vecteurs.pdf PDF Méthode : Pour montrer que

Calcul vectoriel – Produit scalaire

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Les points A B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

VECTEURS DE LESPACE

Démontrer que les points E J et C sont alignés. Pour prouver cet alignement

Chapitre 8 : Vecteurs

Démontrer que les points A B et C sont alignés. 2. Vecteur et milieu d'un segment. Propriété : I est le milieu de [AB] si

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Définition : Deux vecteurs non nuls T? et ? sont colinéaires signifie qu'ils ont même Démontrer que les points et sont alignés.

vecteurs.pdf

Méthode : Pour montrer que trois points sont alignés il suffit de montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires. Théorème : Les droites (AB) et (CD)

VECTEURS ET DROITES

sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont Démontrer que les points A E et F sont alignés. Par définition

VECTEURS ET REPÉRAGE

Trois points du plan non alignés O I et J forment un repère

Vecteurs et colinéarité I. Vocabulaire et définitions

On dit que deux vecteurs ?u et ?v sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Théorème 1. 2°) Démontrer que les points I J et K sont alignés.

Première S - Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si

Untitled

Les vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si (AB) et (CD) sont parallèles. Dans un repère montrer que trois points sont alignés.

Vecteurs et repérages 1/3 VECTEURS ET REPERAGES I) Vecteurs

1) Vecteurs égaux

Définition : Deux vecteurs ur et vr sont égaux signifie qu'ils ont : - même direction, - même sens, - même longueur.

Théorème : · Si les vecteurs ABuuur et CDuuur sont égaux alors ABDC est un parallélogramme. · Si ABDC est un parallélogramme alors les vecteurs ABuuur et CDuuur sont égaux.

Remarque : On résume le théorème précédent en écrivant " les vecteurs ABuuur et CDuuur sont égaux si et seulement si ABDC

est un parallélogramme ».

2) Somme de vecteurs

· Règle du parallélogramme : les vecteurs ur et vr sont positionnés sur la même origine. ru rv vurr+ · Relation de Chasles : Soit trois points A, B et C, on a : ABBCAC+=uuuruuuruuur. La somme ur+vr s'obtient en enchaînant bout à bout ur et vr. A C

B ru rvuv+rr

II) Produit d'un vecteur par un nombre réel

Définition : ur désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Le produit du vecteur ur par le réel k est le vecteur kur tel que : · kur et ur ont même direction ; · Lorsque k > 0 kur et ur sont de même sens ; la longueur de kur est le

produit de k par la longueur de ur. · Lorsque k < 0 kur et ur sont de sens contraire ;

la longueur de kur est le

produit de .k par la longueur de ur.

III) Vecteurs colinéaires

1) Définition et théorème

Définition : Les vecteurs ur et vr sont colinéaires lorsqu'ils ont même direction.

Théorème : Les vecteurs non nuls ur et vr sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k non nul tel que

v ku=rr. ru 3 2ur 1

2u-rur2-

ur-A B D C

Vecteurs et repérages 2/3 Remarque : Une telle relation vku=rr entre les vecteurs ur et vr est appelée relation de colinéarité liant ur et vr ; et k est

parfois appelé le coefficient de colinéarité.

2) Alignement, parallélisme et vecteurs colinéaires

Théorème : · Si les trois points A, B et C distincts sont alignés alors les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires. · Si les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires alors les trois points A, B et C distincts sont alignés.

Remarque : On résume le théorème précédent en écrivant " les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires si et seulement si les trois points A, B et C distincts sont alignés ». Méthode : Pour montrer que trois points sont alignés, il suffit de montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires. Théorème : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ABuuur et CDuuur sont colinéaires. Méthode : Pour montrer que deux droites sont parallèles, il suffit de montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires. IV) Coordonnées d'un point et d'un vecteur ; propriétés

1) Coordonnées d'un point, d'un vecteur

Définition : Un repère du plan est déterminé : · par 3 points O, I et J non alignés ; · ou par un point O et deux vecteurs ir et jr non colinéaires.

O étant un point du plan, on considère le repère (,,)Oijrr d'origine O.

Définition : Pour tout vecteur ur, il existe un unique couple (x ; y) de nombre réels tels que uxiyj=+rrr. On dit alors que

le vecteur ur a pour coordonnées (x ; y) dans la base ),(jirr. Exemples : Dans la base (ir,jr), les coordonnées de ur sont (3 ; 1) et vr a pour coordonnées (.4 ; 1). A B C A B C D jr ir4- jrjr ir3 ir jiurrr+=3jivrrr+-=4

Vecteurs et repérages 3/3 Définition : Pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x ; y) de nombres réels tels que OMxiyj=+uuuurrr. Le point M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (,,)Oijrr.

Exemples : On a : 34OMij=+uuuurrr ; M a pour coordonnées (3 ; 4) dans le repère (,,)Oijrr.

2) Propriétés des coordonnées d'un vecteur

Soit ur de coordonnées (x ; y) et u¢r de coordonnées (x' ; y') ; soit A et B deux points de coordonnées respectives (x

A ; yA) et (xB ; yB) dans le repère (,,)Oijrr.

Propriétés : Exemples : Egalité de deux vecteurs : deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées ; si et seulement si 'xxuuyy¢=ì rr. Somme de deux vecteurs : le vecteur uu¢+rr a pour coordonnées (x + x' ; y + y' ). rua pour coordonnées ( . 2 ; 3) u

¢ a pour coordonnées ( . 5 ; 1)

uu¢+rr a pour coordonnées ( ..... ;..... ) Vecteur colinéaire : le vecteur vr égal à k ur a pour

coordonnées (kx ; ky). rua pour coordonnées ( . 2 ; 3) . 5 ru a pour coordonnées ( ..... ;..... ) ur 3

2 a pour coordonnées ( ..... ;..... ) Coordonnées du vecteur ABuuur : le vecteur ABuuur a pour

coordonnées (x B . xA ; yB . yA). A a pour coordonnées ( . 1 ; 2) B a pour coordonnées ( 3 ; . 4) AB a pour coordonnées ( ..... ;..... )

3) Condition de colinéarité de deux vecteurs

Théorème : Deux vecteurs ur de coordonnées (x ; y) et u¢r de coordonnées (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si x y' = x' y.

4) Milieu ; distance dans le plan

Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans le repère (,,)Oijrr. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées ABABxxyy;

Exemples : A a pour coordonnées ( . 1 ; 2) ; B a pour coordonnées ( 7 ; . 4) ; le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( ..... ;..... ).

Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère orthonormal (,,)Oijrr. La distance AB ou la longueur du segment [AB] est : ()()22

B A BA A B x x yy=-+-. O ir3 irjr4 jrM (3 ;4)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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