Vecteurs et repérage dans lespace PDF

VECTEURS DE LESPACE

Propriété : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace u ne sont pas colinéaires donc A;u ... Démontrer que les points E J et C sont alignés.

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un des plans sont respectivement

Vecteurs et repérage dans lespace

II) Vecteurs colinéaires vecteurs coplanaires. 1) Vecteurs colinéaires. Définition : Deux vecteurs de l'espace u et v sont colinéaires s'il existe deux

PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Démonstration : ... Démontrer que le vecteur.

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un des plans sont respectivement

mathsbdp.fr Vecteurs droites et plans de lespace

Définition : Dans l'espace deux droites sont dites coplanaires si elles appartiennent à un il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de.

Vecteurs droites et plans de lespace

2 Droites de l'espace. 2.1 Colinéarité alignement

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE

On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. ce qui montre 1. ... u et v sont colinéaires si et seulement si DetS( u v)=0.

Terminale S - Produit scalaire dans lespace

Si ?? et ?? sont deux vecteurs non nuls de l'espace on a alors : montrer qu'il est orthogonal à deux vecteurs du plan non colinéaires.

Géométrie de lespace

Soient u et v deux vecteurs de l'espace. On appelle produit vectoriel de u et v et on note u ? v le vecteur : — 0 si u et v sont colinéaires.

Vecteurs et repérage dans l'espace 1/3 VECTEURS ET REPERAGE DANS L'ESPACE

I) Vecteurs de l'espace

1) Extension de la notion de vecteur

· L'égalité ABCD=uuuruuur signifie que ABDC est un parallélogramme. · Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C de l'espace, ACABBC=+uuuruuuruuur. · la longueur ou norme du vecteur ABuuur se note ABuuur et est égale à la distance AB.

2) Opérations sur les vecteurs

L'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un réel se définissent comme pour les vecteurs du plan.

Ces deux opérations possèdent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane.

II) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires

1) Vecteurs colinéaires

Définition : Deux vecteurs de l'espace ur et vr sont colinéaires s'il existe deux nombres réels a et b tels que (a ;b) ' (0 ;0) et 0uva+b=rrr.

Remarque : Si ur et vr sont colinéaires, alors on peut écrire l'un en fonction de l'autre sous la forme ukv=rr où k est un

nombre réel.

Théorème : · Les points A, B et C sont alignés , les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires. · Les droites (AB) et (CD) sont parallèles , les vecteurs ABuuur et CDuuur sont colinéaires.

2) Vecteurs coplanaires

Définition : Trois vecteurs de l'espace ur, vr et wr sont coplanaires s'il existe trois nombres réels a, b et c tels que (a ; b ; c) ' (0 ; 0 ; 0) et 0uvwa+b+g=rrrr.

Remarque : Si ur, vr et wr sont coplanaires alors on peut écrire l'un des trois en fonction des deux autres sous la forme

u k v kw¢=+rrr où k et k' sont des nombres réels.

Théorème : · Les points A, B, C et D sont coplanaires , les vecteurs ABuuur, ACuuur et ADuuur sont coplanaires. · La droite (ED) est parallèle au plan (ABC) , les vecteurs ABuuur, ACuuur et EDuuur sont coplanaires.

III) Repères et coordonnées dans l'espace

1) Repères de l'espace

Définition : Soit O un point de l'espace. On dit que (,,,)Oijkrrr est un repère de l'espace, lorsque les vecteurs ir, jr et

kr ne sont pas coplanaires.

Vecteurs et repérage dans l'espace 2/3

Définition : Soit (,,,)Oijkrrr un repère de l'espace. · Pour tout point M, il existe trois nombres réels x, y et z tels que : OMxyzijk=++uuuurrrr ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère (,,,)Oijkrrr. x est l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M dans ce repère. · Tout vecteur ur de l'espace peut s'écrire : xyzuijk=++rrrr ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de ur.

O m'(x ; 0 ; 0)M''(x ; y ; 0)m''(0 ; y ; 0)M'(x ; 0 ; z)m'''(0 ; 0 ; z)

M(x ; y ; z)M'''(0 ; y ; z)

iry jr jr x ir krz kr kjirrrzyx++

2) Propriétés : On considère un repère orthonormé (,,,)Oijkrrr de l'espace.

Propriétés : Soit ur (x ; y ; z) et vr (x' ; y' ; z'). · 0xyz0u=Û===rr ; · xx' y y' z z'uv=ì rr

; · ur + vr a pour coordonnées (x + x' ; y + y' ; z + z') ; · k ur a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).

Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB). · ABuuur a pour coordonnées (x B - xA ; yB - yA ; zB - zA). · Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ABABABxxyyzz;;

IV) Equations d'objets de l'espace

1) Plans parallèles aux plans de base

Théorème : · Tout plan parallèle au plan (O,ir,jr) d'équation z = 0 a une équation du type z = z

0. · Tout plan parallèle au plan (O,jr,kr) d'équation x = 0 a une équation du type x = x

0. · Tout plan parallèle au plan (O,ir,kr) d'équation y = 0 a une équation du type y = y

2) Sphère centrée sur l'origine O

Théorème : la sphère de centre O et de rayon R a pour équation 2222xyzR++=. Vecteurs et repérage dans l'espace 3/3 3) Cylindres

Théorème : Le cylindre de révolution d'axe (O,kr), compris entre les plans d'équations z = a et z = b et dont les bases

sont des cercles de rayon R est défini analytiquement par le système 222azb xyR££

Remarques :

On peut aussi s'intéresser au cylindre illimité dont l'équation est 222xyR+=. Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cylindre analogues : · cylindre d'axe (O,ir) : 222yzR+= · cylindre d'axe (O,jr) : 222xzR+=.

4) Cônes

Théorème : Le cône de révolution, de sommet O, d'axe (O,kr), de hauteur h et dont le cercle de base a pour rayon R est

défini par le système 2 2 220zh
RxyzH

Remarques :

On peut s'intéresser à la surface illimitée d'équation 2 2 h donnant la tangente du demi-angle au sommet. Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cône analogues :

· cône d'axe (O,ir) : 2

22Ryzxh

22Rxzyh

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Vecteurs et repérage dans lespace

I) Vecteurs de l'espace

1) Extension de la notion de vecteur

2) Opérations sur les vecteurs

II) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires

1) Vecteurs colinéaires

2) Vecteurs coplanaires

III) Repères et coordonnées dans l'espace

1) Repères de l'espace

Vecteurs et repérage dans l'espace 2/3

M(x ; y ; z)M'''(0 ; y ; z)

2) Propriétés : On considère un repère orthonormé (,,,)Oijkrrr de l'espace.

IV) Equations d'objets de l'espace

1) Plans parallèles aux plans de base

0. · Tout plan parallèle au plan (O,jr,kr) d'équation x = 0 a une équation du type x = x

0. · Tout plan parallèle au plan (O,ir,kr) d'équation y = 0 a une équation du type y = y

2) Sphère centrée sur l'origine O

Remarques :

4) Cônes

Remarques :

· cône d'axe (O,ir) : 2

22Ryzxh

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