= = = = = ?3
Démontrer que les points A B
COMMENT DEMONTRER……………………
Donc le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse [BC]. Page 3. Pour démontrer qu'un point appartient à la médiatrice d'un segment.
Exercice 1 :
4) Démontrer que les points A B
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
cercle circonscrit a pour centre le milieu de P 7 Si deux droites sont parallèles à une même ... des angles alternes-internes de même mesure alors ces.
Annales 2011-2016 : complexes E 1
Démontrer que les points A B
Cours Géométrie Pierre Dehornoy Table des matières
30 juil. 2003 points A B
ELEMENTS DE COURS
6 Si un point appartient à un cercle alors la distance de ce point au centre du cercle est égale au rayon du cercle. 6. Si un segment est un diamètre d'un
CORRECTION
doc/revbac/comp/comp
cercle circonscrit au triangle rectangle exercice 4 - corrige – m. quet
PUISQUE le triangle ABC est rectangle en A. ALORS le centre du cercle circonscrit est le milieu DEF est un triangle rectangle en E. Le point I est le.
TS. Évaluation 7 -Correction|
EX1 :( 5 points )Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct³O,¡!u,¡!v´
(unité :1cm).On considère les points A, B, S etd"affixes respectives aAE¡2Å4i,bAE¡4Å2i,sAE¡5Å5iet!AE¡2Å2i.
Soit h l"homothétie de centre S et de rapport3. On appelleC l"image du point A par h et D l"image du point B par h. 1. a .Déterminer l"écriture complexe de h.Pour un pointMd"affixezet son imageM0parhd"affixez0, la traduction complexe de l"égalité¡¡¡!SM0AE3¡¡!SM
est :z0¡(¡5Å5i)AE3[z¡(¡5Å5i)]()z0AE¡5Å5iÅ3zÅ15¡15i()z0AE3zÅ10¡10ib.Démontrer que le pointC a pour affixe cAE4Å2iet que le point D a pour affixe dAE¡2¡4i.
CAEh(A), donccAE3(¡2Å4i)Å10¡10iAE4Å2iDAEh(B) doncdAE3(¡4Å2iÅ10¡10iAE¡ 2¡4i2.Démontrer que les points A, B,C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On a :jaj2AE4Å16AE20,jbj2AE16Å4AE20,jcj2AE16Å4AE20 etjdj2AE4Å16AE20, Les pointsA,B,CetDappartiennent au cercle de centre O et de rayon 2p5.3.Démontrer que la droite(S)est la médiatrice du segment[AB].
2Å(¡1)2AEp10
2Å(¡3)2AEp10SAAESBdoncSappartient à la médiatrice de[AB];
BAEjb¡!jAEj¡4Å2iÅ2¡2ijAEj¡2jAE2AAEBdoncappartient à la médiatrice de[AB].Conclusion :
( S) est la médiatrice de[AB].4.Soit P le milieu du segment[AC].
a.Déterminer l"affixe p du point P.p AEzAÅzC2AE(¡2Å4iÅ4Å2i)2
AE1Å3ib.Démontrer que!¡pd¡bAE¡12
i. En déduire une mesure de l"angle³¡¡!BD;¡¡!P´ AE¡ 12
iarg¡12
AEarg³!¡pd¡b´
AE³¡¡!BD,¡¡!P´
AE¡¼2
[2¼]La droite (P) est perpendiculaire à la droite (BD).5.SoitQ le milieu du segment[BD]. Que représente le pointpour le triangle PQS ?
Par l"homothétiehl"image
(CD) de la droite (AB) est parallèle à cette dernière : le quadrilatèreABDCest un trapèze; dans ce trapèze la droite des " milieux » (PQ) est parallèle à (AB) et à (CD).Or on a vu que (AB) et (S)
sont perpendiculaires. Donc (S) est aussi perpendiculaireà (PQ).
AinsidansletrianglePQS,(S)
et (P) sont deux hauteurs : le pointest l"orthocentre du trianglePQS.¡! v¡! uOS A P C B Q DTS. Évaluation 7 -Correction|
EX2 :( 5 points )Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³O,¡!u,¡!v´
(unité :4cm). On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d"affixe z, associe le point M0d"affixe z0telle que z0AEp2
2 (¡1Åi)z.1.Montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l"angle.p2
2 (¡1Åi)AE¡p2 2Åip2
2AEcos3¼4
Åisin3¼4
AEei3¼4
La transformationfa donc pour écriture complexez0AEei3¼4 zcelle dela r otationd ec entreO et d "angle3¼4
2.On définit la suite de points(Mn)de la façon suivante : M0est le point d"affixe z0AE1et, pour tout nombre entier
naturel n,MnÅ1AEf(Mn). On note znl"affixe du point Mn. a.Justifier que, pour tout nombre entier naturel n,znAEei¡3n¼4Par récurrence :
²Initialisation :z
0AE1AEei¡3£0¼4
: la formule est vraie au rang 0. ²Hérédité :Supposons qu"il existe un naturelntel queznAEei¡3n¼4AlorsznÅ1AEei3¼4
£ei¡3n¼4
AEei¡3(nÅ1)¼4
: la formule est vraie au rangnÅ1. ²Conclusion :la proposition est vraie pournAE0, elle est héréditaire donc par récurrence que quel que soitn2?,znAEei¡3n¼4 ¢b.Construire les points M0,M1,M2,M3et M4.¡! v¡! uOM 4M 0M 2M 3M 1H1 p2 2 c.Montrer que pour tout nombre entier naturel n, les points Mnet MnÅ8sont confondus. M na pour affixezndont un argument est3n¼4 ;MnÅ8a pour affixeznÅ8dont un argument est3(nÅ8)¼4 Or3(nÅ8)¼4
AE(3nÅ24)¼4
AE3n¼4
Å24¼4
AE3n¼4
Å6¼. On a donc arg(zn)AEarg(znÅ8)[2¼]
CommeznetznÅ8ont le même module et un même argument,l esp ointsMnetMnÅ8sont confondus.3.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d"initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l"évaluation.Prouver que les triangles M
0M1M2et M7M0M1ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.
Par la rotationf, le triangleM7M0M1a pour image le triangleM8M1M2, soit d"après la question précédente
(puisqueM8AEM0) le triangleM0M1M2. Comme la rotation est une isométrie, elle conserve les longueurs, donc
les aires : les trianglesM0M1M2etM7M0M1ont la même aire. Le pointM1a pour affixe¡p2 2Åip2
2 On a doncM0M2AEp2 et la hauteur du triangleM0M1M2issue deM0a pour longueur 1Åp2 2L"aire de ce triangle est donc égale à :
p2£Ã1Åp2
2!2AE1Åp2
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