|?v) ??u,?v?R3(?u|?v) = (?v|?u) ?u,?v, ?w?R3λ,μ?R ? (?u|λ?v) =λ(?u|?v)(?u|?v+?w) = (?u|?v) + (?u|?w) (λ?u+μ?v|?w) =λ(?u|?w) +μ(?v|?w) ?u= (x y z )?v= (x? y? z? (?u|?v) =xx?+yy?+zz? ?u=u?ı+y??+z?k?v=x??ı+y???+z?k (?u|?v) (?ı|?ı) = 1,(?ı|??) = (?ı|?k) = 0 ?u,?v ̢ ?n?R3 ?n?(?u?v)?n Vect(?u,?v) ?n?Vect(?u,?v) ?u?v ?n̢ ?n??u?n??v?n Vect(?u,?v)
?w?Vect(?u,?v) ̢ ?w ̢λ?u+μ?v ?u?v (?n|?w) =λ(?n|?u) +μ(?n|?v) = 0 ?n?=?0 ?w?Vect(?u,?v) ?n /?Vect(?u,?v)(?u,?v,?n)̢ ?w ?w=α?u+β?v+γ?n
(?w|?u) = 0 α??u?2+β(?u|?v) = 0 α(?u|?v) +β??v?2= 0 ???u?2(?u|?v) (?u|?v)??v?2 ??u?2??v?2-(?u|?v)2 ?u?v ̢α=β= 0
?w=γ?n ?n ?u?v ̢ ?u?v ?u??v̟?0?u?v
̢̟ ?u?v????
??u???v?|sin[(?u,?v)|???? (?u,?v,?u??v) ????̢ ?u?v
?u??v??u??v?=??u???v? ?u?v ̢ ?u?v ?u??v=?0 A,B,C --→AB?-→AC= 0 ?u??v=-?v??u ?w ̢λ,μ ? ?u?(λ?v+μ?w) =λ(?u??v) +μ(?u??w) (λ?u+μ?v)??w=λ(?u??w) +μ(?v??w) ?u= x y z )?v= x? y? z? )?u??v= yz?-y?z zx?-x?z xy?-yx? ?ı???=?k,????k=?ı?k??ı=??̢x=[PointName=x,y",y,x",PointSymbol=none,PosAngle=180,0,180,0](0,1)A(1,0)D(0,0)C(1,1)B [PointName=z,x",x,z",PointSymbol = none,PosAngle=180,0,180,0](0,-1)E(1,-2)H(0,-2)G(1,-1)F [PointName=,PointSymbol=none, CurveType=curve,arrows=->,linewidth=0.01](0,0)A1(1,-1)A2(0,-1)A3(1y=[PointName=x,y",y,x",PointSymbol=none,PosAngle=180,0,180,0](0,1)A(1,0)D(0,0)C(1,1)B [PointName=z,x",x,z",PointSymbol = none, CurveType=curve,arrows=->,linewidth=0.01,PosAngle=180,0,180,0](0,-1)E(1,-2)H(0,-2)G(1,-1)Fz=[PointName=x,y",y,x",PointSymbol=none,CurveType=curve,arrows=->,linewidth=0.01,PosAngle=180,0,180,0](0,1)A(1,0)D(0,0)C(1,1)B [PointName=z,x",x,z",PointSymbol = none,linewidth=0.01,PosAngle=180,0,180,0](0,-1)E(1,-2)H(0,-2)G(1,-1)F
?u=1 3 (2 2 -1 ) ??u? ?u?v?w ̢ det(?u,?v, ?w) = ((?u??v)|?w) ?u?v?w |det(?u,?v, ?w)|=??u??v???w?|cos(?u??v, ?w)|.̢ ?u?v?w
?u,?v, ?w det(?u,?v, ?w) =±??u???v???w?[linewidth=0.01,PointName=O,,PointSymbol=none,PosAngle=-135](0,0)O(0.7,2)w(1.2,0.5)v(3,0)u(0,3)uv(0,2)P [linewidth=0.02,arrows=->]Ou [linewidth=0.02,arrows=->]Ov [linewidth=0.02,arrows=->]Ow [linewidth=0.02,arrows=->]Ouv [PointName=,PointSymbol=none]Ouw[A1] [linewidth=0.01]wA1 [PointName=,PointSymbol=none]Ouv[A2] [linewidth=0.01,linestyle=dashed]vA2 [PointName=,PointSymbol=none]Ovw[A3] [linewidth=0.01]wA3 [PointName=,PointSymbol=none]Ovu[A4] [linewidth=0.01]uA4 [PointName=,PointSymbol=none]OuA3[A5] [linewidth=0.01]A3A5[linewidth=0.01]uA1 [linewidth=0.01,linestyle=dashed]vA3 [linewidth=0.01]A2A5 [linewidth=0.01]A1A5?u?v?w
?u??v [linewidth=0.01,linestyle=dashed]wP ?u,?v, ?w ̢ det(?u,?v, ?w) = 0 (?u,?v, ?w) det(?u,?v, ?w)>0 ?w ?u??v Vect(?u,?v) ?w ?u??v (?u,?v) ?u,?v, ?w ̢ ?u= x y z )?v= x? y? z? )?w= x?? y?? z?? det(?u,?v, ?w) x x?x?? y y?y?? z z?z?? det(?u,?v, ?w) ==x ????y?y?? z?z?? ????-y ????x?x?? z?z?? ????+z ????x?x?? y?y?? det(?u,?v, ?w) = -det(?v,?u, ?w) det(?u,?v, ?w) = (?u??v|?w) ?u??v(yz?-zy?,zx?-xz?,xy?-yx?)̢ det(?u,?v, ?w) =yz?x??-zyx??+zxy??-xz?y??+xyz??-yx?z??̢ ?x= (a,b,c)
λ,μ?R
det(λ?u+μ?x,?v, ?w) = (λx+μa)y?z??+x?y??(λz+μc) +x??(λy+μb)z?-... =λdet(?u,?v, ?w) +μdet(?x,?v, ?w) x x?x?? y y?y?? z z?z?? x y z x?y?z? x??y??z?? a?R ?u= (1 3 a ),?v= (2 a 1 ), ?w= (1 0 1 M= (1 2 3 2 3 1 3 1 2̢ A+ Vect(?u)A ̢ ?u
D= (0 1 -1 )+ Vect( (2 1 -1 (x y z x= 2t y= 1 +t z=-1-t t?R ̢A ?u ?u
̢ A+ Vect(?u,?v)A (?u,?v)
̢ λμA+Vect(?u,?v) ̢ M
M=A+λ?u+μ?vVectAM (?u,?v)
̢ ax+by+cz+d= 0(a,b,c)?= (0,0,0)
̢ax+by+cz+d= 0(a,b,c)?= (0,0,0)
x-y+ 2z+ 3 = 0 Vect( 1 1 1 -2 1 -1 ?n P ?n P̢̢ ?n̢
P:ax+by+cz+d= 0 ?n=
a b c ) P ?n= (a b c ) A A ?n ax+by+cz+d= 0d A ?u= x y z ) P ax+by+cz= 0 (?n|?u) = 0̢{M|--→AM??n}̢
P=A+Vect(?u,?v) ?u,?v ?n=?u??v?=?0 ̢
P x,yz ̢
A? P P= 1 3 -2 )+ Vect( -1 1 0 0 1 -1 x+y+z-2 = 0 A: 1 2 3 ),B: 2 3 1 ),C: 3 1 2MP ̢ HH? P--→HM? P
--→HM M: (xM yM zM ) P: 2x+y-2z+ 1 = 0P1:ax+by+cz+d= 0P2:a?x+b?y+c?z+d?= 0
̢ A+ Vect(?u)
Vect(?ı,?k)x+y-3z+ 2 = 0
A+ Vect(?u) ̢
̟ ?n1?n2 ?u
D=A+Vect(?u)??u?= 1 ?u
̢ ?v?p(?v) = (?v|?u)?u Mp(M) =A+?(p)(--→AM) =A+ (--→AM|?u)?uquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Montrer que f(x) =
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