Première S - Colinéarité de deux vecteurs PDF

Calcul vectoriel – Produit scalaire

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Les points A B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

VECTEURS DE LESPACE

Démontrer que les points E J et C sont alignés. Pour prouver cet alignement

Chapitre 8 : Vecteurs

Démontrer que les points A B et C sont alignés. 2. Vecteur et milieu d'un segment. Propriété : I est le milieu de [AB] si

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Définition : Deux vecteurs non nuls T? et ? sont colinéaires signifie qu'ils ont même Démontrer que les points et sont alignés.

vecteurs.pdf

Méthode : Pour montrer que trois points sont alignés il suffit de montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires. Théorème : Les droites (AB) et (CD)

VECTEURS ET DROITES

sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont Démontrer que les points A E et F sont alignés. Par définition

VECTEURS ET REPÉRAGE

Trois points du plan non alignés O I et J forment un repère

Vecteurs et colinéarité I. Vocabulaire et définitions

On dit que deux vecteurs ?u et ?v sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Théorème 1. 2°) Démontrer que les points I J et K sont alignés.

Première S - Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si

Untitled

Les vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si (AB) et (CD) sont parallèles. Dans un repère montrer que trois points sont alignés.

Colinéarité de deux vecteurs

I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs :

1) Définition

un nombre réel ࣅ non nul tel que ࢜

Exemple :

Remarque :

• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. est colinéaire à tous les vecteurs.

Exemples :

a) ݑ,& ( 2 ; - 3 ) et ݒԦ ( 10 ; - 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et -15 = -3 x 5

donc ݒԦ = 5 ݑ b) ݑ ,& ( 1

3 ; - 3

5 ) et ݒԦ ( 2

9 ; - 1

5 ) sont colinéaires en effet 2

9 = 1 3 x 2

3 et - 1

5 = 1

3 x- 3

5 donc ݒԦ = 1 3 c) ݑ ,& (4 ; 5 ) et ݒԦ (8 ; -10 ) ne sont pas colinéaires en effet : ,& 0 et ݒԦ 0 et s'il existe א ߣ Թ tel que ݒԦ = ߣݑ,& , alors 8 = ߣ -10 = ,& et ݒ& sont colinéaires

2) Propriété

Dans un repère, on donne les vecteurs ࢛,,& (࢞ ; ࢟) et ࢜,,&(࢞ǯ ; ࢟')

,& et ࢜,,& sont colinéaires, si, et seulement si, ࢞ ࢟ǯ Ȃ࢟࢞ǯ = 0

Exemples :

& ( 7 ; - 4 ) et ݒԦ ( 14 ; 8 ) sont-ils colinéaires? Réponse : 7 ൈ 8 - (-4)ൈ 14 = 56 - (-56) = 56 + 56 = 112 ് 0

Démonstration :

& (ݔ ; ݕ) et ݒԦ(ݔǯ ; ݕ'). ࢞࢟ǯȂ࢟࢞ǯ = 0 : existe un réel par : ࢞' = ࣅ࢞ et ࢟' = ࣅ࢟ Si l'un des vecteurs est nul alors la relation est clairement vérifiée. • Montrons maintenant la propriété réciproque : & et ݒԦ sont colinéaires :

Supposons

* Si ݔ ് Ͳ alors ݔݕǯȂݕݔǯ = 0 peut s'écrire : ݕǯ ൌ c'est-à-dire ݕǯൌࣅ࢟ avec ࣅ = ௫ǯ . Et comme ௫ǯ ௫.ݔ = ݔǯ on a aussi ݔǯൌࣅ࢞ .

Donc le vecteur

* Si ݕ ് Ͳ alors ݔݕǯȂݕݔǯ = 0 peut s'écrire : ݔǯ ൌ c'est-à-dire ݔǯൌࣅ࢞ avec ࣅ = ௬ǯ . Et comme ௬ǯ ௬.ݕ = ݕǯ on a aussi ݕǯൌࣅ࢟

Donc le vecteur

Remarque :

II) Vecteurs directeur d'une droite :

1) Définition

deux points distincts A et B de cette droite (d) tels que ࢛

2) Théorème

L'ensemble des vecteurs directeurs de (d) est ൛࢜ quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Colinéarité de deux vecteurs

1) Définition

Exemple :

Remarque :

Exemples :

3 ; - 3

5 ) et ݒԦ ( 2

9 ; - 1

5 ) sont colinéaires en effet 2

3 et - 1

3 x- 3

2) Propriété

Exemples :

Démonstration :

Supposons

Donc le vecteur

Donc le vecteur

Remarque :

II) Vecteurs directeur d'une droite :

1) Définition

2) Théorème